Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Ё

качестве

подготовительных

упражнений к этой задаче следу­

ет рассмотреть

следующие вопросы.

1.

Точка X

находится внутри

треугольника АВС (рис. 64). До-

казать, что АХС >

АВС.

X, внутри треуголь-

2.

Установить,

при каком положении точки

ника

АВС или на

л

будет наименьшей.

его границе, величина АХС

3.

Как измеряется угол, вписанный в окружность?

равны

между собой. Построены [ВН]±_{АС) и [ B J i^ ^A ^ C ) . Дока­

зать,

что ВАС <CBXALC.

Доказать, что |B ^ |< |B ^ a|.

Который из

отрезков короче: [ВС\

или [ В ^ ]? Который из углов больше:

1_НСВ или L H XCBJ

л

л

6. Сравнить ВхАВ2 и В2ЛВ3 (рис. 62, а).

66).

Срав­

7.

Дуги окружности РХКХ и КХМХ конгруэнтны (рис.

нить дуги МК и КР.

дуги

РхКх

8. Дуги МК и КР конгруэнтны (рис. 67). Сравнить

и КХМХ.

9.

Сравнить Л41Ж и KDP (рис. 67).

можно

После рассмотрения этих подготовительных упражнений

приступать к доказательству утверждений (1) — (12).

В чем ценность рассмотренной задачи 1?

много

Во-первых, в

процессе ее решения школьники повторили

важных свойств

геометрических фигур, убедились, что

для

реше­

рехугольников

ABCD,

у которых \АВ\ = 50 мм, |ВС| = 20 мм,

\CD\ = 25 мм,

\DA\ = 35

мм?

Рассмотрим два способа решения этой задачи.

С п о с о б

1.

Если четырехугольник ABCD с данными сторонами

должен

вписываться в окружность,

то

АВС -f ADC = 180°.

Чтобы

использовать это равенство, приложим

ДЛВС к ДЛС£> так,

чтобы

/_АВС и /

ADC были смежными.

На

рис.

68 А АВС занял

поло­

жение

а А'В'С'.

(А'С').

В пересечении

Через А проводим прямую, параллельную

с прямой (С'С) получаем точку С".

Треугольник АС"С можно построить. В самом деле,

\CD\ =

25 мм,

\С"В\ =

|C'D|-|/4D|:|71B| =

20-35:50 =

14

мм (из подобных треуголь­

ников

АВС"

и А'ВС')]

\AD\ = 35

мм;

|ЛС|: \АС"\ =

50 : 35 =

10: 7.

ности (множество точек,

расстояния которых до двух данных то­

чек С и С" находится в

данном отношении 10 : 7, есть окружность

определенного радиуса и

центра). Ее положение на этой окруж­

Построив дСМ С, определяем сторону АС, т.

е. диагональ ис­

комого четырехугольника ABCD. Теперь построение

единственного

четырехугольника ABCD очевидно.

упрощает поиски

С п о с о б 2.

Функциональный подход намного

решения

задачи.

[С'В] и [DC], длины кото­

На одной прямой отложим отрезки

рых соответственно равны 20 и

25

мм

(точки В

и D совпадают).

Проведем

концентрические окружности

D (35 мм)

и D

(50

мм)

(рис. 69).

Точки А и А'

находятся

на этих окружностях и принадле­

жат прямой (DA). Задача будет решена, если мы установим, сколь­

ко существует

таких

точек А

на

окружности

D

(50

мм),

что

\С'А'\ = \АС\.

Построим [ВА']±_[С'С]. Очевидно, что \С'А'\ > \АС\.

отрезок

При движении точки А' против

хода часовой

стрелки

Итак, наименьшая длина отрезка [А'С']

равна 50 — 20 =

30 (мм).

Когда

точка А окажется

на прямой (С'С), \АС\

станет

равной

25 + 35 =

60 (мм).

Теперь ясно, что на окружности D (50 мм) существует един­

ственная точка А’ такая, что

|Л'С'| = |ЛС|.*

Сравним две задачи.

Задача! 3. Существует ли

ДЛВС,

у

которого

|ЛС| =

50

мм,

\АВ\ = 40 мм и разность мер углов ф =

/\

л

В — С = 30°.

Задача

4. Существует ли

дЛ БС ,

у

которого

|ВС| =

40

мм,

\АВ\ = 50

мм и разность мер углов ф =

л

л

В — С = 303.

степени

и поэтому не может быть решена только с помощью цир­

куля и линейки, хотя по внешнему виду похожа на задачу 3.

Выясним функциональное содержание этих задач.

Сначала о задаче 4.

А0ВС, у которого |ВС| =

Построим равнобедренный треугольник

= 40 мм, |ВЛ„| = |Л„С| =

50 мм (рис. 70). Этот треугольник не пол-

ностыо

удовлетворяет условию

задачи.

У

него

л

А

ф = В — С = 0°.

Очевидно, у искомого треугольника АВС

угол В

больше

угла С.

Поэтому вершина Л искомого треугольника АВС лежит на дуге DA0

окружности В левее точки Л0. Более того, ученикам сразу

видно,

что при

движении точки Л0 по

дуге

А0Е> (против хода

часовой

стрелки)

А

А

А

А

С уменьшается от ВСА0 до 0°,

а В увеличивается от А0ВС

до 180°.

Поэтому при таком движении точки

Л0 угол ф увеличи­

вается от

0° до 180°.

Итак, задача имеет решение

при

любом до­

пустимом значении угла ср. Причем это решение единственное.

Теперь

о задаче 3.

Построим сторону ВА треугольника АВС (рис. 71). Тогда третья

вершина С этого

треугольника

лежит

где-то на полуокружности

А (50 мм).

При увеличении угла А от 0° до 180°

угол

В,

очевид­

но,

уменьшается

от

180° до 0°. Но

неясно, как

изменяется

при

л

следовательно,

и разность

л

л

этом С, а

В — С.

Для получения

гипотезы отметим на

полуокружности несколько

точек (на рис.

71 — точки Съ С2, ..., Си ,

С12).

Измерим

углы

Сп

( л =

1, 2,

. ..,

12)

и /_В треугольников

СХЛВ, С2АВ,

... ,

С12АВ.

Результаты измерений

внесем в таблицу

(табл. 2).

Т а б л и ц а 2

Углы

с 1

С2

С3

с«

с 5

Cq

с 7

с в

Сю

Сц

Cl2

Л

28

45

52

54

53

48

43

39

34

26

19

11

с

Л

145

109

102

90

79

66

58

51

43

32

22

13

в

В — С

117

64

50 36 26 18 15 12 9 6 3 2

В табл. 2 величины углов указаны в градусах.

угла

Эта

таблица

наводит нас на мысль,

что при

увеличении

Л

до

А Л

180° до

0°.

А от 0°

180° разность В — С уменьшается от

Но доказать

это достаточно трудно,

так как

/_С опирается иа

отрезок

[ВЛ],

который не является хордой окружности,

которой

принадлежит точка С.

л

С другой

стороны, таблица нам подсказывает,

что С принимает

л

наибольшее значение в том случае, когда В = 90°.

[ЛС].

Поэтому

обратимся к другому чертежу. Построим отрезок

Третья вершина В

искомого треугольника АВС

принадлежит ок­

ружности Л (40 мм).

которая

Теперь, кажется, будет проще доказать ту гипотезу,

нам подсказана таблицей.

от Р до

В0 углы

В самом деле,

при движении точки В по дуге