Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 0
Применив формулы
|
1 |
+ cos 2а |
= |
COS2 X, |
|
|
|
||
|
1 |
— cos 2 х |
= |
sin*1X, |
получаем |
|
|
|
|
COS®X |
|
_ |
( |
1 + cos 2 x \ |
= (cos2 А')3 = |
|
|
||
sin0х |
= |
(sin2a)3 = |
|
1 — cos 2 x |
|
|
|||
В результате понятных преобразований найдем
cosga + sin® х — |
1 + cos 2 x |
1 — cos 2 x |
||
2 |
J +' \ |
2 |
||
|
||||
= 0,25 ( 1 + 3 |
cos2 2a). |
|
||
(9)
( 10)
Применим еще раз формулу (9):
0,25(1 + 3 cos2 2а) = 0,25 ^1 + 3 (1 + cos 4а )
= 0,125 (5 + 3 cos 4а).
По формуле (10)
4 sin2 2а = 2 (1 — cos 4а).
Таким~образом, уравнение (8) в результате понижения степени тригонометрических функций приведено к виду
0,125 (5 + 3 cos 4а) = 2 (1 — cos 4а).
Отсюда cos 4а = |
11 |
, |
Н |
2 n k , |
x = |
-jg-; |
4а = ± |
arccos у-д- |
|||
= r t 0,25 arccos |
11 |
■ 0,5n k |
(k = 0, z t l , |
± 2 , |
...). |
|
19 |
|
|
|
|
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Преобразование суммы тригонометрических функций в произве дение I и обратное преобразование выполняются при помощи формул:
1 |
• |
. . о 0 . а + |
р |
а — р |
; |
1. |
sin а + sin р = 2 sin — |
|
cos — |
||
95
2. |
sin a — sin p |
|
a + p |
. |
a — p |
|
|
|
|||||
|
2 cos __ !—L |
cm |
------- —’ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
3. |
cos a + |
cos p = |
2 cos — |
cos |
|
|
|
|
|
||||
4. |
cos a — cos P = |
a + p |
. a |
— p |
|
|
|||||||
— 2 sin —^ |
|
sin |
—-—; |
|
|
||||||||
5. tg a'Jztg P = |
sin (a i t P) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos a cos p ’ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
ctg a i t ctg P = |
.+_ sin (a i t |
p) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sin a sin p ’ |
|
|
|
|
|
|
|
„ |
, |
. |
. |
q |
|
> - P ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (a — P) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
tg a + |
ctg p = |
------— |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
cos a sinpp ’ |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
ctg a — tg p = |
cos (a + P) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sin a cos p ’ |
|
|
|
|
|
|
|
9. |
sin a sin p = |
0,5 [cos (a — P) — cos (a + |
P)L |
|
|||||||||
10. |
cos a cos P = |
0,5 [cos (a — p) -f cos (a + |
P)]; |
|
|||||||||
11. |
sin a cos p = |
0,5 [sin (a — P) + |
sin (a + |
P)]- |
|
||||||||
Пример 4. |
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin л: + sin 2x + 2 sin x sin 2x — 2 cos x + cos 2x. |
|||||||||||
Приведем уравнение (11) к виду |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(sin х + |
sin 2x) — (cos x 4- cos 3x) — cos 2x = 0. |
||||||||||
Применив формулу 3, получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(sin л: + sin 2x) — 2 cos 2x cos x — cos 2x = 0. |
|||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin x + sin 2x) — cos 2л: (2 cosx + |
1) = |
0 |
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x (1 -j- 2 cos x) — cos 2x (2 cos x + |
1) = |
0 |
||||||||
|
|
|
|
( 1 + 2 cos x) (sin x — cos 2x) = |
0. |
|
|||||||
Теперь |
уравнение |
(11) распадается |
на два: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + 2 cos х = 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sinx — cos2x = |
0. |
|
|
|
|||
Решения уравнения (12): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
t i |
|
я + 2kn |
(k = Q, |
i t l , |
i t |
2, ...). |
|||
(П)
( 12)
(13)
96
Уравнение |
(13) преобразуем следую щ им образом: |
|
||||||||
|
|
|
sin л' = cos 2х, cos (0,5я — х) — cos 2х. |
|
||||||
Отсюда 0,5зх — х = ± |
2х + |
2пя. |
|
|
|
|
||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зх2 — |
|
|
хс |
2 |
|
|
|
|
|
|
0,5п — 2яп,х2= —------ — яп, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
х3 = — 0,5я + |
2яп (п = 0, |
i t 1, |
± 2 , |
...). |
||||
|
|
Введение функций вспомогательного угла tg ср |
||||||||
Пример 5. |
Решить уравнение |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
о, sin х |
b cos х — с, а ^ О , Ьф 0. |
|
(14) |
|||
Определяем угол ср из |
условий |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin ср = |
|
b |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
COS ф |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V а* + Ь2 ’ |
V а2+ Ь2 |
|
|||
Это |
можно сделать, |
так как з т 2ф + соз2ф = |
1. |
|
на ] / a2_j_ Ь2, |
|||||
Разделив левую и правую части |
уравнения |
(14) |
||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V а2 + b2 |
Sin X |
■ |
COS X = |
|
|
|||
|
|
|
V а2 + Ь2 |
|
У а2 + b2 |
|||||
|
|
|
|
|
sin (ф + х) = г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) / а2 + Ь2 ‘ |
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф + х = ( — 1)? arcsin |
|
+ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
V |
а2 + ь2 |
|
|
|
|
|
|
* = |
— ф + ( — 1)" arcsin |
|
+ |
nk, |
|
||
|
|
|
|
|
|
У а2+ b2 |
|
|
||
где А = 0, ± |
1, |
± 2 , . . . . |
|
|
|
|
||||
Очевидно, решение уравнения существует |
только |
в том случае, |
||||||||
если |
— |
С |
— |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
V а2 + |
Ь2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 А. Б. Василевский |
|
|
|
|
|
|
97 |
|||
Функциональный подход
При решении уравнений и неравенств этим методом исполь
зуются свойства непрерывных монотонных функций, |
рассмотренные |
||||||||||||||||||
в § 1 гл. 2. |
Найти все решения неравенства |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 6. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Y 3 cos 2х > |
]/~2 cos х, |
|
|
|
|
|
|
||||||
удовлетворяющие условию | х |< я . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ух = |
[/3 cos 2х, |
У-2 = у Г 2 cos х. |
|
|
|
|
||||||||
Согласно |
условию задачи |
функция уг определена на |
( — я, |
я). |
|||||||||||||||
Функция |
ух |
определена |
на |
той |
|
части |
интервала |
( — я, я), |
где |
||||||||||
cos 2_r |
0, |
т. |
е. на |
[ — 0,25я; |
0,25я]. |
определены |
на |
сегменте |
|||||||||||
Следовательно, |
данные |
функции |
|||||||||||||||||
[— 0,25я; |
0,25л]. |
0] |
функция |
ух |
монотонно |
возрастает |
от |
0 |
до |
||||||||||
На |
[ — 0,25я; |
||||||||||||||||||
]/3 , |
функция |
у2 |
на |
этом |
сегменте |
монотонно |
возрастает от |
1 |
до |
||||||||||
]/2 . |
Следовательно, |
на |
|
[— 0,25я; |
0] есть |
одна точка, |
в которой |
||||||||||||
ух — у2- Нетрудно заметить, что ух |
-----) = |
у2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
В силу |
четности |
функций ух и у2, ух |
|
j = |
|
|
|
|
|||||||||||
Теперь |
ясно, |
что |
решением |
|
данного |
неравенства |
является |
||||||||||||
интервал |
/ |
я |
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I -----g-, -g- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 7. |
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
sin [0,2 arccos х] = 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Функция у = arccos х |
монотонно изменяется от 0 |
до я. Функция |
|||||||||||||||||
у = |
0,2 arccos х |
изменяется |
от |
0 |
|
до |
0,2я. |
Поэтому |
функция |
||||||||||
у = sin (0,2 arccos х) |
изменяется от 0 |
|
|
зт |
< 1. |
Отсюда |
ясно, |
||||||||||||
до sin - g - |
|||||||||||||||||||
что данное уравнение решений не имеет.
Графический метод Пример 8. Решить уравнение
sin2 -g —cos х = а.
Преобразуем данное уравнение к виду
а= 0,5 (cos х — cos2 х)
иобозначим cosx = z, — 1-< z -<1.
98
|
Построим |
графики функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ух — — 0,522 + |
0,5z, |
уг — а |
|
|
|
|
|
||
(при некоторых значениях а). |
|
|
|
[ — 1, |
1], получаем: |
|||||||||
|
Прочитав графики этих функций на отрезке |
|||||||||||||
|
1) |
при |
а = |
данное уравнение |
имеет одно |
решение: cosx1 = |
||||||||
= |
0,5; |
2) |
при 0 < а < |
имеем два |
решения: cosxj = т (0 < т < |
|||||||||
< |
0,5) |
и cos х2 = п (0,5 < |
п < 1); 3) |
если а = |
0, |
то |
имеем |
также |
||||||
два решения: cosxx = 0 и cosx2 = |
1; |
4) |
если — 1 < |
а < 0, то |
урав |
|||||||||
нение имеет одно решение: cos % = |
k ( — 1 < k < 0); |
5) при а = — 1 |
||||||||||||
уравнение имеет одно решение: cosXi = |
— 1. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 9. |
Решить относительно х неравенство |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
cos х -----------а, |
|
|
|
|
|
|
|||
если 0 < х ^ |
2л. |
|
cos х |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Функция у — cos х — |
рассматриваемая |
на [0, |
2л], не опре |
||||||||||
делена |
в точках |
х — 0,5я |
и х — 1,5л;, |
потому |
что |
в |
этих точках |
|||||||
cos х — 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На |
[0; 0,5я) функция |
убывает от 0 |
до — оо. |
|||
На |
(0,5я; |
я) |
функция |
у убывает от |
+ о о д о 0. |
|
На |
[я; 1,5я) |
она возрастает от 0 до |
+ |
оо. |
||
На |
(1,5я; |
2я] |
функция у возрастает от |
—со до 0. График функ |
||
ции у |
показан на рис. 48. |
|
|
|||
Т |
99 |