Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Следовательно, транспонированная матрица С*, т. е. матрица, элементы которой сы = ck t (ch * — элементы матрицы С) совпа­ дают для ортогональной матрицы С с обратной матрицей С- 1 , т. е. С*С = Е.

Действительно, элемент

dik

матрицы

С*С

 

 

 

п

 

 

dik

=

S CSi csk =

8ift-

( 9 - 8 )

 

 

S=I

 

 

Последнее равенство справедливо в силу ортогональности матрицы С. Следовательно, С*С является единичной матрицей.

Итак, показано, что собственное

значение матрицы

А совпадает

с собственными значениями диагональной матрицы В.

 

Покажем, что столбцы матрицы С являются

собственными

векторами матрицы А.

 

 

Запишем равенство (9.4) в следующем виде:

 

А = С В С*.

 

Пусть у— собственный вектор матрицы В,-отвечающий соб­

ственному значению X, т. е.

 

 

By =

Xjr.

 

Докажем, что вектор х = Су является собственным вектором

матрицы А с тем же собственным значением.

 

Действительно,

 

 

АСу = СВС* Су.

 

Так как

 

 

С* Су = С - 1

Су = у;

 

АС у =

СВу.

 

В силу того, что By = Ху, имеем:

 

АСу = СХу = ХСу.

 

Следовательно, вектор Су действительно является собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению X.

Собственные вектора

 

диагональной

матрицы В

е1=(1,0,

 

•••

,

0);

е2

=

(0,

1,0,

•••

,

0);

еа

=

(0,

0, 0,

• • •

,

1)

Действительно, координаты собственного вектора матрицы А будут решением системы уравнений:

153

^11 Х1

~Ьа12 Х2 Н"

 

а21 Х1

"ЬQ 22 х г

~Ь

(9.9)

а„1

+ а « 2

+

+ апп Хи ~ ^Хп

Далее непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что

координаты вектора вх удовлетворяют системе уравнений

 

 

 

\1х1-\-0х2

+

•••

+

0 xn

=

Xixl;

 

(9.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0х1

+ 0х2+

•••

+КХ„

=

hx,n

 

 

т. е. действительно

векторы

et

есть

собственные векторы матри­

цы В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cet

 

Следовательно,

по

доказанному

выше

векторы

являются

собственными

векторами матрицы А.

 

 

 

 

 

Итак, если вектор х имеет

координаты xi, х2, ...

, хп,

то коор­

динаты

у2,

... , уп вектора у = Сх определяются

по формулам:

 

 

 

с п x i + ' ' ' ~Ь Сы хп — Уй

 

(9.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cni x i + '' ' ^ спп хп — Уп- )

 

 

После подстановки в (9.8) координаты вектора e-t видно, что

координатами вектора Сег являются

числа,

стоящие в г'-м столбце

матрицы С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§9.3. Приведение матриц

кдиагональному виду

Переход от матрицы А к диагональной матрице В осуществим методом последовательных приближений: построим последователь­

ность матриц А0 , A i

A m , ... , где А0 = А; Ат

-> В при т ->• оо.

Переход от матрицы Ah

к матрице А / ; + 1 в этой последователь­

ности осуществляется

следующим образом:

 

 

 

 

 

Ap

+ i — Ср Ар Ср,

 

 

(9.12)

 

 

 

 

 

где матрица Ср

— ортогональная матрица специального

вида

(мат­

рица «элементарного

поворота»).

 

 

 

Матрица Ср строится по заданному внедиагональному элемен­

ту а/й' матрицы Ар и такова, что элемент ар~ш матрицы Ар+г

равен

нулю и сумма

квадратов

внедиагональных

элементов

матрицы

Ap+i меньше соответствующей суммы для матрицы Ар на величину 2 [а!£>]2 т. е.

(9.13)

i, k=l l * k

i, k=l

Таким образом,

 

154

A p _ i — Ср Ср^ ... С0 АС0 С4 С2 ... Ср_! Ср,

т. е. матрица C0Ci ... Ср сходится

к матрице С такой, что С*АС =

= В, где В —диагональная

матрица.

Итак, произведение С0...Ср

сходится, к матрице, столбцы кото­

рой являются собственными векторами матрицы А.

При переходе от матрицы

Ар

к матрице Ар+1 можно обращать

в нуль любой внедиагональный элемент матрицы. Тот случай, когда выбирается максимальный внедиагональный элемент мат­ рицы Ар, приводит к методу Якоби. Современное развитие вычис­ лительной техники дает возможность находить собственные числа матриц высокого порядка. В связи с тем, что просмотр п (п — 1)/2 внедиагональных элементов при каждой итерации требует относи­ тельно больших затрат машинного времени, целесообразно внедиагональные элементы уничтожать подряд. Возможно также некото­ рое видоизменение последнего метода введением нескольких поро­

гов: берется

некоторая последовательность чисел

а£> а2

>

.... >

>

ah > О, где ah

близко

к машинному нулю,

и в первую

очередь

уничтожаются те

внедиагональные

элементы

матрицы,

которые

по

своему

абсолютному

значению

превосходят

первый

порог

(числа ш). Когда все внедиагональные элементы станут меньше или равными d , первый порог заменяется числом а 2 (второй порог) и т. д. до тех пор, пока все внедиагональные элементы не станут меньше ak.

§ 9.4. Доказательство сходимости

Во всех изложенных выше методах приведения матриц к диаго­ нальному виду обращаются в нуль лишь те внедиагональные эле­ менты матрицы, которые превосходят по абсолютной величине не­ которое заданное положительное число е. Счет прекращается, как только все внедиагональные элементы станут меньше е. Стоящие

по диагонали

матрицы

Ат

элементы являются приближенными

собственными

числами, .а

столбцы матрицы С — приближенными

собственными

векторами

матрицы А.

Выбор величины е зависит от того, с какой точностью необхо­ димо определить значения собственных чисел и собственных век­ торов. Для быстрых, но грубых расчетов, можно брать сравни­ тельно большое значение е. Для более точных значений величина е близка к машинному нулю.

Под «сходимостью» понимается следующее: существует натураль­ ное число т0, такое, что все внедиагональные элементы матрицы Ат „ не превосходят по абсолютной величине указанного числа е. Докажем это.

Обозначим через ат сумму квадратов внедиагональных элемен­

тов матрицы А т . Формула

(9.13) запишется

в следующем виде:

a m + i

= а т — 2а/А .

(9.14)

155

Так как при любом элементарном повороте |аг ,,|

 

TO

<*m<<*m-i— 2s2;

 

 

а т п - 1 < а т - 2 —2e2 ;

(9.15)

 

a i

<»а о — 2те 2 .

 

Из (9.15) следует,

что

 

 

 

а

т < « о — 2ms2 .

(9.16)

Следовательно, существо числа т0 таково, что все внедиагональные элементы матрицы А,„0 не превосходят е (в противном случае правая часть неравенства (9.16) при достаточно большом т отри­ цательна, но, с другой стороны, она превосходит стоящее справа число ат, которое как сумма квадратов вещественных чисел не отрицательна).

Итак, матрица А,„ имеет своим пределом диагональную матрицу.

§9.5. Элементарный поворот

а.Приведение нривой второго порядка к главным осям

Пусть векторы ei, е2, ...

, еп

линейно независимы и любой вектор

из базиса

представляется

в виде линейной

комбинации этих

векторов (единственным образом):

 

 

 

x = xiei

+ xzez +

... +хпеп,

(9.17)

где xi,

хп — координаты вектора

х в данном

базисе.

Элементы матрицы А можно рассматривать как коэффициенты

квадратичной

формы:

 

 

 

 

а (х, х)

=

аи х\ +

а1 2 ххх2 + ... +

ain xt хп +

а2 1 х2х^

+

 

+

a22xl+

... +ап1хпх1+

... +annxl.

 

(9.18)

При переходе к новому базису Д, / 2

/ п матрица

квадратич­

ной формы а

(х,

х) преобразуется по следующему

правилу:

В = С*АС,

где В — матрица квадратичной формы в новом базисе; С — матри­

ца перехода

отбазиса ei,

е2, ...

, еп

к базису Д, / 2 , ... , / п ,

т. е.

г'-й

столбец матрицы С (/ =

1, 2, 3, ... , п) составлен из координат

век­

тора ft в базисе е\, е2, ...

, еп. >

 

 

 

Пусть Pik

—плоскость, натянутая на векторы et и eh.

Рассмот­

рим поверхность второго

порядка

 

 

 

 

а(х,

 

х)=

п

aesxexs = 0.

 

 

 

 

2

(9.19)

 

 

 

 

е, s = l

 

 

 

156

Эта

поверхность

пересекается с плоскостью

Рi k

по

кривой

второго

порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о.н

х] +

2aik

xt

xk +akkxi

=

0.

 

 

(9.20)

Действительно, плоскость Pik

состоит из векторов:

 

 

 

 

e = xle1

+ xiei+...+хаеа,

 

 

 

 

(9.21)

для которых все xs =

0 при s, отличном от i и k.

 

поверхность,

Следовательно, уравнение

кривой,

по

которой

определяемая уравнением

(9.19),

пересекается с плоскостью

Pih,

получается вычеркиванием из уравнения (9.19) всех

членов,

 

содер­

жащих переменные хе,

отличные от xt

и

xh.

 

 

 

 

 

При переходе в плоскости Рi k к базисным векторам ei и е^, направленным по главным осям кривой, которая определяется уравнением (9.20), уравнение кривой запишется в виде:

а'и *? + a'kk х\ = 0.

(9.22)

Переход к новому базису осуществляется поворотом базисных векторов на некоторый угол <р (рис. 9.1).

б. Вычисление элементов матрицы С* А С

Рассмотрим переход от одного ортогонального и нормирован­ ного базиса на плоскости к другому, получающемуся поворотом данного базиса на угол ср. Ортогональным и нормированным бази­ сом называется базис, составленный из попарно ортогональных векторов единичной длины. Векторы Д и / 2 через векторы ei и е2 выражаются следующим образом (рис. 9.2):

Д = cos ср et

-f- sin ф ег;

(9.23)

 

 

Д = — sin ф ех + cos ф е2 ,

Рис. 9.1. Поворот базисных векто-

Рис. 9.2. Связь

векто­

ров на угол <р

ров при переходе

к но­

 

вому базису

157

Смотрите также файлы