Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В этом случае характеристика будет криволинейной (рис. 16, а). Разлагая ее в ряд Маклорена и сохраняя первые четыре члена раз­

ложения, имеем R

(х) = б0 + ах + ух2

Р*3> х > 0, б0 >

0, 7 >

> 0, х <С 0, б0 <

0, у <. 0. Подставляя это выражение в формулу

(1.21), получаем амплитудную функцию (рис. 16, б):

 

f(x)

= У 280х + ах* + -|" У** + -Т Р ^

<L76)

К такому же результату приводит выражение (1.22). Подставляя равенство (1.76) в формулу (1.19), находим решение для стационар­ ных колебаний:

У (2 60 +

ах + -§- ух- + 4 - Р*°) * =

- g ^ j r

cos at.

Полагая здесь х =

\ ± А [ и cos at

=

± 1 , получаем уравнение амп­

литудно-частотной

характеристики

 

 

 

 

со2 = 0 а

±

Q

F

 

(1.77)

 

] / ( 2 б 0 + аА + - | - Y / l 2

+ 4 " РЛ З )

л

Частота свободных колебаний в этом случаг определяется путем

подбора по

формуле

 

 

 

 

 

 

9

-

 

 

.

а.78)

где

3 р (л 1 М2 1- 3

 

(Л I 7 1

д - 1

Р 6 *

 

 

8Р

/

6,

У8 .

 

 

 

8а.

 

 

 

 

п =

3 Р

"

is

р

 

е

 

К + ) / « . + - И * + + ) ' - - * - '

Здесь использованы обозначения (1.55). На рис. 17 приведены амп­

литудно-частотные

характеристики,

построенные по формулам

(1.77) — (1.79) при

а = 1 сект2, 6„ = 0,074

• сект-2,

6* = 0,

у = \ cm • сект2, р" =

1 е ж - 2 • се/с- 2 .

 

массы т,

 

Далее рассмотрим

стационарные

колебания

располо­

женной между линейно деформируемыми пружинами с зазорами aQ (рис. 18). Допустим, что на массу т действует пульсирующая сила. Тогда колебания массы без учета сопротивлений будут описываться уравнениями х + R (х) — F cos at при — ай> х> а0 и х — = F cos at при — а„ •< х <: Ор. При этом характеристика (рис. 19, а) будет

R(x) = ax~80,

х>а0,

б 0 > 0 , х < — а0 , б 0 < 0 ;

^ 8 0 ^

#(лг) = 0, — а0 <

х <

а0 ,

 

2 8

где б0 = аа0. Характеристика (1.80) совпадает с (1.72), если изме­ нить знак б0 . Учитывая это обстоятельство и используя выражение (1.73), получаем амплитудную функцию (рис. 19, б):

f(x) = V(x — 2a0)ax, х>а0, б 0 > 0 , х<—а0,

б 0 < 0 . (1.81)

0,4

0,6

1,2.

1,6

 

о,се/гг

 

Рис. 17. Амплитудно-частотные

харак­

Рис. 18. Схема осциллятора с люф-

теристики

осциллятора

с

предвари­

тами.

тельно сжатыми

нелинейными

пружи­

 

нами для различных F, см •

сек~2.

 

Заменяя в формуле (1.74) 6d на аа0, получаем уравнение амплитудно-

частотной

характеристики

 

 

 

 

0)2 = е2 ±

QF

.

(1.82)

 

 

УаА{А-2а0)

 

 

Заметим,

что формула (1.82)

справедлива

при

условии А > а^.

Но действительные значения со получаются, как видно из формулы

(1.82), только

для

 

А>2ай.

 

 

 

В то же время из физических

 

 

 

соображений

ясно,

что для

о(а0

 

с

со = 0

(случай

статического

 

 

воздействия)

независимо от F

/° -сСд

 

люфт выбирается и амплитуд­

 

 

но-частотные

характеристики

а.

 

 

должны

начинаться

с

точки

 

 

Рис. 19. Параметры осциллятора

с люф-

А =

Oq.

Этому

условию фор­

мула

(1.82) не

удовлетворяет

тами:

 

 

а — характеристика; б — амплитудная

ф у н к -

и, следовательно,

она

дает

ция.

 

 

неустойчивые левые ветви ам­

 

 

 

плитудных кривых. Это условие будет удовлетворено, если

в

урав­

нении

(1.82)

вместо

абсолютного значения амплитуды принимать

максимальное отрицательное значение.

Тогда

(1.82) принимает вид

со2 = 92 ± . Q F

.

(1.82')

Входящую в формулы (1.82) и (1.82') частоту свободных колебаний

можно определить по известной

[13, 49] формуле

 

6 =

^ 2а„ .

(1.83)

1 +

 

 

29

Если х <; Of), то справедливо уравнение х = F cos coi, решение кото­

рого

при начальных

условиях х (0) =

0, х (0) =

0 имеет

вид л; =

= —

(1 — cos (at). Полагая здесь х =

\ ±А \ и cos at = ±

1, полу­

о с и

 

 

в~а

 

 

. .. .

 

 

 

/ /М V

1 1

 

 

3

 

'Ж

]

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1 \

 

 

 

 

 

/'Л

 

 

^

\

 

 

 

 

2

 

 

 

1 "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

^0,2.5

 

 

1

. 9,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о^5~^-

 

 

0

 

0,4

0,5

0,8

1,0

1,2 a,cetr1-

 

0,1

 

 

Рис. 20. Амплитудно-частотные характеристики осциллятора с люф­

 

тами без трения для различных

F, см • с е к - 2 .

 

 

чаем

уравнение

амплитудно-частотной

характеристики 1

 

 

 

 

и = УЦ-,А<а0.

 

(1.84)

На рис. 20 приведены амплитудно-частотные

характеристики,

построенные по формулам (1.82) — (1.84) при а„ =

1 см, а = 1 сект2.

§ 2. Колебания при вязком трении

Симметричные характеристики. Рассмотрим стацио­ нарные вынужденные колебания нелинейной системы, описываемые следующим уравнением [17]:

х (f) + 2пх (/) + R (х) = F cos wt,

(1.85)

где R (х) — симметричная упругая характеристика; п — малый ко­ эффициент затухания (п <^ 1). В соответствии с идеей метода пере­ менного масштаба [13] преобразуем уравнение (1.85) к виду (1.2). С этой целью воспользуемся соотношениями, аналогичными (1.3):

z(e) = entf(x), е = ф(0.

(1.86)

1 Значение со = 0 не принимается во внимание.

30

Продифференцируем дважды по е первое соотношение (1.86):

 

dz

 

dz

dt

 

,

 

„

еы

 

 

 

d2z

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

 

 

 

d& \de

I

dt

\de j d&

 

ф з

lV x

^

' *

^

 

 

 

+

2/'лг + л 2 / ) Ф - ( / ' х

+

/г/)ф].

 

 

 

Подставив последнее выражение, а также

первую

формулу (1.86)

в уравнение (1.2), после простых преобразований

получим

*+ (тх ~ f " +

2

" ) * +

f

(*'+

ф 2

-

fп)

=

irе_П'я(е)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.87)

Сопоставляя

уравнения

(1.85) и (1.87), видим, что они

будут сов­

падать при выполнении

условий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-jrx—

- ¥ - + 2 / г =

2/г;

 

 

 

(1.88)

 

 

'

 

Ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ^ л 2 + Ф

2 - - ^ я )

=

#(*);,,

 

 

(1.89)

 

 

 

е~п 'Я (е) = F cos arf.

 

 

 

(1.90)

Условие

(1.88) совпадает

с

выражением

(1.6).

Следовательно,

и в случае наличия вязкого трения будет справедливо соотношение (1.9). При малых сопротивлениях (п 1) будет иметь место нера­ венство л2 — ? - п <^ ф2 , которое позволяет приближенно привести

Ф

условие (1.89) к виду (1.7). Следовательно, и в случае наличия вязко­ го трения приближенно будут справедливы формулы (1.10), (1.20) — (1.22).

Используя соотношение (1.9), из условия (1.90) получаем

Я(е) = Л- ent cos at.

(1.91)

Ф

 

Подставляя это равенство в уравнение (1.2) и учитывая соотношения (1.14) и (1.15), имеем

п

 

2"(e) + 2(e)=^ - e" r 6 cos^ - e .

(1.92)

Стационарные колебания определяются частным решением урав­ нения (1.92), которое будем искать в виде

2 = (k C1 cos-^-e+C2 sin- |-6je9 .

(1.93)

31

Смотрите также файлы