Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Гомотетия и

подобие

30. Построить треугольник АВС,

зная

угол А,

высоту

[АН]

и

отношение

| ЛС | : | /4В |.

л

31. Построить треугольник АВС,

зная

высоту

[СЯ]

и

отношение

угол А,

| ВС | : \АВ |.

геометрическую фигуру.

что

основания

Аъ

Въ Сг

высот [ААг],

Задача 1. Доказать,

[ВВх], [ССХ] треугольника АВС являются

вершинами

треугольника

A-lBiC-l, для которого высоты

треугольника

АВС есть биссектрисы

внутренних углов (рис.

88).

И *

163

прямые.

Поэтому точки

Сх н Вх

принадлежат

окружности, диа-

метром которой является отрезок [АМ].

Углы

л

л

СХАА4 и СХВХВ

равны,

потому

что

они

вписаны

в

одну

и ту

же

окружность

и опираются на дугу МСХ.

Углы

СВХМ и САХМ прямые. Поэтому точки Вх и Ах лежат на

окружности,

построенной

на

[МС],

как

на

диаметре.

Очевидно,

L ВВХАХШ L ВССХ.

треугольников

АВАХ и

СВСХ следует, что

Из прямоугольных

ВААХ= ВССХ— 90° — АВС.

Таким

образом

/

B B XC XS 2 д ВВХАХ.

В_______ Рг_

с

/

h

Р

/

\

Pi

А

Н

С

Рис.

89

Отсюда ясно, что луч [ВХВ)

является

биссектрисой

угла

СХВХАХ.

Аналогичным образом доказывается,

что

(ААХ] делит пополам

угол СХАХВХ и [СХС)

является

биссектрисой угла

ВХСХАХ.

| АВ \ =

Задача 2.

Построить

д

АВС, зная

длину

его

стороны

= с, высоты | ВН | =

h

и медианы | АМ | =

т.

можно утверждать,

Зная длину высоты

| ВН \ искомого

д

АВС,

что его вершина В принадлежит прямой

р2,

параллельной

прямой

рх и отстоящей

от

нее

на

/г (рис. 89).

Отмечаем

на

прямой рх

произвольную точку

А.

Так как |Л Б |

= с, то вершина

В

принад­

лежит также окружности

с центром в точке А

и радиусом с.

Таким

множеств — прямой р2

и окружности А {с). Попутно заметим,

что

пересечение этих двух

множеств будет непустым, если с > /г.

Нам

она будет определена, если

установим,

пересечением

каких

множеств является середина стороны [ВС], т. е. точка М.

Длина

медианы \АМ\ = т. Поэтому М

принадлежит

окружности

А (иг).

Строим прямую р. Находим М =

А (т) f| р. Точка С =

(ВМ)

П Pi-

Очевидно, что М

будет

существовать

только в том случае,

если

т О 0,5/г.

числа

решений

задачи предоставляем

читателю.

Исследование

Задача 3. Через

данную

точку

А провести окружность, пере­

секающую две данные окружности В (Ь) и С (с) под

прямым

углом

(взаимное расположение точки А

и

окружностей

показано

на

рис. 90).

окружности

пересекаются под

прямым

углом,

По определению

если касательные

к

ним в

точке

пересечения образуют

прямой

углом окружность В (b). Для этого

отметим

на окружности

В (b)

несколько

точек и проведем

через

них

касательные к

окружности

В (b). При

помощи циркуля

(методом

проб)

найдем на

этих

каса­

Обозначим \АВ\ =

т.

Пусть М — середина

[АК]

и р

проходит

через М и перпендикулярна (ЛВ).

Обозначим

Н — (АВ)(]р. Тре­

угольники

АНМ

и

АКВ

подобны.

Поэтому

|В Л ]:|Л /И | =

= \КА | : [ЛЯ |.

Отсюда

| АН | = | АМ\-\КА | : | ВА |.

Но

\АМ\ =

= 0,51АК. |. Поэтому

| АН | =

| КА |2: 2 1ВА \ = ( | ВА |а — | ВК |2): 2 | ВА | =

(1)

=

(т2— b2):2m.

Пусть

F — произвольная

точка р

и [ДД] — отрезок касательной

к окружности В (b). Докажем, что |РД | =

| ДЛ|,

т.

е.

докажем, что

окружность F (ДЛ) ортогональна окружности В (b).

Из

прямоугольного треугольника

FHA и равенства (1)

| ДЛ |2 =

| FH |2 + | НА |2 = | FH |2 +

.

(2)

Из

прямоугольных

треугольников

FPB и FHB следует

|Д Д |2 = |Д В |2 — \ВР |2 = (1ДЯ |2 + |Я В |2) — Ь- =

|Д Я |2

+ |ЛВ |

Л Я |)2 — Ь~ = |ДЯ|2 Л

т ■

о го \ 2

— Ь2 =

тш— о- \

т2 + Ь2

2т

пг

Ъ2

= | FH I2 +

— Ь2= IДЯ I2 +

(3)

2т

2т

Из равенств

(2)

и

(3)

ясно,

что

|ДЛ | =

|ДД|.

Гипотеза

доказана.

середину Е ее отрезка

[ЛЯ] проводим прямую ръ перпендикулярную

отрезку [ЛС]. Прямой

рх принадлежат

центры всех

окружностей,

проходящих через Л и ортогональных окружности

С (с). Поэтому

центр О искомой окружности есть точка

пересечения

прямых р и рг.

Упражнения

л

1.

Построить треугольник АВС,

и медиану [АМ\.

зная угол В, высоту [АН]

2.

Построить ромб

так, чтобы

две его

противоположные вершины были

в двух данных точках,

а третья — на данной окружности.

3. Даны

трн

окружности.

Две

из

них — концентрические.

Построить

окружность,

которая касается всех трех

окружностей.

треугольник

АСВ,

4.

В окружность с центром О вписать

прямоугольный

если известны острый угол А и точка К,

через которую

проходит

один

катет.

5.

В ДЛВС

сторона | АС | — наибольшая.

Доказать,

что для любой точки

М плоскости

| AM | +

I СМ | >

| ВМ \. В каких случаях

возможно равенство?

6 .

Построить треугольник АВС,

если

известны

угол

л

высота

[АН]

и ме­

А,

диана [ВМ].

что из любых

трех

из

них

можно

составить

7.

Пять отрезков таковы,

треугольник. Доказать, что хотя

бы один из них остроугольный.

8 .

Построить

ромб,

две

стороны

которого

нахо­

'

дятся

на

данных двух

параллельных

прямых

(АВ)

и

(CD),

а

другие

две

проходят

через

данные

точки

К и М.

окружность,

ее

диаметр

| АВ |

и

точка

----------------------------

9.

Дана

Cf[ AB) .

Построить

на

окружности

такие

точки

X

и

-

,.

Y, что К =

S(4B) (X)

и (КС) 1

(ХА).

10.

Построить квадрат ABCD, стороны которого

---------

---------

проходят через данные точки М,

К,

Р,

Н.

[ВС]

и

11.

В Л, АВС через середину

М

стороны

L _ _ _ J

центр

О вписанной в него окружности

проведена

пря-

мая (МО), которая пересекает высоту [АН]

в точке Е.

Рис.

91

Доказать,

что | Л £ | =

г.

построить

хорду

данной

12.

В данной окружности

длины так, чтобы

она делилась пополам данной прямой.

Д/<ДС, как

13.

Окружность, построенная на высоте

[AD]

прямоугольного

на диаметре, пересекает катет

[АВ]

в

точке

К,

а

катет

[АС] — в

точке М.

Отрезок [КМ] пересекает высоту

[AD]

в

точке

L.

Известно,

что

| AL |2 =

рая определила бы хорду данной длины.

касательную

к данной пря­

15. Данным радиусом г провести

окружность,

мой (МК) и пересекающую данную

окружность

О (R) по

хорде данной

16.

На рис. 91 изображен многоугольник, состоящий из пяти конгруэнтных

квадратов. Разделить его на

три многоугольника,

из

которых

можно сложить

прямоугольник с отношением сторон 1 ; 2 .

внутри

него произвольная

точка /VI.

17.

На плоскости дан отрезок [АВ] и

На отрезках

[AM] и [МВ] как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF,

лежащие по одну и

ту

же

сторону

от (АВ).

Окружности,

описанные около

квадратов с центрами Р и Q,

пересекаются,

кроме точки М, еще в

точке Н.

Показать, что прямые (AF) и (ВС) проходят через Н.

Доказать, что

при любом

положении М прямая (МН) проходит через одну

и ту же

точку К. Найти

множество середин отрезков [PQ], если М перемещается по отрезку [АВ].

18.

Дан

куб

ABCDA1BlC1D1.

Установить

множество середин

отрезков

[XY],

X — любая точка

отрезка [АС] и Y — любая точка отрезка [ Д ^ ] . Уста­

новить множество точек

М отрезка

[XY],

которые

удовлетворяют

соотноше­

нию | MY | =

2 | ХМ |.