Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

Далее, вводя обозначения

Lm^ (t) = т%(О,

Таким образом находим каноническое разложение неизвестной случайной функции %((), описывающей выход системы. В этом раз­ ложении оператор L нужно определить.

Рассмотрим случай, когда оператор L описывается линейным

дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффи­ циентами в виде

Известно, что при линейном преобразовании случайной функции

Аналогично каждая из координатных функций должна удовлет­ ворять такому же дифференциальному уравнению

92

Введем начальные условия, при которых должны интегрировать­ ся системы (4.6) и (4.7). Рассмотрим случай, когда начальные усло­ вия являются неслучайными. Здесь при t = 0 имеем

Так как %r — неслучайная величина, то дисперсия выражений

93

для интегрирования системы линейных неоднородных дифференци­ альных уравнений (4.6) и (4.7). Коэффициенты системы линейных

обыкновенных дифференциальных уравнений ас и Ь/ (і — 1, т), Ц = 1, т) определяются следующим образом.

Рассмотрим случай, когда система обыкновенных линейных не­

Для удобства дальнейшего изложения введем следующие обо­ значения:

' В этих обозначениях систему (4.12) можно переписать в виде

94

а 20Х 20 ( 0 + а 21х 21 ( 0 + ' ' * + ^ 2 п - І х 2 п - 1 ( 0 + а.2пХ 2п ( 0 = У і ( 0 >

втОХтО ( 0 ~ Ь Ят іХт І ( О ~ Ь ‘ ' + Ятп—1х тп—1 ( О + &тп%тп

(4.13)

Коэффициенты ац (і = 0, /п; / = О, п) — неизвестные, требующие определения. Чтобы их найти, воспользуемся методом наименьших квадратов. Введем в рассмотрение функционалы

Условия минимизации позволяют получить системы линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

dS/lUji, I)

Таким образом, при / = 1 получаем систему линейных неодно­ родных алгебраических уравнений относительно неизвестных а00, а01, а„о, ..., йоп, при /' = 2 — новую систему уравнений относительно неиз­ вестных коэффициентов а10, ап , а12, ..., йі„,а при / = т — систему уравнений относительно неизвестных ато, ат\. Находим т + 1 систему линейных неоднородных алгебраических уравнений п-го порядка

Определение неизвестных коэффициентов ац свелось к решению системы линейных неоднородных алгебраических уравнений п-го порядка относительно неизвестных ац. Решая систему (4.16) после­ довательно для соответствующих значений индекса (6 = 0, 1,2, ...

..., ггі), получим

а (б) = ß (6>~V6).

95

Подставляя найденные значения коэффициентов в систему диф­ ференциальных уравнений (4.12) или (4.13), получим систему ли­ нейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка с постоянными коэффициентами

где п означает производную по времени.

Математическое моделирование динамики системы, описываемой взаимоотношением случайных функций X (t) и т] (t), заданных своими каноническими разложениями в виде (4.1) и (4.2), привело к реше­ нию т + 1 линейных неоднородных обыкновенных дифференци­ альных уравнений (п +■ 1)-го порядка с начальными условиями (4.11). Для решения полученных систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений мы разработали ал­ горитмы и стандартные программы.

2.Синтез динамических моделей сложных многомерных систем

Применение математических методов в биологических исследова­ ниях за последнее время приобретает широкое распространение. Характерно, что круг биологических и медицинских задач, решае­ мых методами современной математики, непрерывно расширяется. Если раньше в качестве основных областей приложения математи­ ческих методов указывались технические задачи, то в настоящее время они находят широкое применение при исследовании динамики функционирования сложных биологических систем. Часто живую систему можно представить в виде сложной взаимосвязанной мно­ гомерной динамической системы, исследование которой с помощью методов математического моделирования становится реальным. Да­ лее предположим, что исследуемый сложный биологический продесс характеризуется взаимодействием некоторых факторов, опи­ сываемых соответственными случайными функциями Лі (0* "Пг (0> г)з (£),..., т]л (t), для определения которых можно воспользоваться результатами испытаний, проведенных над каждым набором слу­ чайных факторов в течение определенного промежутка времени. При наличии результатов испытаний неизвестную случайную функ­ цию можно приближенно заменить ее математическими ожиданиями или, более точно, каноническим разложением. Как известно, точ­ ность подобной аппроксимации зависит от количества испытаний над этими факторами. Далее функциональную деятельность иссле­ дуемого биологического процесса смоделируем при помощи системы линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений

95