Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

.

 

 

1

 

.

X

г/, = arcsin

-----—------ sin

—

\

 

У

3 - 1

2

.

 

/

---- -

1

 

. л;

Цл = п — arcsin

\

 

-------sin-pr—

 

 

У 3 — 1

2

Эти функции определены на (0; 0,53л). Функция г/4 на этом интер­ вале монотонно убывает, у3— возрастает (рис. 97,6). Отразив графики этих функций относительно прямой у — х, получаем графики функций х3 и лг4. Из построенных графиков видно, что решением системы уравнений (10), удовлетворяющих условию задачи, являются координаты только точки К, в которой пересекаются графики хл и у2.

Получаем

 

О

У ^

-тг-

Подставив

эти

значения

х и у

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в систему (10),

убеждаемся,

что

 

 

 

 

действительно

является

ее решением. Следовательно,

х =

60°, у =

90°.

 

\ АС \ — z (рис. 97, а).

С п о с о б 2.

Обозначим:

| АВ | =

х,

\ ВС | =

у,

Из треугольников АВМ и АВН

по

свойству

биссектрисы

внутрен­

него угла треугольника находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| ВМ | : | АВ | =

| МО | : | АО | =

1

:]/"3;

 

 

 

| АН | : | ВА | =

\НО\:\ВО\

=

/ У

— 1.

 

 

Отсюда получаем | ВМ | =

х :У^З;

| АН \ =

х ( |/

 

3 — 1). Из треуголь­

ника АВС находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| АН | : | СН | = | АВ | : | ВС |, | ВМ | : | СМ | = | АВ | : | АС |.

Таким образом, получаем систему уравнений

 

 

 

 

хО ^З"— 1): [2 — x(j/"3~— 1)] =

х: у,

х :{ уУ Т — х) =

х\г.

Отсюда у — хУ~3,

z = 2x.

Очевидно, х2 + У 2 — х:г.

По

теореме,

обратной теореме

Пифагора,

можно

утверждать,

что

 

Л

АВС — 90°.

После этого легко определить величину и остальных углов тре­

угольника АСВ.

Задача 3. Определить длину биссектрисы [CD] угла С треуголь­

ника АСВ, если | АС | = Ь, \ ВС \ = а, АСВ = 2а.

При решении этой задачи используем способ, который заклю­ чается в сравнении различных выражений для площади треуголь­ ника. Этот подход при решении геометрических задач составлением уравнений называют методом площадей.

Применив

к

определению площадей треугольников

ACD, DCB

и АСВ формулу

S =

0,5 ab sin

л

 

 

 

 

 

С, получаем (рис. 98):

 

 

Sacd =

0,51CD | b sin a; SDCB=

0,51CD \ a sin a;

 

 

S a c b

=

0,5 sin 2a.

Ho S a c d -h S Dcb = S

a c b -

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,51CD | b sin a +

0,51CD | a sin a = 0,5 ba sin 2a.

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I CD[\ =

2 abcos a

 

 

 

 

 

 

 

a -f b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

 

 

 

Применив различные формулы площадей треуголь­

 

 

 

ника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

Л

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

a”sin В sin С

 

S = 0,5a/in;

S =

0,5ab sin С;

S =

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin А

 

 

 

 

S = рп S = У р (р — а) (р — Ь) (р — с),

 

 

решить задачи 1—4.

 

 

 

 

зная

его стороны.

1. Определить одну из медиан треугольника,

2.

„ '

что

в

„

 

1

1

1

,

1

— .

Доказать,

любом треугольнике —

= —;— -\-

"b

3.

Площадь

треугольника

АВС

Г

"a

'^с

равна 16,

длина

медианы | Л М | = 6 ,

медианы \ВК \ =

А.

Доказать,

что эти медианы перпендикулярны.

 

4.Основанием ABCD прямой призмы ABCDA^^CiDy служит ромб со сторо­ ной а и острым углом а , высота призмы равна Ь. Определить расстояние от вершины Вг до диагонали [/^D] боковой грани ADD1Al .

5.Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а. Определить радиус сферы,

проходящей через вершины А, В,

центр грани ACD и середину ребра [ВС].

6 . В окружность вписан треугольник АВС.

Расстояния

от

точек А и С до

прямой,

касающейся окружности

в точке

В,

равны

а и

с

соответственно.

Определить высоту треугольника АВС,

проведенную из вершины В.

 

7.

В

остроугольном

треугольнике

две

высоты

равны

соответственно 3

и 2^

2 , а точка их пересечения делит третью высоту

в отношении 5:1, считая

от вершины треугольника.

Определить площадь треугольника.

равна диагонали

8 .

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD высота

основания ABCD. Через вершину

А параллельно прямой (BD)

проведена

плос­

кость,

касающаяся вписанного в

пирамиду

шара. Определить

отношение

пло­

щади сечения к площади основания пирамиды.

 

 

 

 

 

12*

179

 

§ 5. В е к т о р н о е р е ш е н и е г е о м е т р и ч е с к и х з а д а ч

Примеры решения задач векторным способом

Новая школьная программа по математике предполагает изуче­ ние учащимися восьмилетней и средней школы ряда важных по­ нятий векторной алгебры и основных свойств скалярного произве­ дения векторов. В частности, учащиеся будут знакомиться с формулой

 

ОВ =

[тОА -|- пОС],

(1)

где точки А,

В и С принадлежат одной прямой и | АВ | : | ВС \ =

п : т

(рис. 99). На

конкретных

примерах покажем, как применение век­

торной алгебры упрощает решение многих достаточно сложных задач элементарной геометрии.

Задача 1. У правильной четырехугольной пирамиды MABCD (рис. 100) все ребра равны единице. Точка К — середина бокового ребра [MD], точка Р делит ребро [ВМ\ в отношении 1 :3, считая от вершины В. Определить, в каком отношении плоскость АКР делит ребро [МС].

Пусть

X — точка встречи

плоскости

АКР с

прямой

(МС) и

I MX I : | ХС \ = х : у.

Введем в

рассмотрение

 

—►

—>

—>

векторы АВ, AD,

AM,

—>

—>

—>

—>

Так как

известны длины ребер (АВ],

[AD],

АК,

АР,

АХ,

АС.

[AM] и углы

между

ними (четырехугольник ABCD — квадрат, все

боковые

грани — равносторонние треугольники), то

некомпланарные

180

векторы АВ, AD и AM однозначно определяют пирамиду MABCD. Следовательно, через эти векторы можно однозначно выразить

векторы АК,

АР и АХ.

По

условию

задачи векторы

АК,

АР

—>

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

и АХ компланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АХ =

kAK + рАР,

 

 

(2)

где ft и р — неизвестные числа.

принадлежит

ребру МС.

Поэтому

С другой

 

стороны,

точка

X

на основании

формулы

(1)

можно записать

 

 

 

 

 

АХ =

 

 

[УAM. -|- хАС].

 

 

(3)

Но так как

| MX | +

| ХС | =

1,

то у : (х +

у) =

1—х, х : (х + у) = х.

Поэтому равенство

(3) можно записать таким образом:

 

 

 

 

 

АХ =

(1 — х) AM +

хАС.

 

 

(4)

Из равенств (2)

и (4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kAK + рАР =

(1 - х ) А М А - хАС.

—>

(5)

 

 

 

 

—>

—>

—>

 

—>

—►

Выразим теперь векторы АК,

АР и АС через векторы AM,

AD,

АВ.

Применив к векторам

—v

 

—>

—>

 

 

 

 

AM,

АК, AD формулу (1), находим

 

 

 

 

 

 

АК =

0,5 (AM + AD).

 

 

(6)

Отрезок [АС] является диагональю квадрата (параллелограмма)

ABCD. Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АС = AD + AB.

 

 

(7)

Наконец,

применив формулу (1) к векторам АВ, АР, AM, имеем

 

 

 

 

АР — 0,25 (3 АВ + AM).

 

 

(8)

Использовав равенства

(6)—(8),

приводим уравнение (5)

к виду:

k [0,5 (AM +

AD)] =

р [0,25 (3 АВ +

AM)] =

(1 — х ) А М + х (AD + АВ)

или, после приведения подобных членов,

 

 

 

 

(0,56 + 0,25р — \ + х)АМ + (0,5ft — х) AD + (0,75р — х)АВ = 0.

—>

 

—>

—>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторы AM, AD, АВ некомпланарны. Поэтому последнее равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при этих век­ торах равны нулю. Таким образом, для определения х получаем систему линейных уравнений относительно k, р, х\

0,5k + 0,2Ър — 1 х — 0; 0,5ft — х = 0; 0,75р — х = 0.

181

Смотрите также файлы