Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Упражнения к гл. 6

Комбинаторные и логические задачи

1.Доказать, что нельзя провести прямую так, чтобы она пересекала все стороны 1001-угольника.

2.В плоскости даны пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что среди этих точек существуют четыре такие, которые яв­ ляются вершинами выпуклого четырехугольника.

3.В плоскости даны п > 4 точек, причем никакие три не лежат на одной

прямой. Доказать, что можно найти не менее С^ _ 3 выпуклых четырехугольников

PjPk (i ф к) окрашен в черный или белый цвет. Доказать, что существует хотя бы одни треугольник P/P^Pi, стороны которого были бы одного цвета.

5. Пусть на плоскости даны 4000 точек таких, что никакие три из них не лежат на одной и той же прямой. Доказать, что в этом случае можно нарисо­ вать на плоскости 1000 четырехугольников, не имеющих общих точек, но чтобы их вершинами были бы данные точки.

6 . На плоскости даны шесть точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что среди них есть три точки, которые образуют тре­ угольник с утлом, не меньшим 120°.

7. Нетрудно покрыть 64 поля шахматной доски 32 костяшками домино так, чтобы каждая костяшка покрывала два поля (если, конечно, размеры полей и размеры костяшек соответствуют друг другу). Можно ли покрыть 62 поля шах­ матной доски 31 костью так, чтобы свободнымы остались два противоположных угловых поля доски?

8 . Известно, что шесть кругов имеют общую точку. Доказать, что хотя бы один из них содержит центр некоторого другого круга.

9.Можно раскрасить грани куба либо в белый цвет, либо все в черный цвет, либо часть в белый, а часть в черный. Сколько существует различных способов окраски? (Два куба считаются раскрашенными различно, если их нельзя перепутать, как бы они ни переворачивались.)

10.Доказать, что шахматную доску из 10x10 клеток нельзя полностью за­ крыть без перекрытий фигурами, изображенными на рис. 109. (Класть эти фигуры

надо так, чтобы каждая из четырех нарисованных клеток закрыла одно из полей доски; величина клетки такая же, как и величина поля.)

11.На какое наименьшее число тетраэдров можно разбить куб?

12.На плоскости даны пять точек. Среди прямых, проходящих через эти пять точек, нет параллельных, перпендикулярных и совпадающих. Через каждую точку проведены перпендикуляры ко всем прямым, проходящим через остальные точки. Каково максимальное число точек пересечения этих перпендикуляров между собой, не считая данные пять точек?

одной прямой. Каждые две из этих точек соединены друг с другом либо красным,

196

либо синим отрезком так, что никакие три из этих отрезков не образуют тре­ угольника одного цвета. 1. Доказать, что: а) из каждой точки выходит ровно два красных и два синих отрезка; б) красные отрезки образуют замкнутую лома­ ную линию, которая содержит все пять заданных точек (точно так же синие от­ резки). 2. Показать, каким способом нужно соединить пять точек красными и синими отрезками, чтобы были выполнены условия задачи.

17. На доске размером 4x100 квадратиков положено столько прямоугол ных костяшек, что каждая нз них целиком покрывает ровно две клетки, никакие две не перекрываются и ни один квадратик не остается свободным. Доказать, что при этом можно распилить доску по одной из нанесенных на нее продольных или поперечных прямых, не сдвигая с места и не распиливая ни одной костяшки.

залось ровно 100 двадцатпугольников?

Задачи на развитие пространственного воображения *

21.Построить развертку куба так, чтобы она имела четыре оси симметрии.

22.На рис. 110 дана часть развертки куба (три его боковые грани и части верхнего и нижнего оснований). Построить полную развертку этого куба.

23.Построить развертку куба так, чтобы она была двенадцатиугольником.

24.На рис. 111 дана развертка куба. Построить новую развертку этого куба так, чтобы отрезки [ХЕ], [АВ] и [CD] были частями контура новой развертки.

25.На сколько частей распадается поверхность многогранника (рис. 112),

если разрезать ее по отрезкам [ЕМ], [СЯ], [ED], [ПЯ], [Д4С], [ВС], [ЛЯ], [АВ]? 26. Можно ли поверхность фигуры (рис. 113) развернуть в развертку, раз­ резав ее по отрезкам [АВ], [Р Х ], [КА], [СА'], [DM]? Если нет, то сколько и

каких еще разрезов для этого следует выполнить?

27. Муха движется по поверхности куба АВСОАфхСфх и проходит через все его вершины только один раз. Построить путь наименьшей длины: 1) если

* Основное назначение задач, помещенных в этом пункте,— это развитие пространственного воображения учащихся, обогащение их пространственных пред­ ставлений и развитие логического мышления. Систематическое решение таких за­ дач развивает конструктивные и комбинаторные способности, умение выполнять в воображении сложные пространственные перемещения фигур.

197

Муха движется из вершины А в £>; 2) из вершины А в Л,; 3) из вершимы Л в £>х,

28.Каждая грань куба заклеивается двумя конгруэнтными прямоугольными треугольниками, из которых один белый, другой черный. Расположить эти тре­ угольники так, чтобы при каждой вершине сумма белых углов была равна сумме черных углов.

29.Каждая грань куба заклеивается четырьмя конгруэнтными прямоуголь­ ными равнобедренными треугольниками, из которых один белый, второй черный,

третий красный, четвертый синий. Расположить эти треугольники так, чтобы

М

при каждой вершине куба было одинаковое число белых, черных, красных и синих углов.

30.На рис. 114 дана развертка правильной пирамиды. Некоторые части ее заштрихованы. На рис. 115 изображены правильные пирамиды. Разверткой каких из них может быть фигура, данная на рис. 114?

31.На рис. 116 дана развертка куба. На рис. 117 изображены одинаковые

по величине кубы. Разверткой каких из них может быть фигура, данная на рис. 116?

32.На рис. 118 дана развертка куба. Одна из ее граней и части двух других граней закрашены. На рис. 119 изображены кубы. Разверткой каких из них мо­ жет быть фигура, данная на рис. 118?

33.На рис. 120 изображено по три развертки двух различно раскрашенных кубов. Найти развертки каждого из этих кубов.

198

34. Построить такую развертку правильной пирамиды (рис. 121), чтобы з штрихованная часть поверхности пирамиды на развертке состояла нз двух цен­ трально-симметричных фигур.

. 35. Построить развертку куба (рис. 122), разрезав его поверхность по от^ резкам [АВ], [ВС], [AAJ, [Л А 1 , [Л А 1, [Л А ].

199

Ш у/

Рис. 123

Ри с. 129

3G. На рис. 123 дано изображение куба (часть его поверхности заштрихо­ вана). Построить развертку этого куба н заштриховать те ее части, которые заштрихованы на изображении куба.

Рис. 130

38.Построить развертку фигуры, показанной на рис. 124.

39.Даны две части развертки куба (рис. 125). Построить на его изобра­ жении отрезки, разрезав по которым поверхность, мы сможем развернуть ее в данные фигуры.

40. На рис. 126 дана развертка куба. Построить изображение этого куба

изаштриховать те части его поверхности, которые заштрихованы на развертке.

41.Дана развертка многогранника (рис. 127). Построить на его изображении отрезки, по которым следует разрезать поверхность, чтобы ее можно было раз­ вернуть в данную развертку.

42.Дана развертка многогранника (рис. 128). Построить его изображение.

43.На рис. 129 даны изображение куба и его развертки. Заштриховать те части этих разверток, которые заштрихованы на изображении куба.

202

44. На рис. 130 даны изображения четырех одинаковых кубов (их грани частично заштрихованы). Найти среди этих четырех кубов три с одинаково за­ штрихованными гранями и построить их развертку.

45. На рис. 131 показан один и тот же куб (на рисунке видны только три его грани). Построить развертку этого куба и на ней изображенные на его гра­ нях фигуры.

«Нестандартные» задачи*

46. а) Доказать, что к конечному множеству точек на плоскости, обладаю­ щему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершина­ ми невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить еще одну точку, что это свойство сохранится, б) Справедливо ли аналогичное утвер­ ждение для бесконечного множества точек на плоскости?

47. Лист клетчатой бумаги размером п Х п клеток раскрасили в п цветов (каждую клетку закрасили в один из цветов или не закрасили вообще). Правиль­ ной называется раскраска, при которой в каждой строке и в каждом столбце нет двух клеток одного цвета. Всегда ли можно «докрасить» весь лист правильно, если первоначально правильно была закрашена п2— 1 клетка?

48.Доказать, что из любого выпуклого равностороннего (но не обязательно правильного) пятиугольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороной пятиугольника.

49.Доказать, что ие существует многогранника, у которого к каждой вершине

ик каждой грани примыкает не менее чем по четыре ребра.

* Эти задачи и решении к ним рзяты из журнала «Квант»,

50. На доске была начерчена трапеция; в ней проведена средняя линия [EF] и опущен перпендикуляр [0/<] из точки О пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам [EF] н [О/С]?

51.Множество на плоскости, состоящее из конечного числа точек, обладает следующим свойством: для любых двух точек А и В множества найдется точка С множества такая, что треугольник АВС равносторонний. Сколько точек может со­ держать такое множество?

52.Можно лп из 18 плиток размером 1X2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соединяющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток?

53.На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток выкрашено в черный цвет. Доказать, что из листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполнены два условия: 1) все черные клетки будут лежать в вырезанных

54.На плоскости даны две точки Л и В и прямая I, проходящая через точку А. Через точки А и В проводится произвольная окружность. Пусть О — ее центр, С— точка ее пересечения с прямой /, отличная от А. Найти множество середин отрез­ ков [ОС], если Вф1.

55.Можно ли разбить правильный треугольник на миллион выпуклых много­ угольников так, чтобы любая прямая пересекала не более сорока нз этих много­ угольников? (Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет

сним хотя бы одну общую точку.)

56.Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба /IBCD/liBiCiDi с ребром 10 см? (Проволока мо­ жет проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать ее нельзя.)

57.Два равных прямоугольника расположены так, что их контуры пересе­ каются в восьми точках. Доказать, что площадь общей части этих прямоугольни­ ков больше половины площади каждого из них.

58.Каждая нз девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Доказать, что по крайней мере три нз этих девяти прямых проходят через одну точку.

59.Доказать, что N точек плоскости всегда можно покрыть несколькими иепересекающимпся кругами, сумма длин диаметров которых меньше N и расстоя­ ние между любыми двумя из которых больше единицы. (Под расстоянием между двумя кругами понимается расстояние между их ближайшими точками.)

60.Каждая сторона правильного треугольника разбита на п конгруэнтных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В ре­ зультате этого треугольник разбился на п2 маленьких треугольников. Назовем «цепочкой» последовательность треугольников, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково

наибольшее число треугольников в цепочке?

61.Около сферы радиуса 10 описан некоторый девятнадцатиграииик. Дока­ зать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 2 1 .

62.Доказать, что на плоскости нельзя расположить семь прямых и семь то­ чек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки.

63.В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Доказать, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше лк,

204