Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
Следовательно, результаты сравнения дают возможность вполне обоснованно выбрать как лучшую вторую модель.
Далее следует последовательное усложнение математической модели, введение в рассмотрение еще более сложных моделей, учи тывающих совместное влияние факторов
У = |
0,28/? + |
0,65*2 + |
0,52/з — 0,01*2 + |
0,16*| + |
+ |
0,21*? + |
0,64*1 + |
0,64*1 — 0,34*? + |
0,03*| — |
— 0,64*! + |
0,59*г + |
1,16*3 + 0,28*4 — 0,17*5. |
||
Определим численные значения коэффициента множественной |
||||
корреляции и дисперсии: R3 = 0,6487, D3 = 0,695. |
||||
Сравнивая |
соответственно D3 с D2 и R3 с Д2, легко убедиться, |
|||
что подобное усложнение модели не привело к желаемому повыше нию точности аппроксимации.
Следовательно, для описания эпидемического процесса на-; иболее целесообразной является вторая модель. ’ Динамическая модель эпидемии. Анализ моделей эпидемии для1
двух указанных выше возрастных групп показывает, что эти мо дели резко отличаются друг от друга по значению коэффициентов. Поэтому модель для одной возрастной группы непригодна для опи-1 сания протекания эпидемии для других возрастных групп. Чтобы описать протекание эпидемии во всех возрастных группах, необ-- ходимо вначале получить адекватные модели для каждой возраст ной группы, а затем методом интерполирования, как было показано в гл. 4, построить общую динамическую модель.
Аналогичные результаты получим, если проанализируем модель эпидемии, выведенную для ряда дискретных значений времени. Для этого построим адекватные модели эпидемии для ряда дискретных моментов времени, а именно по месяцам (табл. 16). Из табл. 16 вид но, что такие адекватные модели почти всегда совпадают по виду и аппроксимирующим многочленам, однако значительно отличаются друг от друга по численным значениям коэффициентов. Следова тельно, коэффициенты приближенного уравнения регрессии, описы
вающего эпидемический |
процесс, |
являются не |
постоянными, |
а |
|
функциями времени. |
|
|
|
|
|
Представим коэффициенты уравнений приближенной регрессии |
|||||
в виде многочлена |
|
|
|
|
|
Ь[ = ЯіО*" + Цц* |
+ |
• • • + |
& іт —1* -\~а іт |
(* = 0, п), |
|
где * — текущее время по месяцам. |
|
|
= |
||
Методы определения |
этих |
неизвестных коэффициентов а,./ (* |
|||
= 1, п; / = 0, т) подробно изложены в гл. 3. В табл. 17 сведены ре зультаты определения параметров аналитических функций этих коэффициентов.
Далее, учитывая аналитические функции коэффициентов урав нений регрессии, можно объединить все адекватные модели,
16S
Т а б л и ц а |
16. Адекватные модели по месяцам |
|
|
|
||
Д и с к р е т |
|
М о д е л и а п п р о к с и |
|
|
|
|
н ы е зн а ч е |
М а с ш т а б п ер е м ен н ы х |
Ч и с л о в ы е зн ач ен и я |
||||
н и я в р е |
м а ц и и |
|||||
|
|
|
|
|||
м ени |
|
|
|
|
|
|
Январь |
Стандартизованный |
Линейная |
— |
—0,178 |
0,175 |
|
|
|
Нелинейная |
— |
0,042 |
0,196 |
|
|
Натуральный |
Линейная |
223,712 |
— 1,032 |
0,320 |
|
|
|
Нелинейная |
—6103,827 |
0,002 |
0,360 |
|
Февраль |
Стандартизованный |
Линейная |
— |
0,280 |
0,233 |
|
|
|
Нелинейния |
— |
0,416 |
0,50 |
|
|
Натуральный |
Линейная |
356,419 |
0,0057 |
0,338 |
|
|
|
Нелинейная |
131981,5 |
0,008 |
0,726 |
|
Март |
Стандартизованный |
Линейная |
— |
— 1,852 |
0,727 |
|
|
|
Нелинейная |
— |
0,458 |
0,915 |
|
|
Натуральный |
Линейная |
376,812 |
—0,003 |
1,106 |
|
|
|
Нелинейная |
1094,223 |
0,117 |
1,134 |
|
Апрель |
Стандартизованный |
Линейная |
— |
0,174 |
— 1,904 |
|
|
|
Нелинейная |
— |
0,195 |
0,260 |
|
|
Натуральный |
Линейная |
0,003 |
0,007 |
— 1,997 |
|
|
|
Нелинейная |
29433,31 |
0,088 |
0,287 |
|
Май |
Стандартизованный |
Линейная |
— |
— 1,701 |
0,382 |
|
|
|
Нелинейная |
— |
0,031 |
0,296 |
|
|
Натуральный |
Линейная |
0,00017 |
0,00024 |
0,944 |
|
|
|
Нелинейная |
768705,5 |
0,0001 |
0,731 |
|
Июнь |
Стандартизованный |
Линейная |
— |
0,318 |
0,175 |
|
|
|
Нелинейная |
— |
—0,188 |
0,256 |
|
|
Натуральный |
Линейная |
0,002 |
0,201 |
1,127 |
|
|
|
Нелинейная |
258,371 |
—0,119 |
1,186 |
|
к о э ф ф и ц и е н т о в м о д е л и
—0,359 |
—0,294 |
— 0,164 |
— |
— |
— |
— |
— |
0,416 |
1,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,119 |
—0,139 |
— 1,924 |
0,300 |
1,633 |
1,194 |
0,188 |
— 1,529 |
0,659 |
0,684 |
0,299 |
—0,129 |
0,001 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— 1,761 |
— 1,611 |
0 |
0 |
0,175 |
0,065 |
0,029 |
0 |
— |
— |
—0,498 |
0,463 |
0,59 |
— |
— |
— |
— |
— |
0,521 |
0,988 |
0,593 |
0,528 |
0,420 |
0,178 |
0,418 |
0,355 |
0,532 |
0,180 |
0,713 |
0,665 |
—0,367 |
—0,212 |
0 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
0,437 |
0,242 |
0 |
0 |
0,650 |
0,142 |
0,082 |
0 |
— |
— |
0,654 |
0,944 |
0,151 |
— |
— |
— |
— |
— |
0,358 |
1,110 |
0,652 |
1,131 |
0,084 |
0,116 |
0,137 |
0,070 |
0,254 |
0,189 |
0,667 |
0,866 |
—0,390 |
—0,584 |
0 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
—0,389 |
0,816 |
0 |
0 |
0,188 |
0,015 |
0,062 |
0 |
— |
— |
— 1,917 |
— 0,164 |
0,143 |
— |
— |
— |
— |
— |
0,286 |
1,163 |
0,770 |
0,053 |
0,197 |
0,116 |
0,176 |
0,218 |
0,223 |
0,082 |
0,607 |
1,112 |
— 1,413 |
— 0,212 |
0 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
0,347 |
0,069 |
0 |
0 |
0,120 |
0,032 |
0,209 |
0 |
— |
— |
0,201 |
1,203 |
1,375 |
— |
— |
— |
— |
— |
0,392 |
1,294 |
0,806 |
0,832 |
0,021 |
0,012 |
0,068 |
0,509 |
0,462 |
0 |
0,538 |
1,247 |
0,480 |
0,211 |
0 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
1,192 |
1,194 |
0 |
0 |
0,119 |
0,835 |
0,727 |
0 |
— |
_ _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—0,451 |
1,944 |
1,563 |
— |
— |
— |
— |
— |
0,534 |
1,561 |
1,137 |
0,156 |
0,024 |
—0,224 |
0,085 |
0,219 |
0,190 |
0,596 |
0,594 |
1,508 |
— 1,406 |
0,617 |
0 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
—0,123 |
1,001 |
0 |
0,011 |
0,576 |
0 |
1,103 |
0 |
— |
— |
167
166
Ди с к р е т
ны е зн а ч е
ния в р е |
М а с ш т а б п ер е м ен н ы * |
|
|
м ени |
|
Июль Стандартизованный
Натуральный
Август Стандартизованный
Натуральный
Сентябрь Стандартизованный
Натуральный
Октябрь Стандартизованный
Натуральный
Ноябрь Стандартизованный
Натуральный
Декабрь Стандартизован ный
Натуральный
П р о д о л ж . т а б л . I S
М о д е л и а п п р о к с и |
|
Ч и с л о в ы е зн ач ен и я |
|
|
|
коэффициентов модели |
|
|
|
|
|||
м ац и и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Линейная |
— |
0,299 |
0,435 |
0,569 |
0,473 |
0,259 |
— |
- |
— |
- |
— |
0,660 |
1,417 |
Нелинейная |
— |
0,737 |
0,309 |
1,101 |
0,694 |
0,457 |
0,101 |
0,444 |
Oil 36 |
0,164 |
0,019 |
0,837 |
1,221 |
Линейная |
1803,34 |
0,277 |
1,357 |
1,176 |
1,333 |
0,001 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
Нелинейная |
156209,18 |
0,683 |
1,254 |
1,314 |
1,489 |
0,002 |
0,011 |
1,404 |
0,175 |
1,1 10 |
0 |
— |
— |
Линейная |
|
0,149 |
0,314 |
— 1,346 |
0,208 |
— 1,695 |
— |
— |
— |
— |
— |
0,376 |
1,459 |
Нелинейная |
|
0,567 |
0,428 |
0,50 |
0,120 |
0,026 |
0,252 |
0,225 |
0,025 |
0,131 |
0,260 |
0,595 |
1,345 |
Линейная |
138,136 |
0,111 |
1,128 |
0,109 |
1,151 |
0 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
. — |
Нелинейная |
43897,18 |
0,423 |
1,174 |
0,158 |
0,878 |
0 |
0,026 |
0,700 |
0,047 |
1,129 |
0 |
— |
— |
Линейная |
|
0,102 |
— 1,268 |
0,009 |
— 1,104 |
0,394 |
— |
— |
- |
- |
— |
0,395 |
1,283 |
Нелинейная |
|
0,587 |
—0,349 |
1,561 |
1,428 |
0,170 |
0,167 |
0,068 |
1,139 |
1,113 |
0,027 |
0,65 |
1,191 |
Линейная |
1,897 |
1,332 |
— 1,957 |
0,001 |
0 |
0 |
— |
- |
— |
- |
— |
— |
— |
Нелинейная |
9488,19 |
0,189 |
1,125 |
0,851 |
0,379 |
0 |
0,005 |
0,258 |
0,009 |
0,002 |
0 |
— |
— |
Линейная |
— |
0,153 |
0,437 |
— 0,273 |
— 0,322 |
— 1,630 |
— |
— |
— |
— |
— |
0,529 |
1,144 |
Нелинейная |
- |
0,153 |
0,266 |
0,399 |
0,454 |
0,110 |
0,021 |
0,239 |
0,141 |
0,009 |
0,084 |
0,657 |
1,114 |
Линейная |
183,581 |
1,115 |
0,593 |
0,183 |
0,449 |
— 9244,547 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
Нелинейная |
29768.56 |
0,011 |
0,361 |
0,268 |
0,632 |
0 |
0 |
0,219 |
0,013 |
0,008 |
0 |
— |
— |
Линейная |
|
—0,390 |
0,311 |
—0,175 |
— 1,701 |
— 1,939 |
— |
— |
— |
- |
— |
0,473 |
1,114 |
Нелинейная |
|
0,376 |
0,348 |
—0,32-4 |
— 0,108 |
0,423 |
- 0 ,1 3 8 |
0,252 |
0,223 |
0,224 |
0,134 |
0,525 |
1,107 |
Линейная |
109,10 |
— 1,211 |
0,107 |
- 1 ,3 4 7 |
0 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
Нелинейная |
53538,56 |
0,020 |
0,191 |
0,198 |
0,053 |
0 |
0 |
0,051 |
0,056 |
0,004 |
0 |
— |
— |
Линейная |
— |
—0,368 |
0,539 |
— 0,365 |
0,302 |
1,346 |
— |
— |
- |
— |
— |
0,551 |
0,869 |
Нелинейная |
— |
—0,406 |
0,312 |
— 1,249 |
0,222 |
0,074 |
0,0162 |
0,608 |
0,510 |
0,275 |
0,013 |
0,673 |
0,618 |
Линейная |
1,268 |
— 1,191 |
0,841 |
0,002 |
0,135 |
3093,42 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
Нелинейная |
1,210 |
0,021 |
0,0487 |
0,016 |
0,099 |
0 |
0 |
1,118 |
0 |
0,044 |
— |
— |
- |
168 |
169 |
Т а б л и ц а 17. Параметры динамической модели
Ь 1
а і і
а0і
аи
а2 і
%
а 4 І
“5і
а Ы
°7і
а ы
°9і
а 10/
&0 |
ь, |
6« |
ь, |
Ь. |
— 61038,28 |
0,002 |
0,35999 |
— 1,7610 |
— 1,61100 |
—73704570 |
—42,36298 |
—21,5688 |
-1 7 1 ,8 2 7 2 |
-8 4 ,7 6 4 4 |
—204006700 |
120,8773 |
56,85657 |
502,5388 |
239,3155 |
—228126900 |
— 139,9138 |
— 585,2100 |
—586,4556 |
-2 6 5 ,3 5 1 5 |
38455500 |
88,11817 |
32,64769 |
370,0941 |
159,0273 |
-5 1 2 6 1 4 6 |
— 33,86401 |
-1 1 ,2 3 5 4 5 |
— 142,1302 |
-5 8 ,1 8 9 3 5 |
12237860 |
8,378018 |
1,53344 |
35,11421 |
13,75591 |
— 1925149 |
— 1,362005 |
— 0,038280 |
—5,70258 |
-2,146591 |
1984500 |
0,1446164 |
0,03849 |
0,60530 |
0,21978 |
— 1,290450 |
0,0196517 |
—0,00247 |
—0,04043 |
-0 ,0 1 9 2 0 4 |
479,8369 |
0,000367 |
0,00009 |
0,00454 |
-0 .0 0 0 0 0 8 |
— 7,781829 |
— 0,000006 |
— 0,0000015 |
—0,000065 |
—0,000008 |
приведенные в табл. 16, и получить общую динамическую модель эпидемии, которая могла бы описать развитие эпидемии во вре мени:
Y = К (0 + Ьг (t) X, + b2 (0 * 2+ Ьа(/) * 3 + bt (t) X4+ |
Ьъ (t) х ъ + |
|
+ ^6 (0 Xf -f- b7 (t) ХІ + ba (t) Хз -f- b9(t) X4 - f b10 (t) xl, |
||
где |
|
|
bi (t) = a^t11-f- a.t\t10-j- • • • -f- a-not -f- Q-iw |
{i= |
1,10)- |
Детерминированная модель эпидемического процесса. В преды дущих разделах эпидемический процесс исследовался при помощи теории случайных величин, а для учета динамичности процесса ис пользовался метод интерполяции. Здесь мы попытаемся получить динамическую модель эпидемического процесса, исходя из теории случайных функций и теории дифференциальных уравнений.
Будем рассматривать эпидемический процесс как случайное явление, подчиняющееся законам теории стохастических процессов.
К |
ь6 |
і>7 |
Ь. |
Ь9 |
Ьі. |
0,00020 |
0,00100 |
0,17500 |
0,06500 |
0,028999 |
— 0,07500 |
-0 ,1 5 3 0 6 |
0,066668 |
386,0064 |
— 79,3144 |
20,15667 |
17,0570 |
0,436698 |
0,15209 |
—817,655 |
221,6973 |
—58,41875 |
—8,78310 |
- 0 ,5 0 5 8 |
—0,1138182 |
953,458 |
—249,546 |
69,3809 |
23,0534 |
0,31924 |
—0,03238 |
—607,7767 |
152,1847 |
—45,12683 |
21,0253 |
-0 ,1 2 3 1 2 6 |
— 0,00557 |
237,4028 |
— 56,5612 |
17,88156 |
14,502 |
0,030614 |
0,00617 |
— 59,9088 |
13,54749 |
—4,62076 |
—8,С023 |
-0 ,0 0 5 0 0 |
— 0,0017609 |
9,95992 |
—2,137416 |
0,780573 |
- 1 ,2 5 7 |
0,0005 |
0,0026 |
— 1,08317 |
0,22092 |
-0 ,0 8 6 0 8 |
0,00057 |
—0,00003 |
— 0,00002 |
0,07408 |
0,014397 |
0,00596 |
0,00012 |
—0,0000013 |
—0,000001 |
-0 ,0 0 2 8 8 9 |
0,000054 |
— 0,000234 |
0-,000005 |
—0,0000002 |
— 0,0000002 |
0,000048 |
— 0,0000087 |
0,0000402 |
0,00000 |
Для изучения заболевания весьма важны отклонения, аналогичные отклонениям в'процессах управления, неизбежно наблюдавшиеся в условиях непрерывно воздействующих случайных возмущений. Возмущения по своей природе являются случайными функциями. Для того чтобы выбрать наиболее важные параметры воздействия на эпидемию, необходимо изучить ее изменение на непрерывно воздей ствующие случайные возмущения. Математическим аппаратом, при годным для этого исследования, является аппарат теории случайных функций. Предположим, что количество эпидемических вспышек в данный момент времени является случайной величиной, а ход эпидемии — случайным процессом, описываемым некоторой слу чайной функцией.
Построим модель заболеваний бактериальной дизентерией. За основу примем статистический материал по числу больных, метео условиям и другим факторам (см. табл. 14— 18). Каждый год примем за отдельную реализацию выходной случайной функции к (t), а ста тистические совокупности, характеризующие изменения факторов
170 |
171 |
X
X
X
|
|
|
> |
|
|
t, |
|
> |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
cs |
|
|
127° |
|
и |
|
|
функцииразложениеэпидемии |
|
£ |
||
|
+289°cosi>2t o3 cos 280° / + v t cos |
1240+2040,3t |
> |
||
|
|
|
||
|
Каноническое |
v x cos 276° t + |
f l + 1235 f l — |
|
|
|
ц а 18. |
m x J t ) + |
— 193,2 |
|
|
|
б л и |
t ) = |
(0 = |
В |
|
>, |
||||
|
Т а |
k l ( |
|
||
|
m |
|
СЧ |
LO |
ос |
сч |
ю |
СЧ |
со |
|||
1 |
1 |
1 |
1 |
со |
СЧ |
сч |
сч |
|
сч |
СО |
ГО |
о |
00 |
|
сч |
СО |
1 |
ю |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
ю |
ГТ) |
I*- |
со |
ч* |
(ч- |
со |
|||
|
сч |
|
сч |
о |
1 |
1 |
|
|
со |
|
|
|
||
Tf |
05 |
00 |
со |
чф |
1 |
|
со |
00 |
Гч. |
1 |
|
|
|
|
сч |
h- |
сч |
со |
Ю |
о |
||||
ю |
П5 |
со |
г- |
о |
ч* |
со |
|
|
|
сч |
г- |
ю |
со |
ю |
сч |
(Чч |
сч |
о |
|
о |
»—< |
о |
г- |
сч |
|
|
— |
ю |
•—1 |
сч |
с- |
|
со |
со |
со |
о |
о |
||
со |
чф |
|
||
с- |
|
сч |
|
|
ю |
со |
сч |
со |
оо |
сч |
СО |
со |
4f |
|
|
1 |
1 |
|
ю |
|
|
|
||
со |
со |
г-. |
о |
оо |
со |
ОТ) |
|||
со |
сч |
сч |
сч |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
со |
со |
00 |
00 |
05 |
(75 |
оо |
|||
со |
Ч* |
сч |
т |
сч |
1 |
1 |
1 |
|
|
СО |
ю |
|
о |
о |
05 |
со |
Tt- |
||
со |
4d* |
т |
сч |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
со |
СО |
сч |
сч |
LO |
о> |
ГТ) |
|||
со |
гг |
сч |
сч |
со |
1 |
1 |
1 |
1 |
сч |
|
о* |
о« |
|
£ |
|
|
е |
|
XII |
ОООД-ЧГ оэо |
|
ч^“ ч^Гсо"-ц*Г |
||
|
N 1 I ю |
|
X |
О СО00 о ^ |
|
|
||
X |
—~сч* о"к“ |
|
1 1 1 г |
||
|
XО СО'to io
—Го“сГо*о?
S
О
* +
cd
4 m
s s
5
iß
X
>>
•Ѳ* <y + s
X05 о o
о£ со
4 m
cd
O.
0> О + ■
iß
и
о
X
К
О
Xcd
05
ca |
?< I |
|
а |
||
к |
|
|
\o |
N |
V« |
cd |
К |
|
H |
X |
|
|
— |
|
> |
§ |
> |
в; |
|
£ |
|
|
> |
|
;> |
|
> |
|
- |
S
в
Sß
>>
е
СО05 О —СЧ Ч^ Tf СО СО
оо О оо Гч.со 4f СОСОч^ СО
—05 СЧt-ч- СО ЮСОЮСОсч
тПч.^05 0 ^ соо сч сч
^co ^со !>- ° —Г"7О*05
1 1
СОЮ(О оо оо
о сч—о со
1 1 1 1 1
СО05 о 00 СЧ ч^ счю счю
1 1 1 1 1
СЧ05 СЧсо СО СОЮTf Ч"
Т и м
'—--
іМCJ п 4f
о о a о S
172