Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

х2 =

(2 — а) — у а2— 20а + 84

8

(2 — а) — У а2— 20а + 84

принадлежат кривым АК и BD.

а >

14, то

Получаем ответ: если а < 6 или

(2 — а) — У а2— 20а + 84 ^

(2 — а) + ] / а 2— 20а + 84

8

< Х <

8

Упражнения

1. Решить системы уравнений:

1) х 3 + 2х 2у

—х у 2 — 2I/3 = 0,

2)

х у

= 6,

|

х 2 А ~У 2 = 8;

уг = 3, 1

хг =

2;

j

3) (x +

i/)2- 2

2 = 4,

j

4)

х +

1/+ г = 4,

(У +

г )2 —

х2 = 2,

1

х2 +

(/2 +

г2 = 14,

(z +

x ) 2 - y

2 = 3;

J

ху + xz — уг = 5;

имеет действительные

решения при любом действительном Ь. Доказать, что а =0.

6 . Решить систему уравнений:

*• + 0 +

г =

3,

|

2ху — 2у — z2 = 4. J

7.

Построить график функции у =

| х2 — .г — 2 | +

1.

Решить

8.

Построить графики

уравнений 2*— 3 | у \ =

1 и |* | \ - 2 у --=4.

систему уравнений (графически и аналитически):

2* — 3 | ;/1=

1,

|дс| +

20 =

4.

9.

Корни уравнения

ах- + 6* +

с =

0 действительны,

Увеличить

меньший

корень и уменьшить

больший

корень

на

единицу.

Составить

повое уравнение,

для которого полученные два

числа являются

корнями.

10.

Построить

в одной и

той же

системе

координат графики

уравнений

* — I У + 1 I = 1.

(а)

х* + у =

10.

(б)

* - ( ( / + 1 1 = 1 ,

х2 + у = а

множество значений а, при

которых эта систе­

ма: 1) имеет одно решение;

2 ) имеет два

реше­

ния; 3) не имеет решений.

= 3,

12.

Построить графики уравнений: * 0

х2+ 0 2 = 4,

* 4 +

0 4 = 16,

хй+

0 ° = 64.

Как

изменяется

форма

фигуры,

ограниченной гра­

фиком

уравнения *" + уп =

2п

с увеличением

п? К

какой линии стремится

этот график,

если п -*■+

со (п — целое положительное число)?

*n + 0 " = 2+

Iй* 0 =3

](,г>2)-

1 * 2 + 0 2

4, 1

*0 = 3

Верно ли неравенство т > к?

( / = | л - + 1 | , у = \ х — 1\, ^ =—! х + 11 + IJC — 1 I-

2)

Указать множество значений а, при которых уравнение

| х + 1 | + | х - 1 | = а

не имеет действительных решений.

16.

Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х2—

— ху +

5(/ = 121.

17.

1) Построить графики уравнений: у — \ х — 1 | = 0, у = |х + 2 |, у —

ах — 4у = а -f- 1, "1

2х + 2ау — — 1

J

таковы,

что х > 0,

у <

О?

19.

При каких значениях т система уравнений

(т + 1)х — ту — 4, 1

Зх — 5у — т

J

имеет такие решения (х, у),

для которых х — ( /< 2?

рх +

q = 0,

не решая его.

20.

Найти сумму квадратов корней уравнения х2 +

21.

Построить графики уравнений |2x + 3i/| = 5,

\2 х — Зу | =

1. Решить си­

стему этих

уравнений.

уравнений

| х | + | «/1=

5,

ху = — 6. Решить систему

22.

Построить графики

этих уравнений.

что если функция у — ах2

Ь х с

принимает целые значения

23.

Доказать,

при всех целых х,

то 2а, 26,

с — целые числа.

24.

Определить, между какими двумя наиболее близкими друг к другу целыми

числами

расположены коэффициенты р и q

уравнения

х2 +

рх + q = 0, если его

корни

и х2 удовлетворяют неравенствам —

г =

— 4,

2 < х 2< 3 .

25.

Найти х4 +

(/1 +

г'1,

зная, что х + ( / +

0 и х2 +

У2+ г2 = а .

26.

Составить уравнение второй степени, один из корней которого был бы

равен сумме, а другой произведению корней уравнения ах2 + Ьх +

с = 0.

27.

При каких

значениях а

неравенство х2— (8а — 2 )х + 1 5 а 2 — 2а — 7 > 0

выполняется: 1) при всех действительных

значениях х; 2) при всех действитель­

ных значениях х, кроме одного?

х

28.

Решить относительно х неравенство 2х +

3 (ах — 8) +

-д- < 4 (х+ 0 ,5 ) — 5.

29.

Построить

графики

функций:

у = — | х | ,

г/ = 2 [ а: + 6 | ,

i / = | x — 6 [,

1/ = 2 | х +

6| — | х | + | х — 6|

и

с их

помощью:

1)

найти

множество решений

уравнения

2 [х + 6| — |х | +

|х — 6 | = а ,

если а =

18 и а =

6;

2) определить число решений уравнения

2 ] хг Н- 6 | — | х 1+ I х — 6 | = а,

если а < 6 ,

6 < а < 1 8 ,

а > 1 8 ,

и решить неравенство

6 < 2 | х +

6 | - | х |

+ Jх — 6 1<

18;

3) решить графически систему уравнений

у — \х — 6 | = 0,

|

| .V+ 61 = 0 ,5(/

J

// — |х — 6 | > 0 ,

|

I ■* + 6 | > 0,5у.

|

функция

принимает в одной из тех точек, в которых одно из слагаемых |2 — х |,

| 3 — х I,

| 7 — х | обращается в нуль?

x + ( / + a = 0,

1

Общий вид уравнения относительно

х с двумя

параметрами а и b

F(x, а, Ь) =

0.

(1)

1 Материал

для

этого пункта заимствован из

статьи А. Я. Маргулиса,

А. Г. Мордковича,

Б. А. Радунского «Еще раз об

уравнениях с параметрами»

(«Квант», 1970,

№

12).

2а + b

2а — b

2а

п

(4)

а + х

■х

=

0.

Построим прямоугольную систему ко­

ординат аОЬ (рис. 32). На

этой

плоскос­

ти будем

постепенно отмечать те ее точки,

координаты (а,

b)

которых

не

являются

Рис. 32

допустимыми значениями параметров дан­

ного уравнения (2).

Очевидно,

при b — 0 уравнение (2) не имеет смысла, т. е. для

дальнейшего рассмотрения исключаются все точки,

расположенные

на оси Оа.

Пусть

6=5^0 и

(3)

В этом случае

после освобождения от

знаменателей

и

приведения

подобных

членов

уравнение (2) приводится к виду

а (х2— 2Ьх +

Ь2— а2) = 0.

(4)

Теперь

ясно,

что если а = 0,

то решением уравнения

(4) в силу

условия (3) является любое значение х, отличное от нуля.

Итак,

для

всякой пары чисел (0,

Ь), кроме 6 =

0,

решениями

уравнения

(2)

являются любые числа,

кроме х = 0.

Если а Ф 0,

b Ф 0, х ф ±г а, то уравнение (4) эквивалентно такому:

х2— 2Ьх + Ь2— а2 = 0.

Его решения: хг = b + а, х2 = b — а.

Эти решения получены в предположении,

что x ^ z !z a . Поэтому

рассмотрим случаи,

когда хх =

i t а или

х2 =

— а.

Если хг = а или

х2 = — а,

то

Ь — 0.

Но

Ь Ф 0. Следовательно,

хг Ф а и х2ф — а.

то 6 = —2а. Но тогда х2= —За.

Если хх = —а, т. е. Ьфа = —а,

5 А. Б. Василевский

65