Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
удовлетворяют соотношению |
| СВ | ]> | СА | . |
Найти множество |
всех |
точек X |
||||||||||
треугольника АВС, для |
которых |
одновременно выполнены |
следующие соотно |
|||||||||||
шения: |
\ Х А \ > \ Х В \ > . \ Х С \ , |
A'j » |
Л'2 > А'з, |
где |
лу, .y.,, |
,y3 — расстояния |
от |
|||||||
точки X до сторон [ВС], [С<4], [АВ] треугольника АВС соответственно. |
|
|||||||||||||
21. |
Даны две одинаковые окружности /гх и /г2, |
которые пересекаются в двух |
||||||||||||
разных точках Р н Q. |
Через |
точку |
Р |
проведена |
прямая, |
пересекающая |
обе |
|||||||
окружности |
еще в двух |
точках X |
н |
V, |
взаимно |
отделенных |
|
друг |
от друга |
|||||
точкой |
Р. |
Установить |
множество середин сторон |
треугольника |
Q XY . Найти, |
|||||||||
какую |
фигуру заполнят центры окружностей, |
описанных |
около |
треуголь |
||||||||||
ника QXY. |
|
|
|
|
|
|
|
|
М сумма- |
длин |
всех |
|||
2 2 . |
Доказать, что во всяком выпуклом многограннике |
|||||||||||||
ребер больше утроенного диаметра. |
(Диаметром многогранника |
называется |
наи |
|||||||||||
большая из длин всевозможных отрезков с концами |
в вершинах многогранника.) |
|||||||||||||
§ 3 . З а д а ч и на и з о б р а ж е н и е п р о с т р а н с т в е н н ы х ф и г у р
Метод следов построения сечений многогранника плоскостью
Метод следов построения сечений пирамид и призм заключается в следующем. Строится прямая (след) пересечения секущей плос кости с плоскостью основания пирамиды или призмы. Находятся
Рис. 92 |
Рис. 93 |
точки встречи следа с плоскостями боковых граней и диагональных сечений этих многогранников. Эти точки вместе с данными точ ками секущей плоскости определяют прямые, которым принадлежат стороны (диагонали) искомого сечения.
Задача 1. Дано изображение четырехугольной пирамиды MABCD (рис. 92). Точка Р £[АМ], Е £[MD], К^[М.В]. Построить сечение пирамиды плоскостью РКЕ.
168
Для |
построения следа |
р пересечения секущей плоскости РКЕ |
|||
с плоскостью основания ABCD пирамиды необходимо найти две |
|||||
точки, |
принадлежащие |
плоскостям РКЕ и |
АВС. Строим Y = |
||
= (РЕ) П (AD), |
X = (РК) [)(АВ). Прямая (XY ) |
является |
следом р, |
||
так как |
X и Y |
принадлежат плоскостям АВС и РКЕ. Для |
построе |
||
ния точки встречи секущей плоскости с ребром [СМ] (или его
продолжением) |
найдем |
точку Н |
пересечения |
следа с плос |
костью ACM. |
Очевидно, |
Н — р{\(АС). Строим |
F = (PH) (] (МС). |
|
Четырехугольник PEFK — искомое |
сечение. |
|
||
Метод деления « угольной пирамиды (призмы) на треугольные пирамиды (призмы)
Из данной «-угольной призмы (пирамиды) выделяется та тре угольная призма (пирамида) П, на боковых ребрах которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение этой призмы (пирамиды), а затем — сечения тех треугольных призм (пирамид), которые имеют общие части с фигурой П.
Задача |
2. |
Дано |
изображение |
призмы |
ABCDEAyByCyDyEy |
||||
(рис. 93). |
Точка |
Р £[ААу], |
И £[ЕЕу], |
|
Т £[ВВу]. Построить |
сече |
|||
ние призмы плоскостью РИТ. |
|
АВЕАуВуЕу. С этой |
приз |
||||||
Треугольник |
РИТ — сечение призмы |
||||||||
мой имеют |
общие части призмы АВСАуВуСу, ADEAyDyEy. |
Пусть |
|||||||
М = (АС)[\(ВЕ), |
K = (AD)(\(BE), |
М1= ( А 1С1)[\(В1Е1), |
Ку = |
||||||
= (AyDy) ^(ВуЕу). |
Отрезок |
[ММу]— пересечение |
боковых |
граней |
|||||
АССуАх и |
ВЕЕуВу |
призм |
АВСАуВуСу |
и АВЕАуВуЕу. Поэтому |
|||||
существует точка Q = (ТН) П (ММу).
Треугольник PTY (К = (PQ) П (СС^)) является сечением призмы АВСАуВуСу плоскостью РИТ. На основании аналогичных рассуж дений получаем: F =(ТИ) П (ККу), X = (PF) f) (DDy).
Треугольник РНХ — сечение призмы ADEAyDyEy плоскостью РТИ. Пятиугольник PTYXH — искомое сечение.
Метод дополнения «-угольной пирамиды (призмы) до треугольной пирамиды (призмы)
Данная призма достраивается до треугольной призмы. Строится ее сечение. Искомое сечение получается как часть сечения треуголь ной призмы.
Задача 3. Дано изображение пирамиды MABCDE (рис. 94).
ТочЕга F £[АМ\, |
Т £[МС]. |
Построить сечение |
пирамиды |
плос |
|
костью FBT. |
|
К = (АВ) Q (DE). Соединив отрезками |
|||
Строим |
Р = (ВС) П (DE), |
||||
точки М и |
К, |
Р и М, получаем треугольную |
пирамиду |
МКВР, |
|
169
частью которой является данная пятиугольная пирамида. Строим
сечение пирамиды МКВР |
плоскостью FBT : X = |
(FB) П (КМ), |
||
У = (ВТ) П (/ИР). |
Треугольник |
XYB — сечение |
пирамиды МКВР |
|
плоскостью FBT. |
Получаем |
Q = (ЕМ) П (ХК), |
Н = |
(MD) П (XY). |
Пятиугольник QHTBF — искомое сечение.
Метод параллельных прямых
В основу этого метода положено свойство параллельных плос костей: «прямые, по которым плоскость пересекает данные парал лельные плоскости, параллельны между собой».
|
|
|
Рис. 94 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 95 |
|
|
||
Задача 4. Дано изображение призмы ЛВСДДЛ1Д1С1Д1£'1 (рис. 95). |
||||||||||||||
Точка |
К£[ ААХ], |
М £[ССХ\. |
Построить |
сечение |
призмы |
плос |
||||||||
костью |
КВМ. |
|
|
|
|
плоскость |
П, |
параллельную |
грани |
|||||
Через |
(АА-д . проводим |
|||||||||||||
ВССХВХ. |
Получаем |
Р = (ED) П П, |
Рх = (EXDX) П П, |
Р = |
(CD) П П, |
|||||||||
Fi= (CiDx) П П. Так |
как П параллельна |
грани ВССХВЪ то |
секущая |
|||||||||||
плоскость КВМ пересекает П по прямой |
(КХ) || (ВМ), X£(FFx). |
|||||||||||||
Получаем |
О = (PPj) П (XX), |
Т = |
(MX) П (DDJ, Y = (ЕЕХ) П (ТО). |
|||||||||||
Пятиугольник |
KBMTY — искомое |
сечение. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
||
1 . |
|
|
Точки |
М, |
К, |
Р, |
Н — середины |
ребер |
[AD], [DC], [ВС], |
[ДВ] пир |
||||
миды |
DABC. Принадлежат |
ли |
точки М, К, |
Р, Н одной плоскости? |
Опреде |
|||||||||
лить, |
как зависит вид четырехугольника МКРН от вида пирамиды DABC. |
|||||||||||||
170
2.Даны две скрещивающиеся прямые. Доказать, что есть только одна пара параллельных плоскостей, каждая из которых проходит через одну из данных прямых.
3.Лежат ли в одной плоскости середины отрезков, концы которых принад
лежат двум скрещивающимся прямым?
4.Вершина 6 -угольной пирамиды одинаково удалена от вершин ее основания. Каким свойством обладает основание высоты пирамиды?
5.Апофемы боковых граней 6 -угольной пирамиды конгруэнтны. Каким
свойством обладает основание пирамиды? Каково свойство основания |
|
высоты |
|||||||||||||||||
пирамиды? |
[ОА], |
[ОВ], [ОС] |
не лежат |
в одной |
плоскости. |
Углы |
АОВ |
||||||||||||
6 . Отрезки |
|||||||||||||||||||
и АОС острые и конгруэнтные. |
Доказать, |
что ортогональная |
проекция |
[ОА) |
на |
||||||||||||||
плоскость ВОС — биссектриса угла |
ВОС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Точка М лежит внутри пирамиды DABC. Точки Мг и М2— ортогональные |
|||||||||||||||||||
проекции М на плоскости АВС и |
BCD. |
Доказать, |
что прямые |
(MjAK) |
и (ВС) |
||||||||||||||
перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одинаково |
удаленных |
от |
|||||||
8 . Каким свойством обладает множество точек, |
|||||||||||||||||||
граней данного двугранного угла? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. Плоские углы при вершине D пирамиды DABC прямые. Доказать, что |
|||||||||||||||||||
основание О высоты [DO] пирамиды совпадает с |
точкой |
пересечения |
высот |
||||||||||||||||
треугольника АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
так, |
чтобы в |
сечении получился |
|||||||||
10. Можно ли куб пересечь плоскостью |
|||||||||||||||||||
правильный пятиугольник? |
|
проходящие |
через |
середины ребер |
треуголь |
||||||||||||||
11. Доказать, что плоскости, |
|||||||||||||||||||
ной пирамиды |
и |
перпендикулярные |
им, |
пересекаются |
в одной |
точке. |
Каково |
||||||||||||
свойство этой точки? |
0 3, 04 — центры окружностей, |
описанных |
|
около |
граней |
||||||||||||||
12. Точки |
Ох, |
0 2, |
|
||||||||||||||||
ABC, BCD, ACD, ABD пирамиды |
|
DABC. |
Через |
эти |
точки |
проходят прямые, |
|||||||||||||
перпендикулярные соответствующим |
граням |
пирамиды. |
Доказать, |
|
что |
эти |
пря |
||||||||||||
мые пересекаются в одной точке О. |
Чем служит точка О для |
пирамиды? |
граней |
||||||||||||||||
13. Доказать, |
что |
есть |
точка О, |
одинаково |
|
удаленная от |
всех |
||||||||||||
треугольной пирамиды. |
Каково |
свойство |
плоскости, |
проходящей |
через точку О |
||||||||||||||
иребро этой пирамиды?
14.Середина М высоты [DO] правильного тетраэдра DABC соединена отрез
ками с вершинами основания АВС. Доказать, что эти отрезки взаимно перпен дикулярны.
15.Доказать, что множество вершин D прямых трехгранных углов, касаю щихся данной шаровой поверхности, образуют шаровую поверхность, концен трическую данной.
16.Около какой четырехугольной призмы можно описать шар?
17.В какую треугольную призму можно вписать шар?
18.Двугранные углы при основании пирамиды равны. Можно ли в такую пирамиду вписать шар?
19.Есть ли такая правильная четырехугольная пирамида, у которой совпа дают центры вписанного и описанного шара?
20.На параллельных плоскостях лежат отрезки [АВ\ и [CD], Их концы являются вершинами некоторой пирамиды. Доказать, что ее объем не изменя
ется, если отрезки |
перемещать в этих плоскостях параллельно самим себе. |
|
||
21. Доказать, |
что биссекторная плоскость двугранного угла АВ |
пирамиды |
||
DABC делит ребро в отношении, равном отношению |
площадей граней, |
образую |
||
щих этот угол. |
|
ребер [АВ] н [CD] |
пира |
|
2 2 . Плоскость а проходит через середины М и К, |
||||
миды DABC. Найти, в каком отношении она делит объем этой пирамиды. |
ребро |
|||
23. Доказать, |
что три плоскости, каждая из которых проходит через |
|||
трехгранного угла ОАВС и перпендикулярна к противоположной грани, имеют одну общую прямую.
171