Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

16.Дан куб ADX с ребром 1. Найти площадь сечения куба плоскостью, про­ ходящей через А и середины К и М ребер [BjCJ и [C1D1],

17.В правильной пирамиде EABCD через вершину А основания ABCD про­

ведена плоскость, перпендикулярная ребру [СВ]. Найти площадь X сечения АМНК, если диагональ основания пирамиды равна а. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ф (ф >45°).

18. В правильной пирамиде EABCD угол при основании равен а . Через ребро [АВ] основания проведена плоскость под углом ф к нему. Найти площадь

мым (АСХ) и (BD).

21.В основании пирамиды DABC — равнобедренный треугольник ЛВС с вы­ сотой Ь. Боковая грань ABD — равнобедренный треугольник с высотой с и осно­ ванием а — перпендикулярна основанию. Плоскость Р параллельна [АВ) и пере­ секает (AD) в точке М ( | AM | : | AD | = ft) и [АС) в точке Е ( | АЕ | : [ АС \ = р). Установить форму сечения EMXY как функцию k и р. Найти площадь этого се­ чения. При каком значении ft и р сечением пирамиды будет квадрат?

22.Сторона АВ основания правильной пирамиды MABCDEF равна а, апо­

AxA2D).

24.У пирамиды DABC все плоские углы с вершинами в точках Л и В рав­

и центр О грани CCjDjD проходит плоскость П. Найти отношение, в котором П делит объем куба. Существует ли такое значение ft, при котором полученные части куба равновелики?

26. Плоскость П, проходящая через ребро [ЛВ] правильного тетраэдра ABCD, делит его объем в отношении ft. Найти углы х и у, на которые разделился угол ЛВ. Установить зависимость между х и у, при которой ft = 0,6.

27. Дана правильная пирамида MABCD. Сторона [СП] основания продолжена на [PD] ( | PD | = ft | CD | или | PC | = (ft + 1) | CD \ ). Через Р, В и середину В ребра [Л4С] проведена плоскость П. Найти отношение объемов частей пирамиды, на которые ее разделила плоскость П. При каком значении ft эти части равно­ велики?

28. В основании пирамиды DABC лежит правильный треугольник ЛВС со стороной о; / _ (ЛВС, ABD) = а , / (ЛВС, BCD) = р, _/(АВС, ACD) — у. Найти объем пирамиды.

29. Дана пирамида ABCD; ]ЛВ| = 2, | CD| = 4. Расстояние между прямыми

191

(АВ) и (CD) равно 6 ; /_(АВ, CD) = 60°. Пирамида рассечена плоскостью Р, кото­ рая параллельна (АВ) и (CD) н одинаково отстоит от них. В каком отношении Р делит объем пирамиды?

30.В конус вписано два шара так, что они касаются друг друга и боковой поверхности конуса. Центры их лежат на оси конуса и больший шар касается его основания. Найти объем конуса, если радиусы шаров равны 20 и 35 мм.

31.В куб ADx с ребром а вписан шар. Найти радиус другого шара, касаю­ щегося трех граней куба и первого шара.

32.В усеченный конус с радиусами оснований а и b вписан шар. Найти радиус второго шара, который касается первого, боковой поверхности и верхнего основания конуса.

33.Внутри сферы S расположены четыре шара радиуса 10 мм. Каждый из

призмы. На этих шарах лежит четвертый шар Ш, который касается боковых граней и верхнего основания призмы. Найти высоту h призмы.

36.Через сторону АВ основания АВС правильной пирамиды DABC и центр О вписанного в нее шара проведена плоскость П. В каком отношении плоскость П делит объем пирамиды, если боковое ребро наклонено к АВС под углом а? Есть ли такое значение а , при котором полученные части пирамиды равновелики?

37.Даны три одинаковых конуса с прямым углом в осевом сечении и ради­ усом основания 20 мм. Основания конусов лежат в одной плоскости и попарно касаются внешним образом. Найти радиус R сферы, касающейся всех трех кону­ сов и плоскости, проходящей через их вершины.

38.Конус имеет радиус основания b и угол а в осевом сечении. Два оди­

наковых шара радиуса а касаются друг друга, боковой поверхности конуса (извне) и плоскости основания конуса. Найти площадь треугольника, вершинами которого служат центры шаров и центр основания конуса.

42.Угол между образующей ОА конуса и его высотой ОН равен а . Найти угол х между образующими ОА и ОВ, если плоскости, касающиеся конуса по этим образующим, перпендикулярны.

43.Два конгруэнтных конуса имеют общую вершину О и касаются по общей образующей. Угол осевого сечения равен 2а. Найти угол х между двумя плос­

костями, которые касаются обоих конусов и проходят через О.

перпендикулярно р. Вычислить объем тела, полученного при вращении треуголь­ ника АВС.

45. Из конца А диаметра [АВ] шара проведена хорда [АС] так, что поверх­ ность, образуемая вращением ее вокруг этого диаметра, делит объем шара на две равновеликие части. Определить угол между хордой и диаметром.

192

46.В конус вписан шар. Отношение их объемов равно к. Найти отношение полной поверхности конуса к поверхности шара. Определить допустимые значе­ ния к.

47.Правильный тетраэдр DABC помещен внутри шара радиуса а так, что три

лежит внутри пирамиды на ее высоте [ВТ] на расстоянии г У 3 от вершины. До­ казать, что пирамида правильная. Найти высоту пирамиды.

50. Дана правильная пирамида DABC (D — вершина) со стороной основания а и боковым ребром 6 (6 > а ) . Сфера лежит над плоскостью основания АВС, ка­ сается этой плоскости в точке А и касается бокового ребра [DB]. Найти радиус этой сферы.

51.Дан тетраэдр (ие обязательно правильный), все грани которого равно­ велики между собой. Доказать, что центры вписанного в него и описанного около него шаров совпадают.

52.Четырехугольная пирамида MABCD (четырехугольник ABCD — ее осно­

вание, [МН] — ее высота) обладает одним из следующих свойств:

1.Около пирамиды можно описать сферу.

2.В пирамиду можно вписать сферу.

3. Точка Я = [ЛС] П [SO] и Я — центр симметрии четырехугольника ABCD.

4.Всякое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через МН, является равнобедренным треугольником.

5.Все ребра пирамиды конгруэнтны.

10.Четырехугольник ABCD — прямоугольник и Н — середина [ЛВ].

11.Плоскость MBD является плоскостью симметрии пирамиды.

12.Пирамида имеет две плоскости симметрии.

13.(МН) — ось вращения пирамиды.

Какое из этих свойств пирамиды является следствием одного из остальных

еесвойств?

53.Четырехугольная призма ABCDA^B^iDx ([ЛЯ] || [ВС]) обладает одним из следующих свойств:

1.Около призмы можно описать сферу.

2.В призму можно вписать сферу.

3.Все грани призмы конгруэнтны.

4.Призма является параллелепипедом.

5.Основанием призмы является ромб.

9.Призма является прямоугольным параллелепипедом.

10.В призму можно вписать сферу и около нее можно описать сферу (центры

этих сфер совпадают).

11.Все грани призмы равновелики.

12.Все диагонали призмы конгруэнтны.

13.Призма имеет три плоскости симметрии.

14.Призма является кубом.

15.Призма является правильной призмой.

16.Все ребра призмы конгруэнтны.

17.Призма имеет три оси вращения.

18.Суммы трех плоских углов при всех вершинах призмы одинаковы. Какое из этих свойств призмы является следствием одного из остальных ее

свойств?

§ 8 . Об и с с л е д о в а н и и р е ш е н и й з а д а ч

О решении задач с параметрами

Решение задачи, содержащей параметры, заключается не только в том, чтобы найти величину искомого элемента геометрической фигуры, но и в установлении тех значений параметров, при которых она имеет решение.

ВАС = 2а. Все боковые ребра пирамиды равны между собой; DAC = fi. Определить длину \AD\.

Боковые ребра пирамиды равны. Поэтому основанием высоты этой пирамиды является центр О окружности, описанной около тре­ угольника АВС (рис. 108). Треугольник АВС равнобедренный. Сле­

194

описанной вокруг треугольника АВС. Поэтому \АО\ = |5 С |: 2 sin 2 а= = а : 2 sin 2а. Угол х найдем из прямоугольного трехграиного угла

AODC (по формуле (Л)), (с. 186):

Так как для острых углов а и р дробь

а

4 sin а cos р

положительна, то многие из решающих эту задачу считают, что никаких дополнительных условий на углы а и р накладывать не нужно. Предварительно выполненное исследование позволяет избе­ жать этой ошибки.

Упражнения

Используя формулы (А) — (Е) с. 186, установить, при каких значениях параметров задачи имеют решения (не решая эти задачи).

1. Определить полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а угол, образованный боковым ребром со стороной основания, равен ф.

2.Боковые ребра треугольной пирамиды равны между собой и каждое из них равно а. Плоские углы при вершине пирамиды равны а, р, у. Определить объем пирамиды.

3.Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно а, двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями равен а.

4.Две боковые грани треугольной пирамиды образуют между собой угол ф

иявляются равными прямоугольными треугольниками, общий катет которых ра­ вен а, гипотенуза с. Определить объем пирамиды.

5.Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью осно­

рого равна а. Два боковых ребра пирамиды составляют с плоскостью основания

проведена плоскость, перпендикулярная плоскости противоположной боковой грани и пересекающая ее ребра. Найти площадь сечения.