Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

л

л

д

разность В — С уменьшается.

А (40

от В0

При движении точки В по окружности

мм)

влево

л

Л

Л

Л

С уменьшается. Но как изменяется В и разность

В — С?

тре-

Пусть

ВХ£А

(40 мм) и Вх находится

вне прямоугольного

угольника

АВ0С.

Л

Тогда

Л

ct

так

Обозначим: ВгАВ0= а.

ВгСВ <

Таким образом, с

Л

АВС

Л

увеличением Л треугольника

на а С

уменьшается

меньше,

а

_

л

больше,

чем на

Поэтому

В уменьшается

чем на

Следовательно, при движении

точки В

по окружности

Теперь

ясно, что

существует

единственный

треугольник АВС,

у которого |ЛС| = 50

мм,

|ЛВ| =

40 мм

(при

любом допустимом

значении ср).

у которого \АВ\ = 50 мм,

Задача

5. Построить треугольник АВС,

[ЛЛ4| = 60

мм и \ВН\ = 40

мм ([ЛЛ4] — медиана этого треугольника,

[ВН] — его

высота).

анализа задачи, ученики

Сделав

соответствующий чертеж для

замечают,

что можно построить часть искомого треугольника — пря­

дины Мъ

М2, . .. этих отрезков, соединить

точки М1г

М2, . . . с

точкой А (рис. 73).

Измерив отрезки [АМ{], [АМ2], . . ., школьники приходят к пред­

положению, что при движении точки С по лучу

[АН)

(от

начала

луча) длина медианы [AM] /\АВС увеличивается

от 25

мм (поло­

вина стороны АВ) до бесконечности.

Чтобы облегчить поиски доказательства этого факта, обращаем

их внимание на свойство точек М1; М2, . ..

При

помощи

линейки

они обнаруживают, что эти точки принадлежат

одной

прямой,

параллельной лучу [АН).

Теперь дальнейшая работа над задачей не

представляет

серьез­

ных трудностей.

Функциональный подход к решению этой

задачи

дал

возмож­

ность ученикам обнаружить свойство точек М1г М2, . . .

и закон из­

менения длины отрезков [АМг], [АМ2\, . ..

Кроме того,

они увидели

теперь, как решается эта задача при помощи

циркуля

и

линейки.

Искомая точка М = А (60 мм) f) tn, где

т — прямая,

параллель­

ная лучу [АН) и проходящая через середину отрезка

[НВ].

Задача

6. Установить, каким свойством

обладает

множество X

Построим отрезок [АВ] (рис.

74) и несколько точек х0, хъ х\,

х2,

х'2, х3, х'г,

... , удовлетворяющих

условию задачи, т.

е. таких,

что

\АХ\: \ВХ\

= 5:3.

После этого нетрудно заметить, что все эти точки принадлежат

окружности, центр О которой находится на прямой

(АВ). При по­

этой окружности равен 7,5 см.

Теперь

остается только

доказать

или опровергнуть полученную гипотезу о свойстве точек

множест­

ва X.

М — произвольная

Пусть

точка

этой окружности.

Обозначим

МОА = а.

Если

\ОМ\ = 7,5 : 2 =

3,75

(см),

то,

очевидно, |ОВ| =

= 2,25 см и |ОЛ| = 6,25 см.

ВОМ

и АОМ

теорему

косинусов,

Применив к треугольникам

получаем:

|ВЛ4|2 = 2,252 + 3,752±2-2,25-3,75 cos а =

9 (2,125 ± 1,875 cos а).

}ДМ|2 = 6,252 +

3,752± 2 - 6,25 • 3 ,7 5 co sa=

25

(2,125 ±

1,875 cos а)

(знак « + »

или

«—» ставим в

зависимости

от

того,

является ли

угол а острым или тупым).

9 : 25,

т.

е.

\ВМ\:\АМ\ = 3 : 5.

Теперь ясно,

что |£Ш|2: |/Ш |2 =

Таким

образом, доказано,

что «открытая»

нами в

результате

10 А. Б. Василевский

145

на, т. е. множество X

является окружностью радиуса

3,75

см.

Центр О ее принадлежит прямой (АВ) (правее точки В,

вне отрез­

ка [ЛВ]); |ВО| = 2,25 см.

точка

Р.

Задача 7. Внутри квадрата ABCD взята произвольная

Из вершины А опущен перпендикуляр [Л/С]

на прямую

(ВР),

из

вершины В — перпендикуляр [ВМ] на прямую

(СР), из С — перпен­

дикуляр [СН] на прямую

(DP), из D — перпендикуляр [DT] на пря­

\FX\ = \LP\ и |BL| = 1ЛР|;

\ВЕ\ = \LP\

и \LC\ = \EX\-

\ЕХ\ = \РЩ и \DN\ = |£С|;

|УВ| = |ЛР|

и |РР| = \YX\.

Если это так, то конгруэнтны прямоугольные треугольники:

дВ В Р и дЛ РХ , ДВВХ и ДР1С,

д ХВС и д

PND, д ARP и ДВУХ.

Поэтому данную задачу можно заменить такой:

то

прямые

доказать,

что

если

|ХК| =

\PR\

и

|XQ| =

IPOI,

(АХ)±(ВР), (ВХ)±(СР), (CX)±(PD),(DX)±(AP).

(ЛХ)_1_(ВР), так

Это свойство точки X очевидно. Например,

как из конгруэнтности прямоугольных треугольников BLP

и

AFX

следует конгруэнтность

острых

углов

LBP

и FAX. Но

стороны

[BL) и? [AF) этих

углов перпендикулярны.

Поэтому перпендикуляр­

ны и стороны [ВР) и [АХ).

Задача 8. Расстояние между центрами М и К двух окружностей

равно 0 ,5 (1 + 3 )/Л3). Радиусы их равны

1

и

0,5]/^6.

Определить

сторону квадрата ABCD, вершины А и В которого лежат на одной

окружности, а С и D - н а другой.

Выбрав некоторый масштаб, строим данные окружности (рис. 76).

Допустим, что искомый квадрат ABCD построен;

\МА\ — 1, \KD\ =

= 0 ,5 )/б .

Точка

Р =

(АВ) П (МК),

Е =

(CD) (}(МК).

Обозначим:

\AD\ = х,

\МР\ = у.

Тогда

^ + ( т ) а== lf

[°-5 0 + з / 3 ) - х - £ ] 2 +

0,25х2=

( - ^ у .

Исключив из этих

двух

уравнений

у,

получим

уравнение чет­

вертой степени:

0,25 +

[— 0,5(1 + 31/3) +

х]4+ х2[— 0,5(1 +

з / 3 )

+

х]2 -

— 3 [— 0,5(1 +

3 ]/3 ) +

х]2 = 0.

(1)

Вычисление его действительных корней

представляет

серьезные

трудности. Поэтому поступим следующим образом.

не

превыша­

Из рис. 76 видно, что сторона искомого квадрата

ет диаметра Л0В0меньшей окружности. Очевидно,

у прямоугольника

Л0В0С0£>0 |A0Da\ > |Л0В0|. При увеличении у

от 0

до

1

длина

сторо­

ны [Л0В„] прямоугольника A0B0C0D0 уменьшается монотонно от 2

до 0; |Л0£>0| =

х также

монотонно уменьшается

от

|Л0П0|

до \НМ\

(Н и М — точки пересечения окружностей с отрезком [МК]).

Отсю­

да ясно, что на отрезке [МН] существует не больше двух

таких

точек Р, при которых прямоугольник A0B0C0D0 становится

квадра­

том ABCD. Методом проб находим,

что х ^ :1 ,7 ^ :] /3 .

Подстанов­

кой

в уравнение (1) убеждаемся,

что

У~3

действительно

является

его

корнем.

Но существует ли еще одно положительное решение этого урав­

нения?

3 У 3) = k.

Обозначим:

0,5 (1 +

Рассмотрим функцию

/ (х) — 0,25 +

(— k + x)‘l + х2 ( — k + x f

— 3 (— k + x)2.

10*

147

Ее производная

/' (а') = 2 (а - к) [2 (х - k f -

3 + х ( х - k) + а2]

обращается

в

нуль

только в точке х

= k

(легко проверить,

что

квадратный

трехчлен

2 ( х — /г)2 — 3 -f х ( х — k) + х й

действительных корней не имеет).

прямоугольника A B C D

из­

Но а = k >

3.

Длина стороны [ A D ]

меняется от

|/40D0|

до

\НМ\. Причем \НМ\ <

|Л0Д0|.

Р и с. 76

Ри с.

77

Вычисляем

|A0D0\ =

\MF\ = \МК\ - \FK\ =

\МК\ -

V

\D,K\%-

\FD0f

=

= \МК\ -

V\D0K\2 - \MAtf =

=

0,5(1 + 3 ] / 3 ) -

Y

Р ^ - )

-

1 < 2 , 4 < 3 .

Теперь ясно, что существует единственный квадрат ABCD,

удовлетворяющий условию задачи. Длина его

стороны

равна

]/~ 3.

Задача 9. На гипотенузе [ВС] прямоугольного треугольника АВС

расположена

точка М,

а на

стороне [АС\ — точка

N

такая,

что

[MN\ || [АВ].

Известно,

что

|ЛВ| =

|/Ш|

=

1,

|СМ] = ]/3 .

Опреде­

лить длину отрезка [АДУ] (рис. 77).

_____

Естественно обозначить |МЛ/| =

а .

Тогда

]СЛ7| = У 3 — а 2. Из по­

добных треугольников MNC и ВАС получаем уравнение

3 — • А2

(2)

1 + 1/ 3 ^ 2

Оно преобразуется к такому уравнению:

а 4 — 2х3— а 2 + 6 а — 3 = 0.

( 2 0