Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

28.

Дано

изображение прямоугольного треугольника ЛВС, катеты

[АС]

и [СВ]

которого относятся как 1 : 2.

Построить изображение биссектрисы

[C/Q

его прямого угла.

29.

Дано

изображение квадрата

ABCD. Через точку М диагонали [/1C]

про­

30.

Дано изображение

прямоугольного треугольника АВС, катеты

[АС]

н [СВ]

которого относятся

как 1:3. Построить изображение его высоты

[СН],

проведенной к гипотенузе.

[ЛВ] которого в 2 раза больше основания

[ЛС].

Построить изображение

его

высот [ВН] и [Л /\].

[ЛВ | : | В С | : ] СЛ|

=

33. Дано изображение треугольника ЛВС, у которого

= 2 : 4 : 5 . Построить изображение его высоты

[ВН],

проведенной к стороне [ЛС].

34. Дано изображение равнобедренного

треугольника

АВС { \ А С \ — основа­

ние).

Стороны его относятся как 5: 12. Построить изображение центра О вписан­

ного

в него круга.

42.

Дано

изображение куба ADj_. Построить точку Х = (Л1С ) П ПЛ- (DBBt).

43.

Дано

изображение куба

ADlt М — середина [DyB], К делит [ЛЛХ]

в отношении

1:3. Построить X =

(МК) П пл. (ЛВС).

точка Р — на грани Д С С А -

Построить прямую

пересечения

плоскостей

МКР

и АВС.

Дан

куб ADt .

На прямой

А Д )

и плоскости АВС построить точки X

47.

и Y, симметричные относительно точки Сх.

48.

Через середину М ребра [ЛВ] куба AD1 проходит

прямая р,

параллель­

ная прямой (ДА).

Построить

вторую

точку

пересечения прямой

р

с

поверх­

ностью куба.

правильная пирамида MABCD.

Через середины К и Р ребер

[AD]

49.

Дана

и [DC]

проходит плоскость, параллельная (ВМ).

Построить точку X,

в которой

ребро [МД] пересекает плоскость КРХ.

пирамиды

MABCD.

Через середину К

50.

Дано

изображение правильной

апофемы [МЕ\ боковой грани ЛДМ проходит прямая р,

параллельная

плоскости

СДМ и пересекающая прямую

(СЛ).

Построить

точку

X

пересечения р с плос­

костью СДМ.

так,

чтобы он был

параллелен

51.

Дан

куб ЛДХ. Построить отрезок [ХК]

прямой

(С/С)

(К — середина [B A D -

конгруэнтен

половине

[С/С]

и

чтобы его

концы лежали на прямой (ЛВХ) и плоскости ЛВС.

Через

середину /С

ребра

52.

Дан

куб

ЛДХ.

Точка

М — середина

[ЛЛХ].

[ЛА ]

провести прямую р, пересекающую прямые (МС)

и (ДВj).

лежат

53.

Дан

куб

ЛДХ.

Построить

отрезок

А Х ],

концы

которого

в точке Bj

и на

прямой А Д )

и

который

плоскостью

ADXK

( К — середина

[В А ])

делится пополам.

прямую

р,

пересекающую прямые

(Л А )

54.

Дан

куб

ADX.

Построить

и А Д )

и параллельную прямой (B/Q (К — середина

[CCj]).

55.

Дано изображение правильной пирамиды DABC. Через точку Е ребра АВ

в плоскости

ЛВМ (М — середина

[СД])

проходит

прямая р _L (АВ).

Построить

точку X пересечения р с боковой

поверхностью пирамиды.

[ЛХ]

на

пря­

56.

Дан куб ЛД!.

Из вершины

Л

опустить

перпендикуляр

мую А Д ). Построить сечение куба плоскостью,

проходящей через Л

и

перпен­

дикулярной к прямой (ВХД).

через Л провести прямую р,

перпендикулярную (AM).

грани ЛВД.

60. Дан

правильный тетраэдр DABC.

Точка М

лежит внутри

Опустить перпендикуляр [МН] на плоскость BCD.

перпендикуляр

[ДА ] на

61. Дан

куб ЛД!. Из

вершины D1

опустить

65. Дан куб ЛДХ. Через

середину

М ребра [ЛД]

и точку К (К делит

ребро [АВ] в отношении 3:1,

считая от

Л) проходит

плоскость П, которая

образует с гранью ABCD двугранный угол 60°.

Построить

на изображении

куба

точку X пересечения плоскости П с отрезком

[Лу4х] .

в

2 раза меньше

6 6 . Сторона

основания правильной

пирамиды

MABCD

бокового ребра. Через сторону

\АВ] основания ABCD

пирамиды

проходит

плоскость П,

перпендикулярная

грани

CDM.

Построить

отрезок

[XY] =

пл.

П П грань CDM.

[ЛX]

на

плоскость

BDO (О —

67.

Дан

куб ADX. Опустить перпендикуляр

центр грани ВССХВ{).

6 8 . Дан

куб ADX. Прямая р,

перпендикулярная плоскости BDM (М — сере­

дина ребра [ЛЛ!]),

проходит через середину Е отрезка [SZ?].

Построить точку X,

в которой р пересекает боковую поверхность куба.

К делит [ЛВ]

в

отношении

69.

Дан куб ADX. Точка М — середина

[ЛЛД

3:1, считая

от Л. Опустить перпендикуляр

из А на плоскость DMK.

70. Боковое ребро правильной пирамиды MABCD конгруэнтно стороне

основания.

Построить

общий

перпендикуляр

[ХК]

к

прямым

(ВС)

и

(DM) (X £ (ВС),

Y £ (DM)).

71.

Дан

куб ADX. Построить

общий

перпендикуляр

к

прямым

(AD,)

и

(ВМ) (.'VI — середина ребра

[ССД]).

общий

перпендикуляр

к

прямым

(АХС)

72.

Дан

куб

ADX.

Построить

и (АЕ)

(Е — середина ребра [ВС[).

73. Дан куб ADX. На плоскости

АВС

построить

прямую

р,

которая

про­

ходит через середину М ребра [CD]

и образует

угол 45°

с прямой (BXD).

является

прямоугольный

треугольник АВС. Длина его катетов:

| АС | = Ь,

| СВ | = а(Ь <

а).

Некоторая плоскость

пересекает все

боковые

ребра призмы

в

точках А, В0, С0 так,

что в сечении

нальными проекциями отрезков [ЛС0] и [Л50]

на

плоскость АВС.

Но | АВ | = ]

я2 + Ь2 > Ь. Поэтому

х >

у > 0.

Из

прямоугольных

треугольников

АСС0, АВВ0 и трапеции

BCCQBQнаходим:

|ЛС0|2 =

62 +

л:2,

(1)

|ЛВ0|2 =

я2 +

62 -|-г/2,

(2)

IС0В012 =

я2 +

(х — у)2.

(3)

(1) — (3) получаем

систему уравнений для

определения х и у:

а2 + b2 + if = я2 + (х — у)~,

а- +

Ь2 + У 2 = b2 + х2.

После очевидных преобразований эта сис­

тема

уравнений принимает вид:

х2 — 2ху — b2,

(4)

х2— у2.

(5)

Выразив у из уравнения (4) и подста­

вив

его значение

в уравнение (5),

имеем

я2 = 0,75х2 +

0,5Ь2— 0,2564: х2

или

I

CfA) ]2 =

х2 = я2 -f- ( | СС01— | ВВ01)2.

(8)

Из равенств (6)—(8) следует

х2 - я2 +

[У х2 — Ь2 — у х2 — я2 — Ь2]2.

Это иррациональное

относительно

х2 уравнение

преобразуется

к такому:

Зх4 — 4х2 (я2 + Ь2) +

4а2Ь2 = 0.

(9)

Решив его относительно х2, находим

-V2

=

[а2 + Ъ2i t Уа* — а*Ь* + Ь*].

Так

как подкоренное

выражение положительно при всех а и b

и оно

меньше,

чем а2 + Ь2, то уравнение (9) имеет два

положи­

тельных решения.

Но и по

условию задачи х2> а 2 -(- Ь2.

Поэтому

задача

может иметь только

одно решение:

-V=

у

[а2 + Ь2+ Уа*-а*Ь* + Ь*].

/г2 > х2 — Ь2 = - ^ - [ а 2 +

К а4 — а2й2 + 64] — 4т--

о

о

На основании свойства биссектрисы внутреннего угла

треуголь­

ника и по теореме синусов имеем

| АН | = | АВ | • | НО | : | ВО | = а (]/1Г— 1) =

a sin

: sin ^

+

- | -

Аналогичным образом из треугольника АВМ получаем

| ВМ | = а : У~Ъ = a sin

: sin

+

Уj •

Таким образом, для определения углов х, у

получена

система

уравнений

sin \ ^ ~ + Уj = V

3 sin

( 10)

( ) / 3"— 1) sin (х +

j

' sin —^—

Выразив у из первого уравнения, получаем

Ух = arcsin(y~3"sin^-)—

или у2 = п — arcsin ( ] / 3sin-^-

2 ‘

Из

второго уравнения находим

х3 — arcsm | — ; =1------ sin-

~

] — J L

или

У 3 — 1

2

I

2

х4 = я — arcsin

—=

1

•

У

У

------ sin-^-

2

•

1

2

Так

как х и у — углы

треугольника, то

0 <

У 3 s i n - ^ - < l ,

т.

е. 0 < л г < 2

arcsm

1

,__

0,39л.

у

т

0 <

1

т. е.

0 < у <

2 arcsin (]/" 3 — 1 )^ 0 ,53л.

s i n - |- < ; l ,

у

3 — 1

Очевидно, функция уг — монотонно

убывающая

на (0; 0,39л).

При помощи производной легко устанавливается,

что на (0; 0,39л)

функция уг монотонно возрастающая. Их графики

показаны на

рис. 97, б.

Рассмотрим функции у3 и yit обратные функциям х3 и х4:

12 А. Б. Василевский

177