Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

влияния на конечный результат, который можно не учитывать. Для возникших таким образом переменных и функций записы­ ваются связи между параметрами данной физической системы. Эти связи выражаются с помощью формул, либо с помощью дифферен­ циальных или интегральных уравнений и т. п., решением которых являются переменные функции, соответствующие некоторым пара­ метрам физической системы. Так, например, если система состоит из сосредоточенных элементов, подобных сопротивлениям электри­ ческой цепи, время будет единственной независимой переменной.

Состояние электрической цепи в каждый момент времени опре­ деляется значениями токов, протекающих по ее ветвям, или напря­ жениями между некоторой точкой и узлами цепи. В цепях перемен­ ного тока указанные величины меняются во времени. Поэтому вре­ мя становится необходимой величиной для описания системы. Оно не зависит от изменений в системе, поэтому является независимым параметром в физической системе. При рассмотрении электричес­ кой системы с распределенными параметрами (например, длинной линии электропередачи) должны учитываться дополнительные не­ зависимые переменные (например, токи, как перемещение вдоль линии электропередачи). Независимые переменные могут менять­ ся произвольно, не влияя при этом одна на другую. Таким образом,

М между переменными и функциями, соответствующими парамет­ рам xi, х2, хп. В число последних входят активное сопротивление, индуктивность и емкость электрической цепи, а также напряжение питания, подводимое к цепи от генератора с известными характе­ ристиками и параметры трансформаторов концевых, устройств. Прочие величины, которые описывают систему, являются зависимы­ ми переменными, так как зависят от значений параметров и неза­ висимых переменных.

Если ход и результаты процесса, протекающего в электрической цепи, предопределены его исходным состоянием, то используются математические методы и приемы детерминированного описания: различные функциональные зависимости, уравнения, системы урав­ нений. Так как переменные могут быть либо детерминированными, либо случайными величинами, большое значение имеет их выбор и установление логической структуры. Лишь в первом приближе­ нии параметры физической системы остаются постоянными и не меняются ни при каких возможных для данной системы условиях, тогда математическим описанием системы будут уравнения, в ко­ торых переменные фигурируют непосредственно или в виде их производных, или интегралов. Постоянные величины в уравнениях определяются значениями параметров системы. При описании слож­ ной системы количество уравнений этого вида равно числу зависи­ мых переменных, которые являются неизвестными для рассмат­ риваемой системы. Результирующие уравнения, содержащие лишь производные по одной независимой переменной, называются обык­ новенными дифференциальными уравнениями. Когда же имеется

41

более одной независимой переменной, появляются частные произ­ водные по некоторым или по всем переменным, и дифференциальное уравнение становится уравнением в частных производных.

Линейность реальной системы, по выражению акад. А. А. Анд­ ронова, «дико частный случай». В основном параметры системы в природе и технике непостоянны. Например, как только токи или напряжения в электрической цепи становятся чрезмерными, начи­ нают появляться нелинейные эффекты, проявляющиеся в том, что стальные сердечники насыщаются, диэлектрические свойства изо­ ляторов перестают быть постоянными, температура и сопротивле­ ние проводников меняются. Чтобы привести к указанным измене­ ниям, в ряде случаев достаточны небольшие токи и напряжения.

Часто параметры системы меняются при изменении значения одной или нескольких зависимых переменных; в этом случае систе­ мы являются нелинейными. Например, расчет токов и напряжений в электрической системе со многими нагрузками, мощности кото­ рых заданы, сводятся к решению системы нелинейных уравнений.

Например, имеется одноконтурная цепь с включенной нагруз­ кой, в которой активная составляющая мощности Р, реактивная составляющая — Q, активное сопротивление цепи г, реактивное сопротивление х, величина подведенного напряжения питания це­ пи и.

Активная R и реактивная X составляющие сопротивления нагрузки являются функциями тока:

R = Р/Р; X = QII-; I = и/У (г + R)'1 + {х + X)2 .

Из этих выражений следует, что для определения тока тре­

В случае системы со многими нагрузками для того же по су­ ществу примера расчет токов сведется к решению системы нели­ нейных уравнений.

Первый этап изучения реальных систем упрощается тем, что сводится к изучению их линейных математических моделей. Напри­ мер, известно, что механизм автоматического регулирования ампли­ туды в генераторных системах, использующих электронные лампы и транзисторы, основан на работе в нелинейной части харак­ теристик этих устройств. Распространение матричной теории ли­ нейного четырехполюсника на генераторные системы будет логич­ ным, если рабочую область можно считать лежащей в линейной части характеристики передачи активного устройства. Такое предполо­ жение в ряде случаев для инженерных, оценочных расчетов явля­ ется допустимым и позволяет сформулировать соответствующие уравнения. Линейные математические модели содержат матрицы проводимостей, входящих в систему четырехполюсников. При этом сами генераторные схемы представляются в виде параллельно сое­ диненных активного и пассивного четырехполюсников. В качестве другого случая можно указать, например, на расчет городских

42

электрических сетей, когда потокораспределение рассчитывается приближенно. Задача сводится к линейной при использовании кон­ турных уравнений мощностей, полученных из уравнений контур­ ных токов умножением их на номинальные напряжения. Контур­ ные же уравнения мощностей линейны относительно мощностей.

Точность в инженерных расчетах не всегда обязательна, ино­ гда достаточно свести нелинейную задачу к линейной. Но для де­ тального и всестороннего изучения реальных систем линейные математические модели слишком упрощенны и грубы.

Наличие нелинейных составляющих приводит к потере одного из наиболее важных свойств линейных уравнений — принципа суперпозиции, который дает возможность построить сложное ре­ шение уравнения в виде линейной комбинации более простых ре­ шений. Кроме того, линейное дифференциальное уравнение имеет единственное решение.

Для нелинейных дифференциальных уравнений нет общей фор­ мы решения. Здесь серьезным фактором, упрощающим задачу, является аппроксимация зависимостей, т.е. приближение функции. При рассмотрении широкого класса электротехнических нелиней­ ных систем аппроксимация зависимостей, позволяющая перейти к более простой форме, часто обеспечивается системой ортогональ­ ных полиномов.

Теория вероятностей показала, что в системах скорее преоб­ ладают вероятностные, чем детерминированные соотношения. Так, например, в реальных условиях на работу систем автоматического управления кроме полезных входных сигналов оказывают влияние всевозможные случайные возмущения (помехи). Поэтому величины выходных параметров системы (они обычно называются выходны­ ми координатами) всегда отличаются от расчетных значений, най­ денных для некоторых идеализированных условий работы системы. Иначе говоря, реальная динамика системы автоматического управ­ ления из-за влияния случайных возмущений отличается от идеаль­ ной (расчетной) динамики. Поэтому даже в том случае, если детер­ министическая модель отображает с известной точностью сущест­ венную часть наблюдаемого явления в реальной системе, то в за­ висимости от ситуации вносится элемент случайности.

Случайные возмущения по отношению к исследуемой системе могут быть внешними или внутренними. К внешним случайным воз­ мущениям относятся возмущения, искажающие полезные входные сигналы (входные координаты). В ряде случаев эти возмущения мо­ гут быть настолько значительными, что прямое использование вход­ ного сигнала совместно с ними оказывается невозможным. В этих случаях входной сигнал предварительно фильтруют.

На функционирование систем могут оказывать влияние также и случайные отклонения параметров, характеризующих условия ра­ боты системы, от их расчетных значений (напряжений генераторов, колебаний нагрузки в электрораспределительной сети и т. д.). Указанные отклонения также являются внешними возмущениями. К внутренним случайным возмущениям относятся возмущения, ис-

43

точники которых заложены в самой системе (случайные шумы в радиодеталях, асимметрия в линиях электропередачи, отклонения конструктивных параметров системы от расчетных величин и др.).

Исследование систем в условиях воздействия случайных фак­ торов осуществляется теоретико-вероятностными или статисти­ ческими методами. Особенно большое число моделей вероятност­ ного характера разработано для линейных систем автоматического управления. Решение многих задач в этой области доведено до окончательных результатов.

Нелинейной схемой (с точки зрения постановки статистических исследований) называется схема, в которой между выходными координатами и входными случайными возмущениями существу­ ют нелинейные зависимости. При таком определении система, ли­ нейная по отношению к полезному входному сигналу и некоторым параметрам, может оказаться в целом нелинейной.

Рассмотрим, например простейшую систему первого порядка, описываемую дифференциальным уравнением вида:

[(T0 + V)S+ l]Y = X

при начальном условии Y(0) = 0, где Т0 — расчетное значение постоянной времени; V — случайное отклонение постоянной вре­ мени от расчетного (идеального).

Эта система линейна относительно входного сигнала X и не­ линейна относительно случайного параметра V, что видно, если за­ писать решение рассматриваемого уравнения:

о

Таким образом, можно построить модель преимущественно вероятностного или преимущественно детерминированного харак­ тера. Возможны: детерминистическая модель вероятностной реаль­ ной системы и наоборот, а также детерминистическая модель детер­ министической системы и вероятностная модель вероятностной си­ стемы. К области детерминистическая система — вероятностная мо­ дель относятся применения метода Монте-Карло, например, для расчета сложной электрической схемы, характеристик. Эти при­ менения являются одним из наиболее ярких примеров использо­ вания вероятностных моделей для описания детерминистических реальных систем. При использовании детерминистической модели для описания вероятностных случайных ситуаций и в случае при­ менения вероятностных моделей для описания детерминистических реальных систем необходима определенная аппроксимация.

44

§ 4.2. Идентификация задач управления сложными системами

а. Модели формирования управляющего воздействия объектом

Результаты идентификации применяются для рассмотрения ря­ да задач управления, связанных с выбором структуры, алгоритма управления и т. п. Сложность и многообразие процессов функцио­ нирования реальных систем не позволяет строить для них совер­ шенно адекватные математические модели. При решении задач управления часто необходимо математическое описание, устанав­ ливающее связь между входными и выходными переменными с целью формирования управляющего воздействия, обеспечиваю­ щего достижение заданной цели функционирования.

Так, например, динамика объекта автоматического управления может быть описана системой дифференциальных уравнений, при­ веденных к форме Коши:

Приведенные дифференциальные уравнения в более общем слу­ чае могут быть частично заменены некоторыми конечными функцио­ нальными зависимостями между величинами Yt и Xj или же ко­ нечно-разностными уравнениями. Однако, каков бы ни был ха­

лической модели, отображающее адекватное соответствие между

ляет собой закон преобразования заданного X, в результате воздей-

45