Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Теперь решим эту задачу по двухэтапной схеме.

Анализ. 1. Предположим, что искомая окружность существует. Пусть Т (рис. 59) — точка касания. Из двух точек А и б по меньшей мере одна не совпадает с Т (и, следовательно, не лежит на каса­ тельной t). Присвоим ей обозначение А. Центр О искомой окруж­ ности лежит на перпендикуляре (MN) к отрезку [АТ], проведенном через его середину, а также на прямой (ТК), перпендикулярной к прямой t. Следовательно, задача будет решена, если мы найдем точку Т.

2.Точка В может лежать на прямой t. Тогда точка Т совпа­ дает с В.

3.В общем случае, когда точка В не лежит на прямой t, она

расположена по ту же сторону от нее, что и точка А (так как окружность О лежит по одну сторону от касательной t).

4. Предположим, что прямые (АВ) и t не параллельны, и обо­ значим через С точку их пересечения. По известной теореме |СТ|2 =

=|СЛ|-|СВ|. Следовательно, точку Т можно построить.

5.Если прямые (АВ) и t параллельны (рис. 60), то точка Т ле­

S

133

школьных программах. В частности, геометрическим преобразова­ ниям, как специфическим функциям, отводятся особое место и роль в школьном курсе геометрии. Этим самым расширяются функци­ ональные представления учащихся, получаемые ими на уроках ариф­ метики и алгебры.

Развитию функциональных представлений учащихся способству­ ет и решение задач, содержанием которых является установление правила (закона), по которому изменя­ ется форма фигуры (взаимное располо­ жение ее элементов) с изменением ве­ личины некоторых ее элементов и на­ оборот.

Приведем пример такой задачи (для повторения школьного курса планиметрии).

Задача 1. На плоскости даны окруж­ ность О (50 мм) и точка А (|(М| = ' = 5 0 )/з мм). Угол ВОС равен 60°, В £ £ [ОА) (рис. 61). Хорда ВС вращается во­ круг точки О (в плоскости чертежа) против хода часовой стрелки.

1.Будет ли при этом изменяться мера угла САВ?

2.Указать на окружности те положения точки В, при которых

I_САВ становится наименьшим и наибольшим.

3.Отметить те дуги окружности, при движении по которым I'_САВ уменьшается или увеличивается.

4.Сколько существует таких положений точки В на окруж­

ется мера (величина) угла САВ с изменением положения хордьпВС на данной окружности.

Традиционно все школьные геометрические задачи делятся на задачи на вычисление, доказательство и построение. Очевидно, сфор­ мулированная задача не относится ни к одному из этих видов, так как при ее решении приходится заниматься не только построением,

вычислением и доказательством, но и обнаружением и обосновани-

л

135

струированме динамических моделей дело сложное. Поэтому скорее

л

всего ученик получит первое представление об изменении ВАС в результате выполнения с помощью инструментов аккуратных по­

строений различных положений хорды ВС на окружности и измере-

д

ния транспортиром ВАС. Для ускорения работы учитель может раз­ делить класс на группы. Каждая группа учащихся выполняет соот­ ветствующие построения и измерения (транспортиром) для указан­

ных ей учителем положений точки В па окружности. Например, всю окружность точками Bv = В, Въ В3, ..., В24 можно разделить на 24 конгруэнтные части. Каждая группа учащихся выполняет

136

12) не существует такого положения В, при котором ВАС — 90°. Этим заканчивается первый этап работы над задачей (получение

правдоподобных гипотез).

Но, подчеркиваем еще раз, все двенадцать сформулированных положений являются пока только гипотезами, полученными самими учениками на основании фактических построений и измерений. Эти утверждения им предстоит доказать или отвергнуть. Не каждое из них сумеют обосновать все ученики восьмого класса без предвари­ тельной подготовки.

137