Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Отсюда следует справедливость равенства (Г).

2. Из Л ОВ1С1 и равенств (2)

и (4)

получаем: | ОВх \ = | ОСг | cos а

и cos у = cos р cos а.

Этим доказана

справедливость

равенства (А).

3. Из

равенств (1) и(3) находим sin ро= |Л 1С11: | В1А1|=

— sin

Р : sin у.

Отсюда sin р = sin ро sin у.

Равенство

(Б) доказано.

4. Из Д АХСХВЪ д ОВ1С1, Д ОВхАх следует

cos ро =

1ЯА1

| 0Вг |

tg a

tg а

\ВХАХ\

| ОВх|

tg Y

tg Y

Отсюда tg а =

cos ро tg у.

Равенство

(В)

доказано.

5.

Из равенства (Г) получаем

tg Р

( 6)

tg Ро = sin а

Оно выражает

tg

р„ через tg р и sin а. Применив это равенство для

выражения tg а0,

получим

tg а

tg ао =

(7)

sin р

Перемножим почленно равенства (6) и (7):

tg Po -tg а0 =

tg р

tg a

sin р

sin а

1

sin а

sin р

cos р sin а

cos а sin р

cos Р cos а ‘

Но

cos а

cos р = cos у

(равенство

(А).

Поэтому

tg р0

tg С10 =

1

cos у =

ctg ро ctg <х0.

cos у

Равенство (Е) доказано.

cos ро = tg а : tg у. Применив это равенств

6.

Из равенства (В)

для выражения

cos ct0

через tg р и tg у,

получаем

cos а0 =

tg р : tg у.

(8)

Из

равенства

(Б) следует

sin Ро = sin р : sin у.

(9)

Разделив

почленно равенство (9) на (8), получаем

sin Ро

_

sin р tg у

_

sin р sin у

cos р

__

cos р

cos а0

—

sin у tg р

—

sin у

cos у sin Р

—

cos у

Из

равенства

(А) находим

COS Р

_

1

поэтому

cos у

cos а ’

sin Ро

------- =>- sin Ро cos а = cos а0.

cos а0

cos а

г

1)

Рассмотрим прямоугольный трехгранный

угол

АОМВ.

У него

Л

Л

известны: ОАВ = 45° и МАО = 60э. В обозначениях теоремы:

ОАВ = а = 45°, МАО = р = 60\ МАВ

- у.

л

Поэтому для определения МАВ применим формулу (А):

cos у = cos a cos р =

cos 45° • cos 60D=

1 / 2

1

0,35; у

20°;

2)

в обозначениях

табл.

1:

л

р =

45°,

л

ОАВ =

МАО — а = 60°,

{ВАМ,

л

для

определения

л

можно

АМО) = ро. Поэтому

{ВАМ, АМО)

tg Ро = tg Р :sin а =

tg 45°: sin 60° =

1 :

Ы 8; ро^ 5 0 °;

3) {ВАМ* AMD) =

2 (ВAM,ЛАМО).

Поэтому {ВAM*AMD) ^ 2 Х

tg {Вa m !"ABO) = tg 60°: sin 45° ж 2,43;

{BAM, *ABO) 68c.

Задача 2. На рис.

106 изображена правильная шестиугольная

Л

пирамида MABCDEF. Площадь ее основания равна 12 см2; МАО — АЪ°

{О— основание высоты

пирамиды). Найти

площадь S боковой по­

достаточно найти площадь одного

из них, например, д МАВ. Но

д АВО — ортогональная проекция

д МАВ на плоскость основания

л

АОМВ, у

Л

Л

Применив к трехгран­

которого МАО = 45°,

ОАВ = 60°.

ному углу АОМВ формулу (Г),

получаем

tg ср = tg 45° : sin 60° =

= 2: УЗ.

Но

sin ср

Y

1 — cosa ф

V

tg ср

cos ср

cos ср

COS'5Ср

1.

Отсюда

1

tg2 ф =

—

— = tg2 ср +

1 = ( ~7=Л + 1 =

-L-.

— -я-------1 и

1

cos2 ср

cosср

^ ] / 3

J

3

л

д

л

функцию ADM,

ADB. Следовательно, для определения {ABD, BDM)

целесообразно применить формулу (Г):

tg {ABD,ЛBDM) = tg ADM :sin ADB; tg ADM =

= | AM | : | AD | = (10 : 2): 4 = 5: 4.

sin ADB =

| AB | : | BD | = | AB \ : V\ AB |2 + | AD |2 =

3 :5 .

Упражнения

1. Два

равнобедренных прямоугольных треугольника

ACD

и DCB конгру-

л

90°, катет [CD] — общий) и образуют между собой прямой двугранный

энтны (С =

угол. Найти: 1)

ACD);* 2) А = / ( А С В , ABD)*

3)

m = / ( D C ,

ADВ);

4) _/ (DB,

ACD); 5) /_(СВ, AD). *

2 . Два

прямоугольных треугольника ,4CD и BCD (угол

С — прямой,

катет

[CD] — общий)

образуют между собой прямой двугранный

угол,

причем

| CD I :

: 1АС | : | СВ | =

1 : 2 : 3.

Найти: 1) Л = / (ACD, ADВ); 2)

Ф =

Z

(АС, ABD).

60°; | АС | = | ВС | н | CD | =

8 .

Определить:

1) / (ЛОВ, DBC);

/ (ВС,

AD); /_(АС, BD).

2) /_(BD, ЛВС); /_(АС, ABD).

4. У прямоугольного треугольника с катетами | АС | = 3 и | ВС | = 4 гипоте­

нуза [ЛВ] лежит на плоскости

Р, которая образует с плоскостью ЛВС двугран­

ный угол 45°. Определить: 1) расстояние | СО | от точки

С до Р; 2) /_ОАВ, ко­

торый является ортогональной

проекцией /_ САВ на Р; 3) /_ АОВ — ортогональ­

ную проекцию / _ АСВ на Р;

4)

/ .(АВС, ВОС); 5) /_(АО,

ВОС);

6) /_(АО, ВС).

5. Два прямоугольных

треугольника DCА и DCB имеют общий катет [DC]

А

Л

Л

(вершины прямых углов С совпадают); BAD = 45°; CAD = 30°; CBD = 45°. Опре­

делить /_(ACD, BCD).

6 . Два прямоугольных равнобедренных треугольника ОСА и СОВ имеют об­

щий катет [CD] (вершины их

прямых углов

не совпадают) и

образуют между

собой двугранный угол 60°. Определить:

1) /_ (AD, CDB);

2 )/ C D X —ортогональ­

ную проекцию / _ CDA

на плоскость CDB; 3)

/ _ BDA; 4) /_{СВ,

DA).

7. Боковое ребро

[DA] правильной

пирамиды DABC в два

раза больше ее

высоты DO. Найти двугранный угол X

при основании пирамиды.

ника i4BC ([АВ] — его

гипотенуза); СЛС0 = а , С0ВС = р. Установить зависимость

между а,

А

р, ф = (АВСв, АВС).

1 2 .

Площадь

основания АВС правильной пирамиды DABC равна М. Уг