Файл: Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки.pdf

Рис. 44. Оценка спектральной плотности функции

ваны площади, по которым определяли дисперсию в каждом диапазоне частот. За значение частоты принимали частоты, соответ­ ствующие максимумам спектральной плотности в каждом диапа­ зоне. Амплитуды вычислены по формуле

At = У Щ ,

где D t — дисперсия в i-том диапазоне.

В результате получена следующая зависимость:

Сравнение x(t) и x* (t) говорит о хорошем их совпадении. По­ грешность определения периода гармоники не превышает шага отсчета, а амплитуды 10%. Исключением является одна ампли­ туда, где вместо А = 3 вычислено А = 2, 3, т. е. погрешность со­ ставила 20%. Это объясняется тем, что частоты 2п/12 и 2л/17 оказались очень близкими, а их амплитуды имеют большую раз­ ницу. В таких условиях выделение меньшей амплитуды затруднено.

Результаты такого анализа подтверждают правильность вы­ бора метода определения разнотолщинности и состоятельность по­ лучаемых таким образом оценок.

Поскольку, как показал анализ, отклонение толщины распре­ делено по нормальному закону, за меру точности естественно при­ нять дисперсию толщины. По дисперсии толщины могут быть опре­ делены максимальные отклонения, которые регламентируются

ГОСТами и ТУ. По правилу «трех сигм» AhmdX. = ± 3 У D (h). Представляет интерес получить оценку дисперсии для листов огра­ ниченной длины, так как эта оценка может существенно зависеть от спектрального состава разнотолщинности [17].

Выделим в спектральной плотности разнотолщинности диапа­ зон Дсо с частотами ш0— со1.

84

Дисперсия толщины в этом диапазоне для реализации доста­ точно большой длины

где <р — аргумент длины.

Для отдельного листа длиной / среднее отклонение толщины будет

1я*

Ф+ у

sin 2я/ cos 2ср ■ 2я1

Определим математическое ожидание Da[, (h) при условии,

85

волны, то дисперсия разнотолщинности на данной частоте для отдельного листа значительно меньше, чем средняя дисперсия по всей длине рулона, т. е. влияние высокочастотной составляющей разнотолщинности на разнотолщинность отдельных листов более значительно, чем низкочастотной.

2. Математическая модель прокатного стана

а. Система дифференциальных уравнений

•; Динамика процесса прокатки на непрерывном листопрокатном стане описывается системой п-то порядка дифференциально-раз­ ностных уравнений следующего вида:

86

х ±х 2, ■■ ., xh . . ., хт— заданные внешние возмущения по т каналам (продольная разнотолщинность подката, биение валков, шпинделей, моталок и т. п.).

Транспортные запаздывания тА имеют место только при пере­ носе толщины между клетями и в системах автоматического регу­ лирования. Для остальных координат т = 0.

При постоянной скорости прокатки динамическую модель (109) можно считать стационарной, а внешние возмущения xt стацио­ нарными случайными процессами с заданными функциями спек­ тральной плотности S, (со).

Функции Fj характеризуют взаимодействие координат и воз­ мущений в отдельных электрических, механических и технологи­ ческих звеньях прокатного стана. Большинство из них можно счи­ тать линейными. Существенные нелинейности свойственны, как правило, только технологическим звеньям. Для каждой клети стана холодной прокатки технологические звенья описываются четырьмя уравнениями:

Первые три.уравнения характеризуют зависимость давления, момента и опережения от входной h0 и выходной h1 толщины и на­ тяжений Т 0 и 7\. Последнее уравнение выражает условие несжи­ маемости для нестационарного очага деформации (v0 и v1— ско­ рости полосы на входе и выходе, V — объем очага деформации).

Поскольку отклонения координат системы от их средних зна­ чений в нормальном режиме прокатки невелики, система (109) может быть линеаризована для отклонений путем разложения

вряд Тейлора в окрестности номинальных значений параметров

иотбрасывания членов высших порядков малости, начиная со второго.

Линеаризованная система уравнений может быть записана:

ajk, bjk, cjk, dn — постоянные коэффициенты, зависящие от конструкции и настройки стана, режима прокатки и т. п.

87

Постоянные коэффициенты вычисляются по следующим фор­ мулам:

при средних значениях координат и внешних воздействии. Система (111) позволяет рассчитать возмущения координат си­

стемы от внешних воздействий. Для анализа стационарного ре­ жима удобно рассматривать матричное уравнение, полученное путем преобразования Лапласа исходной системы уравнений (111):

где Y — п — мерный вектор изображений отклонений координат системы;

X — т — мерный вектор изображений внешних возмущений; gjk = ajk + pbjk + e~Pxcjk — матрица системы (ПО) раз­ мером п X п (р — параметр преобразования Лап­

ласа); йц — матрица передаточных коэффициентов внешних воз­

мущений размером п X т.

Уравнением (113) в матричной форме записана система линей­ ных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Передаточная функция по любому каналу I — k (передача возмущения xt на координату yk) полностью определена уравне­ нием (ИЗ) и может быть вычислена по формуле

W ik (р) = det 8ц

de4 * ’

где матрица gjt получается из матрицы gjk путем замены в ней столбца k столбцом I из матрицы й ц .

Поскольку внешние возмущения являются стационарными слу­ чайными процессами, то и реакция системы на эти возмущения будет стационарным случайным процессом. Спектральная плот­ ность любой координаты системы легко вычисляется по заданным спектральным плотностям возмущений:

рованы друг с другом. При наличии корреляционной связи между отдельными возмущениями в формулу (114) следует ввести допол­ нительно взаимные спектральные плотности возмущений,

№

б. Статистический критерий оптимальности

Под влиянием внешних возмущений динамическая система про­ катного стана будет совершать вынужденные случайные коле­ бания.

Колеблемость каждой координаты можно характеризовать дисперсией случайного процесса

00

(115)

о

Естественно потребовать наибольшей стабильности одной из координат. Выбор определенной координаты с целью минимизации ее дисперсии зависит от конкретных условий.

Если ставится задача получить готовый лист с наименьшей разнотолщинностью, то необходимо потребовать минимальной дис­ персии выходной толщины листа.

В отдельных случаях может быть поставлена задача макси­ мальной стабилизации натяжения на одном из участков стана, так как при колебании давления и натяжений может нарушиться условие равномерности вытяжек по ширине полосы, что в свою очередь вызовет потерю формы (волнистость, коробоватость). В ка­ честве целевой функции может быть выбрана также дисперсия дав­ ления для наиболее загруженной клети. Учитывая, что на прак­ тике для устойчивой работы стана требуется стабилизация не­ скольких параметров, обобщенную целевую функцию можно запи­ сать в следующем виде:

псо

( П б )

Весовые функции Gk (со) для спектральной плотности каждой координаты системы выбираются в зависимости от степени «важ­ ности» каждой из координат. Кроме того, весовая функция может выделять наиболее опасные диапазоны частот колебания коорди­ наты. Так, для обеспечения высокого коэффициента заполнения трансформаторов важно иметь малые колебания толщины листов в области высоких частот. Весовая функция должна учесть это требование.

в. Управляющие параметры и система ограничений

Целевая функция вида (116) зависит от управляющих пара­ метров через функции спектральной плотности Sk (со). Каждая из функций Sk (со) в свою очередь по уравнению (114) зависит от амплитудно-частотных характеристик системы А ш (со) и спек­ тральных плотностей внешних возмущений St (со).

Рассмотрим влияние управляющих параметров на каждый множитель в отдельности. Матрица Аш полностью определена

89