Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Часть II. ГЕОМЕТРИЯ

Г л а в а 5. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

§ 1. С х е мы р е ш е н и я к о н с т р у к т и в н ы х з а д а ч *

Общие сведения

Решить задачу построением — это значит построить геометри­ ческую фигуру по данным фигурам и данным зависимостям между элементами этих фигур. Решением конструктивной задачи считается каждая фигура, которая удовлетворяет всем ее условиям.

Конструктивная задача считается решенной при помощи циркуля или линейки (или при помощи других данных нам инструментов), если указана конечная последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура считается найденной в силу аксиом конструктивной геометрии. Непосредственное расчле­ нение конструктивного решения на основные построения в боль­ шинстве случаев приводит к большому числу логических операций. Поэтому если решение данной задачи удалось свести к ранее най­ денному решению какой-либо другой задачи, то она считается ре­ шенной.

При решении почти каждой конструктивной задачи возникает вопрос: как нужно рассуждать, чтобы найти ее решение, чтобы по­ лучить все решения и сформулировать те условия, при которых задача имеет решение? Чтобы последовательно рассмотреть все эти вопросы при решении конструктивной задачи, следует придержи­ ваться некоторого плана, т. е. схемы решения. Схемы решения конструктивных задач могут быть различны. Их выбор зависит и от содержания задачи, и от того метода, которым мы намерены ре­ шать эту задачу.

Однако при использовании любых схем решения конструктив­ ных задач важно установить, во-первых, получили ли мы при вы­ бранном способе решения все существующие решения задачи, во-вто­ рых, всякая ли получаемая при этом фигура удовлетворяет условию задачи.

При решении задач на построение чаще всего используется че­ тырехэтапная схема, состоящая из анализа, построения, доказатель­

* Этот параграф заимствован из работы автора «Методы решения геометрш веских задач» (Минск, «Вышэйшая школа», 1969).

ства и исследования. Однако может быть использована и двухэтапиая схема, состоящая из анализа и синтеза (построения с доказа­ тельством). В дальнейшем на конкретных примерах раскрывается сущность этих схем, их общность и различие. Теперь же опишем (в общих чертах) этапы каждой из названных схем.

Четырехэтапная схема

Анализ. В этой схеме анализ включает в себя поиск решения конструктивной задачи. Надо наметить и составить план тех после­ довательных конструктивных операций, выполнение которых приве­ дет к построению указанной в условии задачи фигуры. Но в лю­ бом случае сначала допускается, что искомая фигура построена. Делается чертеж — ее набросок. На этом чертеже отмечаются дан­ ные и искомые элементы и устанавливается зависимость между ними. Для того чтобы упростить установление этой зависимости, часто необходимы дополнительные построения. В них, как правило, проявляется метод решения данной задачи. Дополнительные по­ строения должны отвечать двум требованиям: во-первых, они дол­ жны быть такими, чтобы их можно было выполнить по данным элементам фигуры, во-вторых, — чтобы по ним можно было по­ строить искомую фигуру. Чертеж-набросок, выполняемый для ана­ лиза, не должен сводиться к какому-либо частному случаю, а дол­ жен соответствовать наиболее общим требованиям, потому что вы­ воды, верные для частного случая, могут оказаться неверными для более общего случая.

Построение. Оно заключается в том, что указывается последо­ вательность основных построений, которые достаточно выполнить, чтобы получить искомую фигуру. Здесь всегда применяется метод, использованный в анализе.

Доказательство. Необходимо доказать, что построенная фигура является искомой, так как это не всегда очевидно.

Исследование. Задача на построение с конкретными числовыми данными не требует исследования. Решая ее, мы найдем все реше­ ния или придем к выводу, что решений нет. Другое дело, если данные величины обозначены буквами, которые могут принимать различные числовые значения. В зависимости от соотношений меж­

130

При исследовании иногда полезны чертежи, которые в противопо­ ложность чертежу, сделанному для анализа и отражающему общие требования задачи, представляют собой отдельные частные случаи.

По своему содержанию вопрос о числе решений конструктивной задачи и условий ее разрешимости часто сложнее, чем сама задача.

Двухэтапная схема

Анализ. Анализ включает в себя все аспекты, характерные для анализа четырехэтапной схемы решения конструктивной задачи, а

решение. Целесообразно рассмотреть способы решения задачи для каждого из принципиально различных соотношений между данными н искомыми элементами.

Синтез. В процессе синтеза (построения с доказательством) реа­ лизуется способ решения задачи, установленный в анализе, и обо­ сновывается, что построенная фигура отвечает всем требованиям, изложенным в условии задачи.

Анализ и синтез (в двухэтапной схеме) являются двумя состав­ ными частями единого логического процесса. Когда вариантов ана­

анализе много вариантов, то каждый из них проще рассматривать непосредственно перед соответствующим вариантом синтеза.

Таким образом, при двухэтапной схеме решения конструктивной задачи в ней с самого начала выделяются существенно различные частные случаи, а потом для каждого из них отыскивается метод решения и устанавливается число решений.

Задача. Построить окружность, проходящую через данные точки

Аи В и касающуюся данной прямой t.* Решим эту задачу по четырехэтапной схеме.

Анализ. Окружности, проходящие через точки А и В, образуют

множество окружностей, центры которых находятся на прямой — оси симметрии для точек А и В. В задаче требуется выбрать из этого множества окружностей ту, которая касается прямой t. Предполо­ жим, что задача решена и искомая окружность построена (рис. 55). Точку ее касания с прямой t обозначим буквой Т. Проведем секу­ щую АВ. Точку пересечения прямых t и {АВ) обозначим буквой С. Тогда |СА|-|СБ| = 1СГ12. Таким образом, отрезок [СГ] может быть построен.

* Различные решения этой задачи взяты из книги Н. Ф. Четверухнна «Ме­ тоды геометрических построений» (М., 1952) и статьи М. Я. Выгодского и В. Л. Рабиновича «Некоторые принципиальные вопросы, связанные с решением конструктивных задач». («Математика в школе», 1965, № 4.)

Построение. Для построения отрезка [СТ] воспользуемся свой­ ством радикальной оси — прямой, перпендикулярной к линии цент­ ров данных окружностей, — которая является множеством точек плоскости, имеющих одну и ту же степень относительно этих ок­ ружностей. Строим произвольную окружность О', проходящую че­ рез точки А и В. Тогда прямая (/15) является радикальной осью окружностей О и О’. Поэтому степень точки С относительно обеих окружностей одинакова, и отрезок касательной СТ к окружности О

равен отрезку [СГ'] касательной к окружности О'. Проводим ка­ сательную СТ' и из точки С описываем окружность радиусом СТ'. Точки пересечения ее с прямой t обозначим буквами Т1 и Т2. Ис­ комая окружность определяется точками А, В и Тх или А, В и Т2. Ее нетрудно построить (рис. 56).

Доказательство. Обе построенные окружности А В Т1 и А В Т2

прямые (СТЛ) и (СТ2) должны касаться соответствующих окруж­ ностей. Следовательно, построенные окружности удовлетворяют ус­

132