Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

lg^x — lg3x — 61gx — 0.

(4)

Это уравнение определено па

(0, + со).

Обозначим lg х = у. Получим

кубическое уравнение

такого уравнения.

Пример 4.

Решить уравнение

38 = *2-t-loEax_

(5)

Правая

часть уравнения определена при х > 0 (х=^=1).

Прологарифмируем по основанию 3 обе части данного уравнения:

8 = (2 + log3 х) log3 х.

Обозначим

log3 х — у. Имеем 8 =

(2 + у) у. Корни этого

уравне­

ния ух = — 4, у2 — 2. Таким образом,

уравнение (5) свелось

к реше­

нию двух простейших логарифмических уравнений:

log3 х = — 4, log3 х = 2.

Решив

их,

получаем ответ: Xj = 1/81, х2 — 9.

Переход к новому основанию логарифмов

Пусть

дано

уравнение log/(,)E(x) — logm(,)Al (х) = О

(F(x)> 0;

М (х) > 0;

0 < f

(х0) < 1

или f (х0) > 1;

0 < т (х0) < 1 или т (х0) > 1,

где л'0 — корень

уравнения).

от

логарифма одного

основания

Используя

формулу

перехода

к логарифму

с другим основанием:

log„M = log6 УИ: logb а,

перейдем

к основанию р (х) (0 <

р (х) < 1 или

р (х) > 1):

togpM ^O): logP(x)f (х) — logР(Х)М (х): logpWm (х) =

0.

Если учесть

требования

к f

(х),

т (х)

и

р (х),

то

полученное

уравнение эквивалентно

исходному.

Пример 5. Решить уравнение

logo.s* х'2 — 14 logie* x3 +

40 log4,

У

х =

0.

(6)

Уравнение определено на множестве положительных

чисел,

кроме тех, которые являются корнями уравнений:

0,5х =

1,

16х = 1,

4х = 1 (основание логарифма

отлично от 1),

т.

е.

х ф 2, х ^ 1/16,

х ф 1/4.

формулой перехода

от

логарифма одного основа­

Воспользуемся

ния к логарифму

с другим основанием:

logaM =

iQgftM

‘

log* a

Возьмем x в качестве нового основания логарифмов. Тогда

получим

_

log,*2 _

14log,X3 +

40log,.V

х =

Q

^

log,0,5x

log, 16х

log, 4х

Обратим внимание на следующий факт. Хотя уравнение (6) опре­

делено при х = 1,

и, более того,

подстановка показывает, что х = 1

является корнем уравнения (6), уравнение

(7)

при х = 1

не

опреде­

лено. Таким образом, будем решать уравнение

(7),

считая,

что

х ф 1,

х ф 2, хФ 1/16, х ф 1/4.

(8)

2___________ 14-3

40-0,5

Q

log* 0,5 + 1

log* 1 6 + 1

log* 4 —j—1

2

42

,

20

_ Q

У + 1

- 4 0 + 1

г - 2 у + 1

В результате тождественных преобразований последнее уравне­

ние приводится

к

квадратному:

Его корни у1 =

2if — Зу — 2 = 0.

— 0,5;

г/2 =

2.

Таким образом, получаем два простейших логарифмических

уравнения:

log* 0,5 =

— 0,5; log, 0,5 =

2.

Решив

их,

получаем лу =

4, х2 =

0,5 V 2.

Числа

4 и 0,5 ]

2

не входят в множество чисел

(8),

поэтому лу

и лу являются корнями уравнения (6).

Окончательный ответ лу = 4;

лу = 0,5 )/

2;

лу =

1.

Функциональный

подход

При решении уравнений и неравенств этим методом исполь­

зуются свойства непрерывных монотонных функций,

рассмотренные

на

с. 14 — 16.

уравнение

Пример 6.

Решить

3- 16Л' +

36А=

2-81*.

(10)

Разделим

обе

части уравнения на

81А':

81

/ ^

V81

2.

( И )

Рассмотрим

функции

гу = 3

16 У.

_

(

36

!

У = У1 +

1/2

=

1

-от

+

1/г — 2.

. 81 / ’ У2'

_

81

и

t/2

определены

на

(— со,

+ оо). Они монотонно

Функции ух

убывающие,

так

как

16:81

и

36:81

меньше

единицы.

Поэтому

функция у

монотонно

убывающая от

+ оо до — 2.

Отсюда ясно,

что уравнение (11) имеет единственное решение.

уравнение (11)

При х < 0 Ух >

3,

а (/2

1. Поэтому на (— оо, 0)

решения не

имеет.

При

х — 1 у <

0;

при

х =

0 у > 0.

Поэтому

заметить, что у — 0 при л: = 0,5, следовательно,

ответ:

х = 0 , 5 .

Пример 7.

Решить

неравенство

log2

+ + 1 > х 2+ 1.

Функция

у = X'1+

1 определена на

(— оо,

+ «»).

Она дости­

гает наибольшего значения

в точке х =

0. Поэтому

l0Ei ( " F T T

при всех x £ (—со,

со).

Функция у — х2+

1 определена

на

(— со,

+

00) и в

точке

х = 0 достигает наименьшего значения,

равного

1.

Поэтому

реше­

нием исходного неравенства является

только х =

1.

logo,5 {х2 — 2х + а) >

— 3.

(12)

Очевидно, это неравенство эквива­

лентно системе

неравенств

О < х2 — 2х + а < 8.

Отсюда

— х2-j- 2х < а < — х2-j- 2х + 8.

Построим

графики

квадратичных

функций:

а = — х2 + 2х и а = —х2 + 2х + 8

(рис. 47).

Из графиков видно, что:

неравен­

1)

если а )>9, то

решений

ство (12) не имеет;

то

xx<

л: < х2, где лу и х2— корни

уравнения

2)

если 1 <

а <

9,

а = — х2-+- 2х + 8;

3)

если а

1,

то

х\ <

х <

х3

или

х4 < х < х2, где

х{ и х2—

корни

уравнения

а = — х2 +

2х +

8,

(13)

а х3 и х4 — корни

уравнения

а = — х2 + 2х.

(14)

Теперь остается только вычислить

корни уравнений (13) и (14):