Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

П усть

Xi

и

х2 — корни

уравнения

cosх ---------- = а (я < 0);

cos

л:

и л'з — корни этого уравнения,

если

я > 0.

Из графика ясно, что если:

1) а = 0,

то

0<С л:<0,5я и л и

1,5я <

л: ^ 2 я ;

2)

я <

0,

то

A'i 4

х <

0,5я пли 1,5я <

х

х2;

3)

я >

0,

то

а

А, или

0 < ;л :< 0 ,5 я

или

1,5я <

л: ■... 2я.

Для

определения

(,v*i) п х. (х2)

решаем

уравнение

cos х

1

я (cos .Vф 0):

---------- =

cos х

4

cos2jc— 1 — я cos x = 0,

cos x = 0,5 (я — ]/ я3 + 4),

cos a =7^=0,5

(я -|-

+ 1/я 2 +

4),

так как

при любом я ^ О

J 0,5 (я + ]/ я2 Н- 4) | >

1 .

Отсюда

л-! =

arccos 0,5 (я — } /я г +

4), а 2 =

2я — arccos 0,5 (я — ] / я 2 +

4).

Упражнения

1.

1) Построить график функции у =

(ctg а — tg а ) : (cos 4а +

1)

на

интер­

вале (0; 0,25л);

2)

решить систему неравенств

ctg а — tg а

\

cos 4а +

1

^

’

|

0 < а < 0 ,2 5 я .

J

„

„

,

cos 2а + 1

2 .

Построить график

функции у = ------------------- -— на интервале (0; 0,5л).

c t g - ^ - t g - g -

3.

1)

Построить

график

функции

у =

(sin0 х +

cos6 х)—■

на

интервале

(0; 0,5л); 2) установить,

при

каких значениях Ь уравнение

b (sin0 х +

cos" х) = 2

имеет два

решения.

sin Ах.

4.

Решить уравнение sin Зх -|- sin 5х =

у =

4 cos 2х на интервале

5.

1) Построить графики уравнений у =

sin 2х — 4,

(0; я ) и по графикам определить число

корней

уравнения sin 2х — 4 cos 2.v =

4 на

(0 ; я);

2)

найти приближенные

значения

корней этого уравнения на (0 ; я);

3) решить

уравнение

sin 2х — 4 cos 2х =

4

вычислением;

4) решить

систему

неравенств

sin 2х — 4 cos 2х >

4,

1

0,25я < х <

0,75я.

J

6 .

1) Построить графики функций

у =

sin 2х — 3,

у = — 2 ctg х

на

(0; я).

Построив графики,

вы убедитесь, что уравнение

sin 2 .v — 3 =

— 2 ctg х

на (0; я) имеет решение

х = 0,25л;

2)

доказать,

что

других

решений на

этом

интервале

данное

уравнение

не

имеет; 3)

записать

все

решения

уравнения

sin 2х +

2 ctgx = 3.

функций

у — tg Зх,

//=

tgx,

£/ = 2sin4x;

2)

на

7.

1)

Построить графики

каком из промежутков

Я

1

я

2я

2я

Зя

Зя

4я

4я

5я

1

5я

° > т г

_~6~'

’

. _ 6 _

’

" б

" . >

."Т "

t

~6~.

- g -

.

я

уравнение tg Зх +

tg х =

2 sin 4х

имеет решения?

ctg4 x,

f/2 = cosS2 x + l

на

пром

8 .

[0 ;

1) Построить графики

функций #i =

жутке

я]; 2 ) на основании построенных

графиков

записать

все

решения

уравнения

ctg4 х = cos3 2х + 1 ,

не

выполняя

над

этим

уравнением

никаких

преобразований.

10.

Решить уравнение tg (x +

1) ctg (2x + 3) =

1.

11.

Решить неравенство cos 3x + cos 2,5x <

2.

на [0; я];

12.

1) Построить графики

уравнений у — 3 tg x — 5, у = — 2sin2x

2) решить уравнение 2sin2x +

3 tg x — 5 =

0.

13.

1)

Построить

графики

функций

ух =

(1 +

sin 2х)0,5 — (1— sin2x)0’5,

(/2 = l + c o s x

на

[0 ,

2 я];

2)

найти

решения

уравнения

(1

+ sin 2х)0,5 —

— (1 — sin 2 х)0,5 =

1 +

cos х на

[0 ,

2я ] .

решений

уравнения

на

[0;

я]:

14.

Определить

число

действительных

(1) sin8 х +

cos8 х =

tg х; 2)

....+ со$4л.

= s i n x .

15.

Решить

уравнение

sin я y^T + 'sin я / =

0.

ctgx,

уг =

3 +

cos 4х

на

16.

1)

Построить

графики функций

ух = tg х +

0 ; я); 2) решить неравенство tgx + ctgx — co s4 x > 3 ,

если 0 < х < я .

17.

Решить уравнение ctg4х =

cos2 2х +

1.

на

[0;

2я];

2)

решить

18.

1)

Построить график

функции у =

| sin х + cosх |

неравенство | sin х + cos х | >

1 .

у = cosxcos2x

на

[0;

2я];

2)

решить

19.

1)

Построить

график

функции

уравнение cosх cos 2 х =

0,25.

20.

Найти

значение параметра a B-ypaBneHHH_coset‘x +'sine х — cos2 2х — а = 0,

условиям: cos 13х = cos х, cos 2х + sin 5х =

1,

| х | <

3.

единственное решение?

51.

При каких а уравнение 1 +

sin2 ах =

cos х

имеет

52.

Решить относительно х уравнение

а+ sin х

а+ cos х

acos х+ 1

—

asin х+

1 ’

53. При каких значениях х

функция

у —sec2 х+

ctg2 х -|- 1 достигает

наименьшего значения? Найти это значение.

уравнение 2 arcsin х = а имеет решение?

_

60.

1) Построить график уравнения |(/| =

3 arcsin У х;

2)

решить уравнение

3 arcsin У х— я = 0.

61.

Решить уравнение cos (2 arcsin х) = cos (arccos 2х).

2) решить уравне-

62.

1; Построить график функции у = arcsin2х+ arcsinх;

я

ние arcsin 2х+ arcsin х = - д - .

63.

Решить уравнение arccosхУ 3 + arccosх =

0,5я.

64.

Решить неравенство

1) arcsin х— 2 arccos х

я

> -д-; 2) arcsin*—arcctgx>0.

65.

1)

Построить

графики

функций

г/j =

arcsin (1— *),

у2 = 2 arcsin*,

у —Ух— у2, 2) решить уравнение arcsin(I— *) — 2 arcsin * = 0,5я.

66.

Решить уравнение

Зх

Ах

arcsin—д— + arcsin—д—= arcsin*.

67.

1)

Построить

графики

уравнений

Ух = arcsin*,

уг —arccos У 1 — *2;

2)

решить уравнение arcsin * = arccos У 1 — х2.

у —arccos (cos*);

2)

68.

1)

Построить

графики

уравнений

у —arcsin (sin *),

решить уравнение arcsin (sin х) = arccos (cos *).

я

69.

Решить неравенства:

2)

arcsin (sin х) > х2;

1) arcsin (х2 — 2* — 2) >

3) arctg У * < arccos (1— *);

4)

arctg2* +

arctg 3* •< 0,75я;

5)

arcsin0,6* +