ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
Если одно из касательных напряжений alk сущест венно превышает второе (k = 2,3), то соответствующее ему Ей-> 0. Тогда методика получения уравнения связи между компонентами нормальных и касательных напря
жений сводится к замене в уравнении |
(13) |
или |
(13') bk |
на b0k, определяемое из (14) или |
(14') |
при |
Fk= 0. |
Для случая Е2->0, a Е3=У=0 уравнение связи может быть получено в виде
2 |
^12^13^23 |
(а33 |
“Ь S02) -f" о23б02 |
|
°23 |
(Он—022+бо2) + |
(Оц — 0И + |
б02) |
|
|
— fans — а22 + |
б02) 6о2 = |
0. |
(20) |
При Е3->-0, а Р2Ф 0 уравнение связи получается из (20) путем взаимной замены индексов 2 и 3.
Поскольку Огз определяется поперечным течением в потоке и характеризует дополнительные потери энер гии, естественно предположить, что в общем случае иско мые значения Е2 и Е3 могут быть найдены из условия минимума о23. Тогда из зависимости (15) и необходимо го условия определения экстремума функции двух пе
ременных следует ^°33■= 0 = |
(k~2,3). |
dFk |
dFk |
Прибавим к правой и левой частям выражения (18) |
|
Е2, затем продифференцируем сумму Е2 + Е3 по Е2 |
и при |
|||||
равняем нулю. После преобразований получено |
|
|||||
п - -2Е, |
X |
Z6263- |
(2XY + Е) Е |
= 0. |
(21) |
|
|
|
|
|
X 2[(X — У)2— 2Е] |
|
|
Здесь E = Z (б2—б3)—2а223. На основании |
(16) аналогич |
|||||
ным путем |
получено выражение для определения Е3. |
|||||
Е24-2Е |
^ |
Zb б _____ (2ХУ + Е)Е |
_ q |
|
||
3+ |
3 |
Е |
Z i S |
Y 2 \{Y—Y f — 2E) |
|
|
От выражений |
(21) и (22) нетрудно перейти к равенству |
|||||
Е2—2Е2 A - Z б2б3 — Е2 ф- 2Е3 4 |
ZbА - |
(23) |
||||
|
|
Е |
|
Е |
|
|
48
Подставив значение Е и решив равенство (23) относи тельно Огз, получим
|
|
а23------Y ~ (8 - |
63)— |
|
|
X [о*2 - |
(X - |
б2) б2] + |
Y [в23- |
(Y - |
б3) б3] Z |
" [а?2 - |
(X - |
б2) б2]2 - |
[сг?з — |
(У — |
б3) б81 |
(24)
Совместное решение уравнений (13, 13' и 24) позволяет исключить неизвестные бг и бз и получить уравнение связи между компонентами напряжений.
Для проверки полученных зависимостей использова ны имеющиеся решения по обтеканию сферы вязкой жидкостью, пространственной деформации упругого тела и экспериментальные данные о дополнительных нор
мальных и м/ 2 и касательных и / и / напряжениях в безнапорном потоке прямоугольного сечения.
Напряжения вычислялись (или экспериментально оп ределялись) следующим образом.
I. Обтекание сферы вязкой жидкостью (решение Сток са) (4]
Для компонент скорости и давления имеется:
|
' |
3- Rr- Ч 2(R2r- 2 — 1)-----1- R r -\3 + R 2r~2)+ 1 |
||
|
|
4 |
|
4 |
|
3 |
Rr-Чух, (R2r~2 — 1); |
||
|
4 |
|
|
|
Us~ Uоо |
3 |
R r - H ^ iR h - 2- |
1); |
|
|
4 |
|
|
|
Р = — |
3 |
p. UxRr~3x±+ |
Р„. |
|
|
2 |
|
|
|
В зависимостях (25) |
приняты обозначения: R — ра |
|||
диус сферы; r = Y x \Jr x\-Y х\\ |
и Р<* — скорость и дав |
|||
ление на бесконечности.
От компонент скорости можно перейти к напряжениям:
аи = - | - ц Я г-Ю „х г [Я2г~ЦЗ— 5х2г~2) +Зх\г-2- \ ] - Р
49
o22-= -у - iiRr-W ^Xi [R2r~2(1—Ъх/2- 2) + 3 х\г~2\ —/V,
ст33= ~ \iRr~sU„хх [R2r~2(1—5х2г~2) + Зх|г~2] — Р»;
012= |
— |
[tUxr - 3x2[R2r - 2(l—5х\г~2) + 3 х\г~2\\ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ol3= |
у - |
\iU„r-*x3 [R2r~2(1—Ъх\г~2) + 3 х\г~2]\ |
|
|
|
023= |
|
iUmRr~5— ХхХ2х3(2>—5Д2г~2). |
|
|
|
Численные значения |
напряжений <з'= ■ 2о г3 |
полу- |
|||
йены |
при |
R = 1, Роо = 0, |
ЗрР£/оо |
(таб |
|
= 0,3, различных х2 |
и х3 |
||||
лица) . |
|
|
|
|
|
II. Экспериментальное определение дополнительных нормальных и касательных напряжений в безнапорном потоке прямоугольного сечения с гидравлически гладки ми стенками (рис- 1, а).
Исследуемый поток имел отношение глубины к ши-
Н |
н и |
рине —5-= 0 ,2 5 и число |
Рейнольдса Re= ----=10000. |
D |
V |
Для получения экспериментальных данных был приме нен электрохимический способ измерения скоростей. По грешность определения 0;;- оценивается в 15-4-20%. Дан ные, которые помещены в таблицу, относятся к вертика лям, отстоящим от одной из боковых границ потока на 0,25 В (1,3) и 0,06 В (2,4), и к точкам, расположенным от дна потока на 0,2 Я (1,2) и 0,5 Я (3, 4).
III. Напряжения при деформации упругого тела, за нимающего все полупространство Х > 0 сосредоточенной силой (рис. 1, б).
Для определения компонент напряжений использова ны зависимости [3]
Рхх
0U=
2яг3
50
|
В ид д е ф о р м ац и и |
№ п /п |
1
2
1
3
4
1
2
II
3
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
||
|
Значения напряжений при течении жидкости |
и деформации упругого тела |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
К о р н и |
SК » ^ОК |
|
|
*23рС—*23 |
|
|
*22 |
*33 |
*1 2 |
*13 |
*23 |
|
|
|
|
СТ23р |
||
*11 |
52 |
8з |
®02 |
^03 |
а23 |
Ш% |
||||||
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,700 |
0,473 |
0,473 |
0,456 |
0,456 |
0,336 |
0,365 |
0,365 |
0,356 |
0,557 |
0,356 |
6,0 |
|
0,700 |
0,615 |
0,328 |
0,546 |
0,347 |
0,302 |
0,478 |
0,226 |
0,502 |
0,208 |
0,300 |
—6,6 |
|
0,700 |
0,214 |
0,731 |
0,219 |
0,612 |
0,214 |
0,112 |
0,594 |
0,084 |
0,625 |
0,230 |
7,5 |
|
0,700 |
0,781 |
0,165 |
0,636 |
0,134 |
0,137 |
0,644 |
0,062 |
0,670 |
0,032 |
0,145 |
5,8 |
|
5,110 |
0,591 |
1,210 |
0,730 |
0,210 |
0,031 |
0,116 |
0,010 |
0,115 |
0,010 |
0,034 |
13,3 |
|
3,960 |
0,512 |
0,565 |
0,370 |
0,404 |
0,045 |
0,039 |
0,047 |
0,040 |
0,050 |
0,045 |
0,0 |
|
3,200 |
0,490 |
0,760 |
0,420 |
0,220 |
0,023 |
0,064 |
0,019 |
0,060 |
0,015 |
0,030 |
26,0 |
|
4,800 |
0,890 |
0,690 |
0,102 |
0,670 |
0,018 |
0,003 |
0,132 |
0,003 |
0,160 |
0,022 |
18,5 |
|
|
1 |
10,620 |
1,160 |
2,'350 |
6,740 |
8,240 |
2,920 |
4,530 |
3,570 |
3,480 |
5,070 |
2,910 |
—0,3 |
ш |
2 |
5,330 |
0,290 |
1,490 |
2,920 |
4,440 |
1,370 |
1,915 |
2,100 |
1,330 |
2,900 |
1,420 |
3,7 |
|
3 |
9,750 |
0,125 |
—1,190 |
5,040 |
2,520 |
0 , 8 4 8 |
1,730 |
0,943 |
2,160 |
0,555 |
0,935 |
10,3 |