Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
21 |
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
сходимости эквивалентны. Однако, если пространство бесконеч номерно, то мы можем лишь утверждать, что любая сильно схо дящаяся последовательность сходится и слабо. Обратное утвер ждение имеет место лишь в некоторых бесконечномерных про странствах.
Слабая сходимость используется при построении приближен ных решений некорректно поставленных задач, что связано со следующим определением.
Определение 1.25. Множество Т в линейном нормированном пространстве Е называется слабо компактным, если из любой бесконечной последовательности элементов х\ ,. . ., хп , . .. этого множества можно выделить слабо сходящуюся подпоследова тельность Хщ , . . ., xnk .
Теорема 1.1 [1.13]. Если линейное нормированное простран ство сепарабельно, то любой шар в сопряженном пространстве Е* слабо компактен.
Таким образом, из теоремы следует, что построение слабо компактных множеств в сепарабельных пространствах может быть осуществлено элементарными методами.
Пространство Е* является банаховым пространством, следо вательно, можно ввести понятие пространства (£*)*, сопряжен ного к Е*.
Определение 1.26. Банахово пространство В называется реф лексивным, если оно совпадает с пространством (В*)*.
Конечномерное пространство, а также пространства 1Р, Lp(a,b) при р > 1 и все гильбертовы пространства рефлексивны. В гильбертовом пространстве понятие слабой сходимости фор мулируется особенно просто.
Последовательность элементов {xn}cz Н слабо сходится к элементу х е Я , если (хп, г/)->(х, у) для любого i/е Я . Отсюда и из рефлексивности гильбертова пространства вытекает, что из любого ограниченного по норме множества элементов простран ства Н можно выделить слабо сходящуюся последовательность.
Ниже, по аналогии с гильбертовым пространством, мы будем пользоваться обозначением < х , /> для значения линейного функционала f<=E* на элементе х е £ .
1.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ1
Определение 1.27. Если каждому элементу х множества D про странства X поставлен в соответствие некоторый элемент у = А х из пространства У, то говорят, что на D задан оператор А со значением в У. Множество D ( A ) = D называется областью опре-
1 Излагается по работам [1.1, 1.9, 1.18, 1.28, 1.37].
ГЛАВА I |
22 |
деления оператора Л, а |
совокупность R(A) всех элементов у |
из У вида у = А х (xeZ)) |
называется областью значения опера |
тора А. |
|
Из этого определения ясно, что функционал является част ным случаем оператора, когда пространство У представляет собой действительную ось. В любом линейном пространстве имеется тождественный или единичный оператор /, ставящий элементу х в соответствие сам этот элемент: /х = х.
Определение 1.28. Оператор А называется непрерывным ли нейным оператором, действующим из линейного метрического пространства X в линейное метрическое пространство У, если
1. А линеен, т. е.
а) D(A) — линейное подпространство;
б) A (|3Xi+ Xx2) = ($Axi + XAx2) — для любых Xu Х2^D(A) и
любых действительных чисел [3 и X.
2. А непрерывен, т. е. для любой точки х0еО (Л ) и произ вольного числа в> 0 найдется число 5>0 такое, что ру(Лх, Лх0)< е для всякой точки x^D(A) и удовлетворяющей неравенству рх(х, х0)< 6 . Здесь ру и р х — метрики в простран ствах У и X соответственно.
Определение 1.29. Линейный оператор Л, действующий из нормированного пространства Е в нормированное пространство F, называется ограниченным, если ЦЛхЦр^сЦхЦд, причем вели чина с не зависит от выбора
Наименьшая из постоянных с, удовлетворяющих этому нера венству, называется нормой оператора Л и обозначается ||Л||.
\\А\\= sup — |
IHH-E |
— ~ |
SUP |
X(= E |
Ы |
Е = 1 |
Это определение является прямым обобщением определения 1.22 нормы линейного функционала, поэтому ограниченные ли нейные функционалы представляют собой простейший пример ограниченных операторов.
Между понятиями ограниченности и непрерывности линей ных операторов существует тесная связь.
Теорема 1.2 [1.13]. Для того чтобы линейный оператор, дей ствующий из Е в F, был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы он был непрерывен.
Рассмотрим пространство всех линейных операторов. В этом пространстве можно ввести понятие сходимости последователь ности операторов.
Определение 1.30. Последовательность ограниченных опера торов {Ап}, действующих из нормированного пространства Е в
23 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
нормированное пространство F, сходится к линейному опера тору А из Е в F:
1) |
по норме, если lim ||Л—ЛП|= 0; |
|
2) |
сильно, |
71-»сО |
если lim \\Ах — Апх\\Р= 0 для всех х е £ ; |
||
3) |
слабо, |
п —*оо |
если при любом х е £ последовательность {Апх} |
||
слабо сходится к Ах.
Очевидно, что из сходимости по норме следует сильная схо димость, а из сильной — слабая. Обратные утверждения не всегда имеют место.
Если линейные операторы A t и А2 действуют в одном и том же нормированном пространстве Е, то для них вводится опера ция умножения по правилу Л =Л 1Л2, если Л х=Л 1Х (Л 2х).
В общем случае Л1Л2=Л=Л2ЛЬ т. е. умножение операторов некоммутативно. Имеет место неравенство
1!Л1Л2|!^ЦЛ1!М|Л2||. (1.7)
При решении операторных уравнений фундаментальное зна чение имеет понятие обратного оператора.
Определение 1.31. Если оператор Л действует из простран ства Е в пространство F и существует оператор из F в Е та кой, что для всех х е £ и у е £ имеют место соотношения:
А~1А х = х , АА-^у— у, |
(1.8) |
то операторы А и А~1 называются взаимно-обратными. Используя определение единичного оператора из (1.8), по
лучим Л-1 Л= ЛЛ~1= /.
Допустим, что пространства Е и F нормированы, и рассмот рим ограниченный линейный оператор Л, действующий из Е в F,
и линейный функционал g(y) = < y , g > , |
y^F, g^F*, опреде |
ленный на F. Допустим, что у=Ах, хеЯ . Тогда |
|
g ( y ) = < A x , g > = f ( x ) = < x , f y , |
f<=E*. |
Это равенство ставит в соответствие каждому линейному функ
ционалу g^F* |
некоторый линейный функционал f^E*. |
|||||
Определение |
|
1.32. Оператор Л*, определяемый равенством |
||||
<Ах, |
g > = <x, |
f> = < x, |
A*g>, |
называется оператором, |
сопря |
|
женным к оператору Л. |
Если оператор Л действует из £ в £* |
|||||
и для |
любых |
х, у ^ Е |
имеет |
место равенство <х, |
А у > = |
|
= <у , |
Ах >, то оператор Л называется симметрическим. |
||Л||= |
||||
Сопряженный |
оператор линеен и ограничен, причем |
|||||
= |(Л*[| и (Л*)—1= |
(А~1)* тогда и только тогда, когда Л-1 сущест |
|||||
вует.
В гильбертовом пространстве Н сопряженный оператор вво дится при помощи скалярного произведения (Ах, у) — (х. А*у) ,
ГЛАВА I |
24 |
x,yi=H. Симметрический оператор в данном случае определя ется условием (Ах, у) = (х, Ау) — (Ау, х) и называется самосо пряженным. Очевидно, что для самосопряженного оператора А выполняется тождество А=А*.
Определение 1.33. Линейный оператор, действующий из ба нахова пространства В в банахово пространство С, называется вполне непрерывным, или компактным, если он преобразует всякое ограниченное множество пространства В в компактное множество пространства С.
Из полной непрерывности линейного оператора вытекает его непрерывность. Обратное утверждение в общем случае места не имеет. В частности, единичный оператор / непрерывен, но не компактен, если В бесконечномерно.
Теорема 1.3 [1.13]. Справедливы следующие утверждения:
1)линейная комбинация компактных операторов является компактным оператором;
2)произведение компактного и ограниченного операторов есть компактный оператор;
3) оператор, сопряженный к компактному, компактен;
4) предел последовательности компактных операторов, схо дящихся по норме, есть компактный оператор;
5) оператор, обратный компактному, не ограничен. Сформулированная теорема определяет основные свойства
вполне непрерывных операторов, используемые при изложении методов решения задачи идентификации. Особенно важным яв ляется пятое утверждение теоремы, которое, как увидим далее, существенно усложняет алгоритм нахождения оператора, обрат ного компактному.
Среди самосопряженных операторов наиболее простую структуру имеют проекционные операторы.
Теорема 1.4 [1.13]. Если L является подпространством Я, то любой элемент х е Я единственным образом может быть пред ставлен в виде
x = y + z , |
(1.9) |
где y^L, Z-LL (определение 1.18). |
(1.9) называется |
Определение 1.34. Элемент у из формулы |
проекцией х на L, а оператор PL, ставящий в соответствие каж дому элементу х его проекцию у на L : y = PLx, называется опе ратором ортогонального проектирования, или ортопроектором.
Проекционный оператор обладает следующими свойствами:
1)P*l = Pl ^ P l2-,
2)||PJI = 1;
3) P lP m = 0 в том и только в том случае, когда простран ство М является ортогональным дополнением к пространству L; подобные операторы называются ортогональными: