Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

т. е. матрица перехода от базиса ех , е2 к базису fx,

/ а

будет

СОЭф

—ЭШф

sin ф

cos ф

Переход от ортогонального и нормированного базиса ех, ег, ...

, еп

к

базису fx,

/2 ,

... ,

/,1 производится по следующим

формулам:

fs

=

es,

если

ft

=

cos фег +

sin феЛ ;

(9.24)

fk

=

— sin фег 4- cos

щк.

Базис / г , / 2 ,

... , fn

получается

поворотом иа угол ф в плоскости,

натянутой на векторы ег и eh

базиса ех, е.,, ... ,еп.

Матрица

перехода

1

i

k

1

0

0

Сг й (ф)

=

0

0

(9.25)

COS ф

— sin ф

sin ф

COS ф

О

0

1

Все элементы главной диагонали этой

матрицы,

кроме

Сц

=

=

cos ф, chk

=cos ф,

равны

единице;

cih

= —sin Ф; chi

= sin

ф;

остальные элементы равны нулю.

Пусть aik

—элемент, стоящий на пересечении

i-й

строки и k-ro

столбца матрицы А. Умножив матрицу

А справа

на матрицу

Cih,

а

затем полученную

матрицу

умножив слева

на С,-& (ф),

имеем:

С**(Ф) ACI F T ( 9) =

D.

п

dik=

£

citatscsk,

(9.26)

где с* — элемент матрицы

С*

п

dht=

I ,

c'kialscsi.

(9.27)

t, 5=1

Поскольку С и С* получаются одна из другой

трансформиро­

ванием, то

Следовательно,

сш = clk\

csi

=

cis.

(9.28)

n

n

dki=

S

otkalscts=

£

cisatsclk.

(9.29)

/,

s = l

Л

s=l

Поменяв местами индексы суммирования s и /,

получаем

dki=

£

citastcslt.

(9.30)

/,

s = l

Заменив в ast на

(в силу симметричности матрицы А), окон­

чательно имеем:

л

dln=

S

c «f l tec *A-

(9-31)

Л s= l

При сравнении (9.26) и (9.31) видим, что

dki

=

dik (i,

k=l,

2,3, . . . , « ) .

(9.32)

dik

=

aik

(C O S 2

Ф — S I N 2

Ф) + iflkk — а и ) S I N Ф C ° S Ф-

(9-3 3 )

Приняв

dih

=

0,

получим

формулу для нахождения

угла по­

ворота (р:

ctg 2 Ф

=

Zii—EhL ,

(9.34)

cp = — arcctga "~f l ** .

(9.35)

2

2aik

Вычислив затем sin ф и cosy,

определим элементы матрицы D.

db + dls = (asi cos Ф - f akssin

ф)2 + (— ais sin ф + aks

cos ф)2 =

=

a% + al.

(9.36)

= a% + alk.

(9.37)

S - 2 a ? A = S ' .

(9.38)

нить более быстрый и точный

метод определения

угла поворота ср

и тригонометрических

функций

этого

угла:

вводится

параметр

* = tg (Ф/2).

Тогда

sin ф == 2//(1 +

/ 2 ) ,

(9.39)

соэф = (1 — t°-)/(l

+

t2),

(9.40)

ctg 2ф =

[(1 — /*)» — 4/*] / [4/ (1 — /*)].

(9.41)

Приравнивая ctg 2ф выражению (а г г —акк)/2аш

имеем

[(1 _ / 2 ) 2 _

4 / 2-] / / (

, _

/ 2 ) =

2

{ а . . _ a /

i k ) Iа ц г

( 9 - 4 2 )

Обозначив правую

часть

(9.42)

через

с,

получим

уравнение

4-й степени для определения t:

/4 j

_ с/з _

6/2 _ с / +

i =

о.

.

(9.43)

пользуя

формулы

(9.39) и (9.40), можно

найти значения

sin ср и

cos ср.

уравнения / (0 =

а, b

Для

решения

0

выделяется

сегмент

(рис. 9.3), в пределах

которого функция / (t)

обращается

в нуль

один раз, а' ее вторая

производная

сохраняет

знак. Итерации ве­

дутся по формуле

(9.44)

За

начальную

точку итераций принимают ту из точек

а и Ь,

для которой выполняется неравенство

/ " / > 0- При таком выборе

начала итерации последовательные приближения tk

сходятся моно­

тонно к решению уравнения / (t) = 0.

тому, что th+1

Геометрически

формула

(9.44) соответствует

есть

точка

пересечения

с

осью

t касательной,

проведенной к

кривой

в точке th. Сегмент a,

b должен быть таким,

чтобы f'(t) было доста­

точно велико по абсолютной величине. При малых значениях

f'(t)

в ряде

случаев

теряется

точность

расчета, так как отношение

/ (0//'(0

может превратиться в машинную бесконечность.

в.

Некоторые

свойства

решения

уравнения (9.43)

Рассмотрим, как будет изменяться решение уравнения (9.43)

при изменении

параметра с в пределах

0 <; с <Г оо

(случай

с < 0

исследуется аналогично).

1. Докажем,

что при любом значении с решение t0 уравнения

(9.43)

удовлетворяет

неравенству:

к

к / з - у

з .

(9.45)

fit)

Рис.

9.3. Выделе­

Рис. 9.4. Располо­

ние

сегмента а, Ь

жение нулей урав­

нения fc'(t)