Файл: Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 0
Тогда доверительные интервалы с |
^%-ным уровнем будут |
|
1_Р |
Г Г < ГВ+ |
1— Р |
Гв * tq ----- 7^ < |
(58) |
|
У п |
|
V п |
С помощью неравенства |
|
|
I |
гв I ^ t(Pr |
(59) |
можно проверить гипотезу об отсутствии корреляционной связи между случайными величинами X и Y. Если условие (59) удов летворяется, то гипотезу об отсутствии корреляционной связи отбрасывают.
Пример
Вычислить коэффициент корреляции, коэффициент регрессии и написать уравнение линии регрессии между входной Н 0 и вы ходной толщиной h1 холоднокатаной полосы на реверсивном стане
1200.
Значения толщин X = Н 0 я Y — hx даны в табл. 4.
Т а б л и ц а |
4. К расчету регрессионной зависимости |
|
|
|
|||
Л-(.•10~2 |
|
“1 = |
vt ~ , |
2 m—14 |
2 1Л—4 |
и{С..10"4 |
|
|
= (xt ~ x) х |
= ( i ~ y ) x |
иС 10 |
Vf 10 |
|||
|
|
•X 1СГ2 |
X 10-2 |
|
|
|
|
71 |
46 |
—13 |
—6,65 |
169 |
44,22 |
86,45 |
|
78 |
50 |
—6 |
—2,65 |
36 |
7,02 |
15,90 |
|
84 |
54 |
0 |
1,35 |
0 |
1,82 |
0 |
|
92 |
54 |
8 |
1,35 |
64 |
1,82 |
10,80 |
|
87 |
52 |
+ 3 |
—0,65 |
9 |
0,42 |
—1,95 |
|
85 |
50 |
1 |
—2,65 |
1 |
7,02 |
—2,65 |
|
86 |
49 |
2 |
—3,65 |
4 |
13,32 |
—7,30 |
|
91 |
53 |
7 |
0,35 |
49 |
0,1225 |
2,45 |
|
93 |
57 |
9 |
4,35 |
81 |
18,92 |
39,15 |
|
93 |
59 |
9 |
6,35 |
81 |
40,32 |
57,15 |
|
90 |
56 |
6 |
3,35 |
36 |
41,22 |
20,10 |
|
85 |
53 |
1 |
0,35 |
1 |
0,1225 |
0,35 |
|
81 |
50 |
—3 |
—2,65 |
9 |
7,02 |
7,95 |
|
80 |
48 |
—4 |
—4,65 |
16 |
21,62 |
18,60 |
|
78 |
50 |
—6 |
—2,65 |
36 |
7,02 |
15,90 |
|
84 |
54 |
0 |
1,35 |
0 |
1,882 |
0 |
|
82 |
55 |
—2 |
2,35 |
4 |
5,52 |
—4,7 |
|
85 |
55 |
1 |
2,35 |
1 |
5,52 |
2,35 |
|
82 |
54 |
—2 |
1,35 |
4 |
1,822 |
—2,70 |
, |
80 |
54 |
—4 |
1,35 |
16 |
1,822 |
—5,40 |
|
2 |
— |
— |
— |
617 |
214,9 |
252,45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
Р е ш е н и е . Определим среднее значение X и Y (п = 20):
У* /
х= - = — = 0,84 мм,
Уyt
у= - = — --= 0,5265 мм.
Для удобства все вычисления сведем в табл. 4. Определим следую щие средние значения:
:30.85.10-4 мм2.
п
Ж = 10,745-10-4 мм2,
п
_ У им,
uv = :— = 12,62-10-4 мм2.
Определим дисперсию и среднеквадратичные отклонения:
Dх = ох = и2 = 30,85-10“ 4 мм2, ах = 0,0555 мм;
Dy = o 2y = v\ = 10,754-10-4 мм2, = 0,0328 мм.
Корреляционный момент, или ковариация величин X и Y,
kxy — ' Sj u lv t = |
12,62-10-4 |
мм2. |
|||||
Коэффициент корреляции |
|
|
|
|
|||
|
kxy |
12,62 10-4 |
= 0,69. |
||||
'ху ■ |
5,55-3,28-10-4 |
||||||
|
у |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
Определим коэффициент регрессии: |
|
|
|||||
9ух =- |
гху |
Оу |
n „n 3,28-10-* |
°-41- |
|||
„ |
- 0,69 |
5 55, 10-г |
|||||
|
|
ах |
л ™ |
5,55-10“2 |
, |
, , |
|
Р х У - ' х У |
0у |
- °- 69 3,28-Ю-2 |
|
’ 7' |
|||
Напишем уравнение линии |
регрессии Y на |
X: |
|||||
|
Y - Y = 9ух(Х - ху, |
|
|
||||
Y — 0,5265 = |
0,41 (X — 0,84) |
или Y = 0,41Х + 0,1821. |
|||||
Уравнение линии регрессии X на К: |
|
|
|||||
X — 0,84 = 1,17 (К — 0,5265) |
или X = |
1.17К л. 0,224. |
|||||
31
Теперь проверим гипотезу об отсутствии корреляционной связи и определим доверительные интервалы для коэффициента корреляции г. По формуле (58) определим критическую область с уровнем значимости 5%:
|
ог |
1 — 0,4781 |
0,5219 |
0,115. |
|
|
4,48 |
4,48 |
|
||
|
|
|
|
||
Из табл. 3 приложения в работе [1 ] узнаем: |
tq = 2,086; tqo r — |
||||
= 0,24; |
rxy = 0,69. |
|
об отсутствии |
корреляционной |
|
Так |
как гху >• 0,24, гипотезу |
||||
связи можно отбросить. Доверительный интервал на основании формулы (58) 0,45 <С г •< 0,93.
Если требуется определить корреляционную зависимость ме жду тремя и более случайными величинами, то корреляцию назы вают множественной.
Для трех признаков уравнение регрессии имеет следующий вид [51:
Z = АХ + BY + С,
где А и В — коэффициенты регрессии; С — параметр.
Коэффициенты регрессии Л и б определяются методом наимень ших квадратов:
д __ Тхг ГугГху |
а |
В = Гuz |
rxzrxy |
_Z |
|||
1 -'1 у |
(I |
1 |
— ГХУ |
где rxy, rxz, гУ2— коэффициенты парной корреляции соответ ственно между величинами X и Y, X и Z, Y и Z;
ах> °у, — среднеквадратичные отклонения.
Тесноту связи величины Z с параметрами X и Y характеризуют выборочным совокупным коэффициентом корреляции этих ве личин [51:
|
-9г |
Г Г |
|
R = |
ху' xz' у z + гух |
(60) |
|
|
ху |
||
|
|
|
|
Коэффициент R изменяется в интервале |
(0,1). |
|||
• Корреляционная связь между Z и X |
(при Y = const) и Z и Y |
|||
(при X = const) характеризует выборочные коэффициенты: |
||||
|
■Г г |
yz |
|
|
XZ(г/) |
ху |
|
(61) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
V O - O |
O - ' |
l |
. ) |
|
Г |
— Г Г |
|
|
(62) |
уг |
ху хг |
|
||
yz (х) |
|
|
|
|
у т - ' » ) ( ' - 4.)
32
Коэффициенты корреляции гхг(У) и ryz{x) аналогичны коэффи циенту корреляции rxy(Z) и характеризуют связь между указан ными величинами.
Надежность коэффициентов регрессии и корреляции при числе признаков более двух обычно невелика. При пассивных экспериментах единственный путь повышения надежности регрес сионных зависимостей — это увеличение объема выборки, что приводит к удорожанию экспериментов и увеличению времени их обработки. Качественный скачок в повышении надежности эмпи рических зависимостей дает применение методов планирования экспериментов [6; 7 ]. В этом случае на основе ортогональных пла нов эксперимента исключают корреляцию между аргументами, что повышает достоверность коэффициентов регрессии. Реализацию ортогональных планов легче всего осуществить в лабораторных условиях. В производственных условиях широкое и независимое варьирование аргументов затруднено, так как технологический процесс обычно заключен в узкие рамки эмпирически подобранных условий, выход за которые может привести к потере управления и аварийным ситуациям.
7. Характеристики случайных процессов
При исследовании процесса прокатки в динамике приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во вре мени. При этом рассматриваемые явления относятся к области случайных процессов.
Случайные процессы описываются случайными функциями вре мени, но иногда они могут быть случайной функцией координаты. Примерами случайных процессов могут служить изменение тем пературы печи во времени, изменение толщины тонколистового проката по длине рулона, нагрузка электрической сети и многие другие.
На рис. 13 показано семейство реализации случайного процесса, снятых в результате опыта на непрерывном стане.
Рис. 13. Кривые стационарного случайного |
процесса |
3 Ю. Д. Железнов |
33 |
TftJ
x ( t )
0 |
t |
Рис. 14. Кривые нестационарного случайного процесса |
|
В случайном |
процессе нет определенной зависимости Н (t). Каж |
дая кривая множества является лишь отдельной реализацией слу чайного процесса. Реализация случайного процесса, снятая на стане холодной прокатки, может быть описана как случайной функцией времени, так и случайной функцией координаты (длина
прокатываемой полосы). |
t2, •• ., |
tn случайная функция |
В каждый момент времени tlt |
||
принимает случайное значение |
Я (^ ), |
Н (t2), ■ . ., Н (tn). По |
этому случайные процессы характеризуют динамику случайных явлений.
Аналогично случайным величинам случайные процессы могут быть оценены некоторыми вероятностными характеристиками. К этим характеристикам относятся математическое ожидание, среднее значение квадрата случайного процесса (дисперсия), плот ность распределения, автокорреляционная функция и спектраль ная плотность. Характеристики случайных процессов являются функциями времени в отличие от числовых характеристик случайных величин, которые представляли собой определенные числа.
Математическим ожиданием случайной функции х (t) назы
вается неслучайная функция х (t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции [11:
03
(63)
—СО
На рис. 14 показаны реализации случайного процесса и их математическое ожидание. Среднее значение квадрата (дисперсия) дает представление об интенсивности случайного процесса
D (t) = Jсо [х (0 —х (01 w (х, t) dx = л:2 (/) — [л: (Z)]2.
— 00
34