Файл: Вопросы водного хозяйства [сборник]..pdf

зывает значительные трудности, обусловленные влияни­ ем границ на распределение по сечению турбулентной вязкости. Полуэмпирические способы расчета распреде­ ления по сечению кинематического коэффициента турбу­ лентной вязкости К [1', 11]) и обработка эксперименталь­ ных данных [13, 15] показывают, что для потоков огра­ ниченного поперечного сечения предположение об уменьшении К при приближении к осям симметрии пря-

Рис. 1. Расчетное распределение кинематического коэффициента турбулентной вязкости в потоке с большим отношением В/Н: V= = 0,371 м/сек-, 1=0,0003125; i=7,l°C.

моугольного сечения закрытого потока и свободной по­ верхности открытого потока, как это имеет место для пло­ ских потоков, не всегда соответствует действительности. Например, у потоков прямоугольного сечения имеются области, находящиеся в зоне влияния боковых стенок, где К монотонно возрастает при приближении к оси сим­ метрии прямоугольного сечения и свободной поверхно­ сти открытого потока [1, 11, 13, 15]. Вычисления показы­ вают, что при больших отношениях ширины к глубине открытого потока прямоугольного сечения средние на вертикали значения К в области у боковых границ на порядок больше, чем у середины сечения. Соответствую­ щее распределение по сечению представлено на рис. 1. Поэтому расчеты, основанные на приведении тем или иным способом потока в сложных сечениях к плоскому, должны приводить к значительному уменьшению сред­ него по сечению значения К.

Таким образом, распределение коэффициента турбу­ лентной вязкости по сечению ограниченных размеров подчинено сложной закономерности, на формирование которой оказывает существенное влияние расположение участков периметра сложного сечения. Поэтому способы

61

определения среднего по сечению значения К, основан­ ные только на понятиях плоского потока, не позволяют учесть влияние формы на его распределение по сечению и, следовательно, правильно определить среднее значе­ ние. В связи с этим делается попытка учесть при расчете среднего значения К особенности его распределения по сечению.

Разработать метод расчета распределения коэффи­ циента турбулентной вязкости в потоках различных се­ чений, которые имеют естественные русла, чрезвычайно сложно. Поэтому возникает необходимость эквивалент­ ной замены сложного сечения более простым, для кото­ рого представляется возможным с приемлемой точностью определить среднее по сечению значение К.

В связи с заменой сечений целесообразно рассмот­ реть вопрос о критерии подобия потоков различных сечений и условиях равенства среднего по сечению зна­ чения К. Если ввести в уравнения Рейнольдса коэффи­ циент К, то, пренебрегая влиянием поперечных компо­ нентов скорости, применительно к однородным по длине потокам со свободной поверхностью, получим уравнение движения в проекции на продольную ось в виде

А— лаплассиан;

х2, *з — координаты в поперечном сечении потока. Из уравнения можно получить, что для двух механи­

чески подобных течений должно выполняться соотно­ шение

62

сечениях равенство Ki = K.2 требует выполнения соотно­ шения

^2

Для сечений, геометрически неподобных, достичь пол­ ного механического подобия не представляется возмож­ ным. Однако в рассматриваемой задаче требуется только равенство средних по сечению коэффициентов турбу­ лентной вязкости. В связи с этим, на наш взгляд, воз­ можно и целесообразно несколько ослабить требования к полному геометрическому подобию сечений, но усилить их к входящим в соотношение параметрам. Целесооб­ разно на выбор эквивалентного сечения наложить огра­ ничение, потребовав лишь близости формы сечений и ра­ венства их характерных размеров. К другим параметрам соотношения целесообразно усилить ограничения, потре­ бовав не только выполнения соотношения, но и равенст­ ва входящих в него величин.

Тогда естественно полагать, что для потоков, близких по форме сечений, имеющих одинаковые характерные размеры, средние скорости и уклоны, будут равны и средние по сечению значения К.

Кроме того, анализ наиболее общих эмпирических формул [12, стр. 625], [4, стр. 126], [14], полученных на основе обработки опытных данных, в том числе и для потоков ограниченного сечения, показывает, что среднее значение коэффициента турбулентной вязкости пропор­ ционально средней скорости, характерному размеру и корню квадратному из коэффициента трения. В некото­ рых формулах коэффициент пропорциональности счита­ ется независимым от формы сечения [4, стр. 126], [14], в других принимается постоянным для отдельных форм сечений [12, стр. 625]. Таким образом, из анализа экспе­ риментальных данных также можно сделать вывод, что для различных сечений средние значения К равны, если равны средние скорости, характерные размеры и коэф­ фициенты трения или уклоны. В развиваемой ниже полуэмпирической теории коэффициент пропорционально­ сти в формулы непосредственно не входит. Если фор­ мально попытаться перейти к структуре упомянутых эмпирических соотношений, то из полученных формул можно вычислить коэффициенты пропорциональности.

Однако структура полуэмпирических зависимостей

63

для коэффициента турбулентного обмена получена на основе обработки результатов опытов, выполненных в трубах [12, стр. 625] и частично в открытых потоках [4, стр. 127], [14] довольно простых форм сечения. В по­ токах сложного поперечного сечения из-за влияния гра­ ниц на распределение турбулентных напряжений и трех­ мерности поля осредненных скоростей в распределении по сечению К могут появиться особенности, изменяющие величину среднего по сечению значения. В этом смысле структура зависимости может быть несколько уточнена учетом влияния упомянутых факторов. Однако она, не­ сомненно, содержит основные параметры, определяющие среднее по сечению значение коэффициента турбулент­ ной вязкости. Поэтому предположение, что средние по сечению коэффициенты турбулентной вязкости равны, если равны средняя скорость, гидравлический радиус и коэффициент трения или уклон, применительно к пото­ кам сложного поперечного сечения может рассматри­ ваться как правдоподобная гипотеза, которая может быть уточнена по мере накопления опытных данных. Она положена в основу последующего вывода зависи­ мостей.

Схематизация сложного поперечного сечения заклю­ чается в следующем. Каждое сложное сечение заменяет­ ся прямоугольным, у которого равны средняя по сечению скорость, гидравлический радиус, коэффициент трения или уклон. Такое прямоугольное сечение назовем экви­ валентным. Размеры эквивалентного прямоугольного се­ чения рассчитываются таким образом, что суммарно учи­ тывается расположение границ сложного сечения.

При расчете размеров эквивалентного прямоугольно­ го сечения использована новая трактовка известного [3] гидравлического постулата о равнозначности при опре­ делении средней скорости каждого равномерного потока плоскому равномерному с глубиной, равной гидравли­ ческому радиусу, и шириной, равной смоченному пери­ метру. Сущность новой трактовки заключается в том, что каждый равномерный поток представляют как неко­ торую сумму двух плоских потоков — вертикального и горизонтального, — при определении размеров которых учитывается влияние на местную скорость формы сече­ ния [2, 5, 6, 9, 10]. В случае прямоугольного сечения глубина плоского вертикального потока равна глубине потока, ширина плоского горизонтального — полушири-

64

не потока [9], т. е. размеры эквивалентного прямоуголь­ ного сечения и размеры сечения потока совпадают.

В случае сложного сечения глубина плоского верти­ кального потока сначала определяется приближенно такой [2, 5, 6], чтобы средняя скорость плоского по вер­ тикали потока постоянной глубины была равна средней скорости для плоского по вертикали потока в сложном сечении. Аналогично ширина плоского горизонтального потока сначала определяется приближенно такой, чтобы средняя скорость плоского по горизонтали потока по­ стоянной глубины была равна средней скорости для пло­ ского по горизонтали потока в части сложного сечения от границ до динамической оси (рис. 2). Затем размеры эквивалентного прямоугольного сечения определяются из условия равенства гидравлических радиусов эквива­ лентного прямоугольного и сложного сечений.

Изложим метод расчета среднего по сечению значе­ ния К применительно к сложному сечению в виде выпук­ лого многоугольника. Схематизация сечения представле­ на на рис. 2. Штрихпунктирной линией обозначена гид­

ную гидродинамическую ось сечения принимается линия, проходящая через середину ширины сечения на различ­ ных отметках, как представлено на рис. 2. Штриховыми

линиями обозначены границы плоских потоков по вер­ тикали и горизонтали: Hj и Bf — глубина погружения /-той вершины многоугольника и расстояние до нее от начала отсчета. Каждое сложное сечение можно соста­ вить из трапецеидальных отсеков, частным случаем ко­ торых являются прямоугольник и треугольник. Расходы

через трапецеидальные отсеки найдем в соответствии с новой трактовкой гидравлического постулата как рас­ ходы для плоских потоков по формуле Шези

Bj+1 _____

Q= j С (х3) У Н (х3) i Н (х3) dx3,

где индекс х3 обозначает, что соответствующие величи­ ны могут изменяться с изменением х3.

Для определения скоростного коэффициента Шези воспользуемся результатами исследований И. К- Ники­ тина [7, 8]. Формулу можно представить в виде

Сj = Djin Нj - ) - Ej,

бV Y J

участков кривой для соответствующего типа шерохова­ тости;

А— абсолютный размер шероховатости стенки;

б— толщина пристенного слоя по И. К. Никитину; i — уклон;

g — ускорение силы тяжести;

у — кинематический коэффициент вязкости. Расход плоского вертикального потока:

а) для трапецеидального отсека общего вида (слу­ чай Hf ф Я/+1)

i'/* BJ+1- B ,

Q— 2,5

66

но определить из решения уравнения, основанного на формуле Шези

i'/22

/ = 1

Глубину, точнее, ширину В х плоского по горизонтали потока, у которого средняя скорость будет равна сред­ ней скорости плоского по горизонтали потока в части сложного сечения от границ до динамической оси пото­ ка, определим аналогично

Разумеется, что гидравлическая аксиома о возмож­ ности замены при определении средней скорости каж­ дого равномерного потока плоским равномерным и ее новое толкование носят приближенный характер, так как не полностью отражают сложнейшие процессы, ко­ торые имеют место в потоках особенно сложного попе­ речного сечения. Однако опыт применения этих положе­ ний к расчетам распределения по сечению продольных скоростей позволяет сделать вывод о том, что они в це­ лом довольно правильно характеризуют течение жидко­ сти. Выполнялись сравнения распределения скоростей (более 50 опытов), рассчитанных на основе этих поло­ жений с опытными данными в различных по форме сече­ ниях. Полученные результаты можно считать вполне удовлетворительными, они частично представлены в статьях [2, 9, 10]. Таким образом, для принятия этих положений в качестве аксиом для первого приближения имеются, на наш взгляд, достаточные опытные обосно­ вания.

Тем не менее, учитывая приближенность этих гипо­ тез, трудно ожидать, чтобы точно удовлетворилось для

68