ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
четной схемой, при соблюдении необходимой для прак тики точности.
ЛИ Т Е Р А Т У Р А
1.Справочник гидрогеолога под общей редакцией М. Е. Альтовского. М., Госгеолтехиздат, 1962.
2. |
У с е н к о В. |
С., |
Ч а б а н М. О. Расчеты уровней подземных |
вод в |
однослойных |
и двухслойных пластах при искусственном по |
|
полнении их запасов. |
В сб.: «Исследования по теории функций |
||
комплексной переменной и ее применения». Издание института ма тематики АН УССР. Киев, 1972.
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
Г. В. В А С И Л Ь Ч Е Н К О
СВЯЗЬ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОТОКЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Работа выполнена с целью уточнения существующих представлений о связи между нормальными и касатель ными напряжениями в пространственных турбулентных и ламинарных потоках. Вывод зависимостей, позволяю щих устанавливать связь между напряжениями, основан на использовании инвариантов тензора напряжений.
Для трехмерного напряженного состояния тензор напряжений имеет вид
Оц СГ^Очз |
|
|
Ы = ^21^22^23 |
> |
( 1) |
<%а32<?33 |
|
|
где аи — нормальные; |
(i, /= |
1, 2, 3). |
oif=Oji — касательные напряжения |
Указанный тензор напряжений является симметрич ным и при помощи ортогонального преобразования мо жет быть приведен к диагональному виду. При этом сдвиговые компоненты тензора вц обращаются в ноль, а нормальные совпадают с его собственными значениями (Оь 02, Оз)-Их называют главными напряжениями, а со ответствующие им собственные направления — главны ми направлениями тензора напряжений.
Уравнение характеристической поверхности |
тензора |
напряжений можно записать в виде [1] |
|
OijXiXj = 1. |
(2) |
Здесь xit xf — координаты точки поверхности напря жений или радиуса вектора этой точки.
В тензорном исчислении [1] доказывается, что при параллельном переносе координатных осей коэффици енты Оц не меняются. Отсюда следует, что составленные из коэффициентов величины
h = On + °22 + азз> |
(3) |
43
0Ц012 _j_ |
| 0Ц018 |
022023 |
|
!1 |
|
032033 |
0210-2 |
1 0з10зз |
|
|
0Ц012013 |
|
/ 3-- |
G‘ilG-12^23 |
( 5) |
CF31°32O33
являются инвариантами тензора напряжений. Воспользуемся тем условием, что на площадках, где
действуют главные нормальные напряжения, касатель ные напряжения равны нулю, и представим инвариан ты (3—5) в виде
Л |
0 i |
|
- f ~ |
° 2 |
+ |
° з |
— |
0 |
/2= а,ст, + а,03+ а2а3 |
апа,, + аиа33-!- о22033— |
|
|
|||||
|
— а-12 |
и 13 |
|
и 23> |
|
|
(40 |
|
|
|
а 2 |
— |
о 2 * |
|
|
|
|
/3 — 0 1 0 2 СТ3 — ° 1 1 О 2 2 0 3 3 |
0 Ц ° 2 3 |
0 2 2 0 J 3 |
|
|
|
|||
|
— 033012 + |
2 а12а 13а 23. |
|
|
(50 |
|
||
В дальнейших выводах принято |
|
|
|
|
||||
|
011 0^" 022» 0ц ^ |
03з- |
|
|
(6) |
|
||
Обозначим разность между компонентами нормаль ных напряжений а22, 0зз н соответствующими им глав ными нормальными напряжениями через 8k (k = 2,3). Соответственно получим
82 -- |
022 - |
б 2; |
(7) |
S3= |
033 -- |
63. |
(70 |
Тогда на основании первого инварианта (3') главное нормальное напряжение можно представить в виде
0i = 0ц + б2 + 63. |
(8) |
Подстановка этих значений (7,7',8) во второй инвариант (4') приводит к зависимости, связывающей нормальные н касательные напряжения через результирующие векто ры напряжения 8k.
l°2l2' (0i1 022 + б2) 82] + [а^з — (аХ1 — а33 + |
83) 83] + |
+ (^ 3- б 2б3) = 0. |
(9) |
44
Аналогичный прием с использованием третьего инвари анта (5') позволяет получить еще одно уравнение связи между компонентами напряжений и 6k-
0Ч1 (<*23 + |
б.бз) + |
|
сг22 [о*, — |
(0n — а33 -f |
63) б3] + |
|
“ Н 0 33 [0^J2 |
( О ц |
* Ч 2 + б 2) |
6 2] |
*^22^2^3 |
® 3 3 ^2 ^3 ~Ь |
|
|
Н- S|63 + |
6,61 — 2<т12а13а23 = 0. |
(10) |
|||
Проанализируем зависимость (9). Для этого перво |
||||||
начально рассмотрим |
случай |
плоского |
напряженного |
|||
состояния, при котором одно из касательных напряже ний, например 013= 0. По определению главного нор мального напряжения 03= 033, а 6 3 = 0. Чтобы установить, может ли в этом случае касательное напряжение 023 при нимать значения, отличные от нуля, воспользуемся за
висимостью (Ю), при условии 01з= |
6з= О. Получим |
|
||
<41^23 + <Чза?2 — <*33 (<*11 — 022 |
+ |
S,) б2 = 0. |
(11) |
|
Подставив из |
(9) значение (оц—0 |
2 |
2 + 6 2 ) б2= о*2 + |
о|3 |
в (11), имеем |
(оц—о33) 0гз= О, так как в общем случае |
|||
0и=5^=0зз, то 023= 0. Таким образом, если любое из каса тельных напряжений 0i2 или 013 равно нулю, то всегда 023 также равно нулю. Тогда из зависимости (9) следует,
что в случае плоской задачи произведение |
бй |
(& = 2,3) |
на разность нормальных напряжений 0ц |
и |
0* равно |
квадрату касательного напряжения на площадке нор мальной к okk*.
(Oil — + = 0?*. (12)
Последнее уравнение позволяет выяснить физический
смысл б,,, если его представить в виде 6k = ■ |
(+ ох/,) |
|
|
(Оц— 0ГА) |
|
и учесть, что ■^ |
= + tg a [2, 3]. Следовательно, 6k= |
|
(a n |
a k ) |
|
= ± является нормальным напряжением, дейст вующим на площадке с нормалью xk. Здесь а—угол между 0ц и главным нормальным напряжением 01. Таким об разом, ± ( 0ц— 0Aft+ 6ft)tg a = 01й. Величина ап —вы + д к
* По дважды повторяющемуся индексу k суммирование не про изводится.
45
представляет разность нормальных напряжений, дейст вующих на площадках, перпендикулярных осям Х\ и хк элементарного объема жидкости.
Установим связь между 8ft и компонентами напря жений в общем случае. С этой целью из (9) определяет ся 6^, которое равно 63= 012+ 013+ 023— (ап —а22ф-62) 82— —(ап —сг3з+ 82)83. Далее подставим 8| в зависимость (10), предварительно преобразовав ее к виду 6^(62 — о22) +
Ф- [— °22 (0п — 0зз)+ (0н — 022 — 0зз + б2) б2] 83 ф- [cr13L(T|3 + + а2201з + азза?2— 2012013023— °зз (0ц — 022+ б 2) 62] = 0. Такая
подстановка позволяет |
получить кубическое уравнение |
|||
относительно |
82 в связи с тем, |
что все |
коэффициенты |
|
при 63 обращаются в ноль: |
|
|
||
« 2 + (0 11 + 0 33 — 2 0 2г) 61 — [0 12 + ° ? з + °2 3 — (0 11 — |
||||
' 0 2г) (0 33 |
0 2г)1 6 2 |
[0 110 23 |
0 330 ?2 |
022 (0 23 |
|
ф- о*2) — 2а12а1з023] = 0. |
(13) |
||
Аналогичным путем получено уравнение относительно 63:
+ |
(0и + |
022 |
2а33) 6| — [012 ф- Oj3 -|- а|3 |
(аХ1 ■ |
|||
03з) ( 0 22 |
0зэ)] б 3 |
■[0 110 1з ~Ь 0 220 13 0 33 (0 23 “Ь |
|||||
|
|
+ |
а!3) — 2<х14а13а23] = |
0. |
|
(13') |
|
Для получения уравнения связи непосредственно |
|||||||
между |
компонентами |
напряжений |
обратимся |
снова |
|||
к уравнению |
(9). |
В случае пространственной |
задачи |
||||
(0i2=7^O; |
(Ji3=7^ 0) соответствующие разности |
в квадрат |
|||||
ных скобках этого уравнения не равны нулю. Обозна
чим их F2 и F3, тогда получим |
|
|
||
0?2 = |
(0и — 022 + |
62) 62 + F2; |
(14) |
|
0i3 = |
(0п |
0зз т |
83) 63 ф- F3. |
(14ф |
В свою очередь из (9) |
следует: |
|
|
|
|
°1з = 8283 — F2— F3. |
(15) |
||
Для оценки величин F2 и F3 воспользуемся выраже |
||||
нием ( 10) и подставим |
в него значения оА |
из зависи |
||
46
мостей (14, 14r, 15). Полученное после преобразования уравнение связи между F2 и Е3 имеет вид
ХЩ + У2Е| — 2XZF38283 + 2YZF2b2b3+
+ 2 [XY + 2Z (ба — 63) — 2o^3] F2F3-|- Z28%81* = 0. (16)
В (16) приняты обозначения |
|
|
|
|
||||
|
|
X = CTj! — cx22 |
262! |
|
|
|||
|
|
Y — 0n |
0зз + 263; |
|
|
|||
|
|
X ~ 0зз |
022 |
S2 ■ |
63. |
|
(17) |
|
Решим |
уравнение |
(16), например, относительно F3 |
||||||
|
|
X |
Zb,63 |
A- _ |
2 _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
г |
A_ F%—2Л -X— 6263 — Y2F3 |
|
|
(18) |
|||
+ |
V |
■2KZ6A 1^. |
||||||
|
X |
A |
|
|
|
|||
где А = ХУ+2Z ( 6 2 — |
6 —3 ) 2a23. |
|
|
|
|
|||
Из оценки величин, входящих в подкоренное выра |
||||||||
жение (18), следует, |
что |
при Z>0, |
т. е. сг3>сг2 |
|
(17), |
|||
А2 < У 2. В этом случае подкоренное выражение |
может |
|||||||
X' |
|
|
|
|
|
|
|
|
принимать положительные значения только при F2<0. Если Z<0, то У2>0. Аналогичный анализ относительно Fз показывает: Е3> 0 п р и Z >0 и Е3< 0 при Z<0.
Разные знаки величин F2 и F3 в зависимостях (14, 14' и 15) свидетельствуют о том, что через посредство касательного напряжения о23 происходит «выравнива ние» напряжений, действующих на площадках'с норма лями х2 и х3.
Если 022 = a33= okk, oVi=a13= alk, 62 = 63= 6А, то Z = 0,
а следовательно, F2 = F3 = 0 (16). Равенство указанных напряжений имеет место на биссектрисах углов в потоке квадратного сечения, если стенки его имеют одинаковую шероховатость. Для этого случая уравнение связи между компонентами напряжений, полученное на основании за висимостей (14, 147 -и 15), имеет вид
ojk— (<Ji1 — окк) а23— 023 — 0- |
(19) |
Уравнение применимо также при условии 0и > > 02з-
47