Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

При с =

0 уравнение (9.43) биквадратное:

tk

— б/2 +

1 = 0,

(9.46)

Минимальный

по

модулю

корень

этого

уравнения

равен

~У Ъ—У8.

Уравнение

(9.43)

при

произвольном

с заменяется

сле­

дующим образом:

t'k — 6t2+\+ct

(Г- — 1) = 0.

(9.47)

Обозначим левую часть

(9.47) через fc(t).

Так как

/ (0) =

1

при

с > 0 ;

f(V3

—

V8)>0

с < 0 ;

/ ( - | / з - т / 8 ) < 0

и fc(t)

непрерывна,

имеет

место

неравенство

(9.45).

2. Теперь докажем,

что fc{t)

монотонно

убывает на сегменте

[о, Уз

— УЪ]. Для доказательства достаточно

убедиться

в том,

что fc(t)

<

0.

Действительно,

fc(t)

= tt(t2

— 3) +

с(3/ 2 — 1)

*8

— 3 < 0

при

t<y~3\

(9-48)

З*2

— 1 < 0

при

/ <

1 / V"3 .

Так

как t изменяется

в

пределах

от 0 до

Уз— У 8,

то

Уз^уъ<узи

У з Г у 1 < 1 / У 3

(последнее

устанавли­

вается

непосредственно).

3.

Докажем, что если с' > с, то график функции fc-

(t) (рис. 9.4)

расположен ниже графика fc(t),

т. е.

fc(t)—fC'(t)>0.

Действительно,

/ e (f) =

/* — 6 / » +

1

+ct(t*-l);

fc.

(*) =

** —6*» +

1

+c't{i2—\).

юткуда

Ш-fc-

(t)=(c-c')t(t*-\)>Q.

г.

Выбор начального

приближения

в зависимости от величины 2{ап

—

ац^/а^

Покажем,

что

начальное приближение

tc

уравнения

(9.43)

целесообразно

выбирать следующим образом:

1.

При

100 >

| с | ' > 3

tc

= 1/с;

2.

При

с | < 3

tc = Уз

— У 8sign с;

3.

При

с|

>

0.

В последнем случае приближенное решение уравнения

(9.43)

выписывается

сразу:

L =

!

.

(9.49)

1.

0

c[\-fc(l/c)\

Пусть с :> 3.

Тогда

U(*с) = Ш1 с) =

- 6 / с 2 +

1 +

( 1 / с 2

- 1)

=

=

1/с4 — 5 / с 2 < 0 .

(9.50)

Следовательно,

при с >

(1/5), 0 <

t0 <

(1/с),

где

t0 — реше­

ние уравнения

(9.43).

Вторая

производная f"(t)

< 0

на отрезке [/„, tc].

Действитель­

но,

f ё ( 0 =

12/2

+ 6с/ — 12.

(9.51)

Положительный нуль второй производной равен

— с / 4 + ] / с 2 / 1 6 + 1.

(9.52)

Убедимся в том, что он превосходит

1/с. Решим

неравенство

— с / 4 +

у ' с 2 / 1 6 + _ 1 > ( 1 / с ) .

(9.53)

/"(1/с)/

(1/с) > 0,

так

как fc(t)

< 0 в

пределах

[0, 1/с] Ш

монотонно

убывает.

Так как fc(0) =

—с,

/ с (t)

<1 —с,

с >- 3, следовательно,

/с(0 -«С —3 на сегменте [0, 1/с].

Итерации начинаются с tc = 1/с и последовательные прибли­

жения монотонно убывают до t0>

0, поэтому первую

производную

2. Если 0 < с < 3, то

tc=V

Ъ — У 8.

Как уже говорилось, значение t0

— решение уранения

(9.43)—

. лежит на полуинтервале

[0,tc].

На

этом полуинтервале fc(t) <. 0,

так как положительный нуль второй производной при с =

3 равен

1/2.

В функции

ф (с) = — с 14 +

У

с21

16 + 1 <|J (с) монотонно убыва­

ет при всех значениях с.

Сказанное следует из того, что

Ф'(с) < 0 :

f

(С ) = — 1/4 + с / [ 1 6 ] / с 2

/ 1 6 + 1 ] .

(9.54)

Определим, при

каких значениях с

< 0, т. е.

с / [ 16 т / с 3 /

16 +

1 ] <

(1/4).

Сократив последнее неравенство на 4 и возводя полученное

выражение в квадрат, приходим к неравенству

с 2 < с 2 + 1 6 ,

(9.55)

которое будет справедливо при всех значениях с.

Так как

положительный нуль fc(t)

есть монотонно

убывающая

функция

с,

то для

всех значений

с,

заключенных

в интервале

О < с <

3, нуль второй производной превосходит 1/2.

Таким образом,

при 0 < с < 3

одно значение второй

производной

отрицательно, другое — больше

1/2,

следовательно, вторая произ-

[О, 1/2], а тем более в пределах [0, tc],

так как

У 3 — У 8 < (1/2)

(рис. 9.5).

Выше было показано, что / с (Уз

— У в) <

0, следовательно,

Оценим теперь fc(t)

для случая 0 <^ с <

3. Если а есть решение

уравнения fc{t) = 0

при с — 3, то решение уравнения fc(f) — О

при с < 3 лежит правее а (см. п. 3).

Так как для всех с в пределах 0 <1 с <

3 итерации начинаются с

решения уравнения

(9.43)

При

решении

уравнения

(9.43) на ЭЦВМ получается не точное

решение t0,

так как итерации

обрываются на некотором прибли­

жении th. Дадим оценку величины погрешности

Решение

уравнения

(9.43)

последова­

тельными приближениями

ведется до тех

пор, пока |/ (th)\ не станет меньше

неко­

торого

е. Величина

е вводится в машину

вместе с программой. При всех значениях с

справедлива

оценка

fc(t) < —2.

М с

Проведем

(рис. 9.6)

через

точку

координатами

thl,

f (tk)

прямую е с угло­

вым коэффициентом —2. Пусть

tk'—точка

Уз-VT

пересечения этой прямой с осью t. Так как

f(tK)

fc{t)

<

—2,

то на tkth

график / с (t) распо­

ложен выше кривой

t.

Следовательно,

t0

лежит между 4<V В треугольнике tkth М

катет titth

в

2 раза

меньше

катета

thM.

Предположим,

что |/с (4)| <

е ; тогда

tk—tQ<tk—tk<{zl2).

Рис. 9.6.

Геометри­

ческое

представление

Таким образом,

найдя

значение t

оценки

точности ре­

шения

уравнения

при

котором

/ (th) <

е

получим

реше-

(9.43)

ние с точностью до е/2.

Элементы

г'-го столбца матрицы D

вычисляются

по формуле

dSi

= a s i c o s Ф + ask s i n Ф- (s =

1, 2, ..., i — 1).

Заменив

в этой формуле cos ср на

(1—t2 )/(\-\-t2 )

и sin q> на

Аналогично элементы k-ro столбца

D вычисляются

по формуле

dsk = ask cos Ф — asl

sin ф =

ask

— y - ^ -

(ask

t +

asi)

(9.57)

( s =

1, 2

k— 1).

Для элементов t'-й строки

du = ^

cosф + allssm

ф =

о„ — - j -

^

- (ai s f

— aliS)

(9.58)

(s = i +

1

n).

Для элементов &-й строки

dbs =

°W cos ф — ais

sin ф =

o/ M

— — ^ -

(ot a

f +

a,-,)

(9.59)

(s =

k + 1

n).

Элементы

dih

dik,

dkk

dn

= an

cos2

ф + 2ai f t sin ф cos cp + akk

sin2

ф

=

=

a »

+

7 Г ^ ) Г К ( 1 -

О

+ * (aftft

- a „ ) ] ;

(9>60)

dju =

aik

(cos2 ф — sin2 ф) +

{akk

— au)

sin ф cos ф =

= a»< + T T T ^ [ ( a " ~~a u )

( 1 ~~ ' 2 )

~ 4 / f l ' f t l :

'

( 9 - 6 1 }

dkk

= akk

cos2

ф +

an sin2 ф — 2aik sin cp cos cp =

=

аы

+

TTZT^r

-

a**)

t~aik(l-1%

(9.62)

U + t )~

procedure jacobi

(а,

п,

Е,

b,

Т);

value

п, Е;

integer «; real Е; array

a,

b,

Т;

begin

integer

i,

j ,

k,

t\,

t2,

t3,

/4,

/5,

/6;

real c,

s,

л 1,

г 2,

r3,

г 4,

г 5,

г 6,

г 7,

г 8 , г 9, г 10, М,

Ml;

array

h[\;

5];

procedure f(u,

v, p,

q,

w, in,

I);

value in,

I;

integer u,

v,

p,

q,

in,

I;

array

w;