Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Скачать файл (7,57Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 104

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Упраж нения

Построить графики функций уг = 3х,

у» =

4х,

у3 =

5х,

i/4 =

3х +

4х.

Почему

графики у3

г/4 пересекаются только в одной

точке?

найти

при

помощи

построенных

графиков

приближенные

значения

корней

уравнений

3-с _|_ 4-v =

2х,

3-v +

4 l = 5 v;

определить

множество

решений

неравенства

2 < 3х + 4х < 25.

Решить

уравнение х^~~х =

У^х-1'.

1) Построить графики

уравнений

у = 3Л+ ',

у = 9х ,

у = 3А“'"1— 2, у =

= З ^ 1— 9х; 2) сколько

решений

имеет

уравнение

З'1"^1— 2 =

9-9

указать

множество значений а,

при

которых уравнение 3х"!'1— а = 9х имеет решение.

Построить график функции

У = — log2 ( — х).

Построить графики

уравнений

у = 0 , 5 х

у = 0 , 5

Л;

решить

уравнение

0,5х — 0,5 1

^ =

построить график

функции

0,5

4) решить

неравенство

0,5х — 0,5—1—* > 1 .

Решить систему уравнений

л-2* - 1 =

ху '~2 =

1) Построить график функции у = х- — 2.V +

при

некоторых значениях

параметра о; 2)

решить неравенство log05 (х2 — 2х +

а) >

- 3.

Построить

графики

уравнений

у = х -|

у = (х -|- 3)0,~’;

пайтн

область определения

функций

у =

(х +

З)0,5 — х — 1,

у =

Iog3 ( ^ х

+ 3 —

-•••

1);

3) определить множество

решений

неравенства

logo ( |Л х -|-3 — х — 1) < 0 .

Построить

график

уравнения

у =

х2 + х

найти

область

опре

деления функции у =

(х2+ х +

1)х; 3) на каком из четырех множеств ( — оо, — 1),

( — 1; 0,5],

[ — 0,5;

0),

(0, + °°) верно неравенство

(х2+

х +

1)х <

10.

Найти

область

определения функции

у =

log10_ A.2 tg х.

11.

1) Построить графики

уравнений

у = х, у = (2х— 1): (х— 1); 2)

найти

область

определения

функции

У =

l°g.v

решить

уравнение

Iogv (—

---- - ) =

1; 4) определить множество решений неравенства log v (

—)-]>

— 1

х — .

12.

Построить графики

уравнений

г/ =

Iog0 5 лг, у = -

;

решить

неравенство

1 : log05x >

1; 3)

1о 2 о .5

0 < а < 1 .

решить неравенство l:4oga x > l ,

если

13.

Построить

графики

функции

(/ =

log., х

если

Ioga x, у = х

а >

2) найти множество значений х,

удовлетворяющих условиям х

а и а >

14.

Решить систему уравнений

| х |,g

= 4,

ху = 40.

15.

1) Построить графики

уравнений: Ух = х +

3.V

у 2 = .V— Зх

Уз —

- - logo (л -I- 3.V

1), у л = log; (.V— 3.v

1),

у ь =

1log; (.V-|- 3.v

1) |,

(/„ =

| log; (.v —

3 v—1) l; 2) решить уравнение

I ^ 2

(X + 3.V

1) | +

| logo (* — 3.V 1) | =

log;

728

- д - .

16.

Определить

число

действительных корней уравнения 8— х-2А"-|-23—* —

— х = 0.

17.

неравенство

Л1о£ л ^ ( я 8— 5*-{-7)

Решить

18.

Решить неравенство log2(4А' + 4)—log, (2х

— 3)>х.

область опре

19.

1) Построить графики функций у

= 2 + х,

у =

х 2; 2) найти

деления функции у =

logtj (2+

А');

определить

корни

уравнения х 2 = 2 + х;

4) на каком из

множеств

(— 2, — 1),

( — 1,0),

(0,1),

(1,2),

(2,

+со)

верно

неравенство logv, (2 + .v) <

20.

1) Построить

графики

функций

//, = 3А+0,5 +

3А—13,5

у 2 = 4А'+0-5 —

_ 22л-1;

2) на основе построенных

графиков

определить число

решений уравне

ния Ух =

у 2, 3)

решить уравнение у 1 = у 2,

решить неравенство (/;>!/;.

21.

Найти множество значений

а,

при которых

уравнение

log,. (х— а) = 2

имеет действительные решения.

22.Решить неравенство х(1ва'>2—3 tex-H > Ю00.

23.Решить неравенство logv2-log,,. 2 > tog**2-

24.Решить уравнение

		log, (2а —х)	+	log0 .у	1	•
		log ,- 2	+	loga 2 _	Iogfl.—,2	•
25. 1) Построить графики функций Ух— х — а					и у2=	log, (х — а) при неко
торых (одних и тех		же для f/, и	(/,)	значениях параметра			а; 2)	решить нера
венство log,, (х — а)	> 2 .
26. 1) Построить график функции				у = а-\-2х — х2 при			некоторых положи
тельных значениях параметра а; 2) решить неравенство log^ —(а +								2х — х2) < 2 .
27. Решить системы уравнений:
1)')'х-\-7у = 3,		2) хг = Г			3) у*1-За—4 -			1 ,
(2х -\|- 14у) 2х = 72;		2) хг = Г			log2 х =		у;
(2х -\|- 14у) 2х = 72;					log2 х =		у;
		У~ = х 3	,

2 \/ х + 2 t у = 9г;

5) tog; (y — x) = log8 (3у — 5x),

4) log;X + log., -Jj- = 3,

x2 + y2 = 5;

х2 + 16г/2 = 17;

6)(ax)'e° = (by)'z1’, j

b\s(ax) = a\s ФУ) I (a_ b > 0; а ф 1, b Ф 1).

§ 7. Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е у р а в н е н и я и н е р а в е н с т в а

Общие сведения

Тригонометрические уравнения — это уравнения, алгебраические относительно тригонометрических функций от переменного kx. При помощи тождественных преобразовании тригонометрические урав нения сводятся к виду

	ад " + ад "-1 +		. . . + ап =	0,	(1)
где у — одна	из шести тригонометрических функций				sin^x, cos kx,
tgkx, ctgkx,	seckx, cosec kx.			уравнения сводится
Решение	всякого	тригонометрического
к определению корней уравнения			вида
	sin kx = т, cos kx = т, tg kx — m.
Способы решения тригонометрических уравнений:
1) преобразование данного уравнения к виду (1);					/ 2 — тригономе
2) сведение к виду		(kxx) f2 (k*x) — 0, где /д и
трические функции;

3)понижение степени тригонометрической функции с помощью формул сложения и их следствий;

4)преобразование суммы тригонометрических функций в произ ведение (и наоборот);

5)введение функций вспомогательного угла tgcp;

6)функциональный подход;

7)графический способ.

Поясним сущность каждого из названных способов решением примеров.

Преобразование тригонометрического уравнения к виду

а0уп+ ахуп~ ' + а п — О

Сущность этого метода раскрывается в процессе решения сле

дующего примера.
Пример 1.	Решить уравнение
	4 sin 2х + 3 cos 2х = 5.	(2)
Преобразуем	его к виду
	4 sin 2х = 5 — 3 cos 2х.	(3)

После возведения обеих частей уравнения в квадрат имеем:

16 sin2 2х — 25 — 30 cos 2х + 9 cos2 2х

или

1 6( 1— cos2 2х) = 25 — 30 cos 2х + 9 cos2 2х.

Обозначив cos 2х — у, получаем

16 (1 — У2) = 25 — ЗОг/ + 9г/2.

Решив это уравнение, найдем у1= 0,6		и у2 = 0,6.
Итак, cos 2х — 0,6. Отсюда
2х — z t arccos	0,6 -f 2 kn (k = 0,	± 1, ztz2, ...)
и
x =	z t 0,5 arccos 0,6 +	kn.

Но такое решение нуждается в проверке, так как при возведе нии в квадрат могли появиться посторонние корни. В самом деле, правая часть уравнения (3) при всех значениях х положительная, потому что cos х 1. Левая же часть этого уравнения может быть и положительной, и отрицательной. Так как arccos 0,6 — угол острый,

то sin (2 arccos 0,6) — положительное число, a sin ( — 2 arccos 0,6) —

отрицательное. Поэтому решением уравнения (2) будет только


	х = 0,5 arccos 0,6 + kn (k — 0, z t l , ± :2,					...).
	Сведение	тригонометрического уравнения к виду
		f i (k xx ) / 2 ( k 2x ) = 0
При	помощи	тождественных		преобразований		тригонометри
ческое уравнение f (kx) = 0 приводится к					виду
		fi fax)	f2 fax) = 0.
Если	тригонометрические функции /у fax) и f2 fax) определены
на множестве М, то на этом			множестве		данное уравнение равно
сильно дизъюнкции уравнений			(^х) = 0 ,		/2 fax) =	0 .
Пример 2, Решить уравнение
	l	+ tg;t = ( l — tgx)		( l +si n2x) .		(4)

Левая и правая части уравнения определены на всем множестве действительных чисел, за исключением тех, при которых не опре делен tgx, т. е. х^0,Ъп-{- kn (k — 0, ± . l, ± 2 , .. .).

Очевидно,

1 + sin 2х = (sin х + cos х)2,

1 + tg х = 1 +	sin x	cosx -f- sinx
1 + tg х = 1 +	cos x	cos x

Теперь	уравнение (4)		принимает вид
	s in	х Т c o s Л'	= (1	— lg X)		(sill X + COS A')",			cos х /	„
	-----------------		= (1	— lg X)		(sill X + COS A')",			cos х /	О
		COS А'
или		sin а- -\|- cos х		(cos х —		sin A') (sin х +
		sin а- -\|- cos х		(cos х —		sin A') (sin х +		cos а)2.
Отсюда
	(cos х — sin x) (sin x +				cos A')2 — (sin x		-f cos x) = 0
и
	(sin A' + cos a) [(cos a — sin a) (sin x + cos a) — 1 ] =									0
или
		(sin x +	cos a ) (cos2 x — sin2 a — 1) =						0,
		(sin a +		cos a ) (cos 2 a — 1) =			0.			(5)
Уравнение (5) распадается на два уравнения
		sin а	+ cos а = 0 ,			cos 2 а — 1 =		0 ,
которые сводятся к простейшим:
				t g	А =	1,				( 6 )
				cos 2а = 1.						(7)
Решения		уравнения	(6)
		лу = — 0,25я -\- пт (т = 0, ±:1,					i t	2,	...).
Решения уравнения			(7)
		а 2 — тт (п — 0 , i t 1, i t 2 , . . . ) .
При	всех	значениях а		и з	этих	серий t g x	определен.			Поэтому
полученные формулы и дают решения уравнения (4).

Понижение степени тригонометрических функций

Понижение степени тригонометрических функций производится

при помощи	следующих	формул:	2 cos2 а = 1 +	cos 2а;	2 sin2 а =
= 1 — cos 2а;	2 sin а cos а =	sin 2а;	cos2 а — sin2 а =	cos 2а;	3si na —

— 4 sin3 а = sin За; 4 cos3 а — 3 cos а = cos За;		8 cos4 а — 8 cos2 а -)-
-[- 1 = cos 4а;	8 cos3 a sin а — 4 cos a sin а = sin 4а.
Пример 3.	Решить уравнение
	coseA + sin6x = 4 sin2 2а.	(8)

Смотрите также файлы

Ватрушин, Л. С. Оборудование для производства круглого проката [обзор].pdf

Взоров, Б. А. Форсирование тракторных двигателей.pdf

Войткевич, Г. В. Происхождение и химическая эволюция Земли.pdf

Вольфсон, Г. Е. Производство алюминия в электролизерах с обожженными анодами методический материал.pdf

Вопросы водного хозяйства [сборник]..pdf

Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно