ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 134
Скачиваний: 0
Полагая в решении (IV. 12) х = А и sin [cp (t) — pi = ± 1, получаем приближенное выражение для амплитудно-частотной ха^ рактеристики
Лт--) |
. |
(IV. 14) |
f{A) = ± |
||
т |
|
|
+ 2е |
'* cos Ф ( - Т ) |
|
0,4 |
0,8 |
а |
1,г |
1,6 |
г.Оа.сек'4 |
\\\^
JI )!]
Рис. 119. Амплитудные характеристики при возбуждении колеба ний одиночными им пульсами:
о —жесткая |
сн-тема |
( Р = |
= 0,2 см~'-сек |
*); |
б — |
мягкая система ( Р = — 0,2
J, |
см~' |
• сек~~*); |
1,3 — п |
= |
|
|
|||||
|
= 0,1сек~\- |
2, 4 |
— л = |
0; |
|
0,4 |
0,8 |
1,6 |
а,сек~ 1,2 |
— S/m |
=> 0,5 см • сек~л; |
|
|
|
3,4 |
— S/m |
=» I еж - с е к - |
. Для частного случая кубической характеристики (1.31), в соот ветствии с формулами (1.13) и (1.32), уравнение (IV. 14) принимает, вид
Д 1 / * а + 4 М " = ± - |
= - , |
(IV.-15) |
13 4-5 |
197 |
^ 1 a r c t g e ( ^ + cosft) + w.sinfe I V 1 6 )
Полагая в формулах (IV. 15) и (IV. 16) п = О, получаем уравнение (IV.9).
Для оценки точности полученных результатов на рис. 119 по формулам (IV. 15) и (IV. 16) с помощью ЭЦВМ «Промшь» построены
амплитудно-частотные |
характеристики |
при а = 1 сек—2. Здесь же |
||||
точками представлены |
результаты решения 1 |
на ЭЦВМ |
«Наири». |
|||
Как видим, |
совпадение результатов |
можно |
признать |
хорошим. |
||
На рис. 119 |
приведены также амплитудно-частотные |
характеристи |
||||
ки для колебаний без трения (п = 0), построенные |
по формуле |
|||||
(IV.9). Одна из возможных форм колебаний, полученная на ЭЦВМ
«Наири» для системы с параметрами |
= 1 |
см • сек-1; а — |
= 1 се/с- 2 ; В = 0,2 см~2 • сек—2; п = |
0; Т = 10 |
сек, изображена |
на рис. 118. Заметим, что на рис. 119 приведены результаты решения на ЭЦВМ «Наири», полученные при нулевых начальных условиях,
и поэтому для = 1 реализованы только нерезонансные колебания.
Как видно из графиков, резонансные амплитуды быстро убы вают по мере уменьшения частоты возбуждения.
§ 3. Групповые импульсы
Помимо периодически повторяющихся одиночных им пульсов в приложениях встречаются групповые импульсы. Если время т. между воздействием первого и последнего импульса мало по сравнению с полупериодом 772 повторения импульсов, то для приближенного решения задачи можно воспользоваться изложенной выше методикой, заменяя группу импульсов одиночным импульсом, равным сумме импульсов группы. Если время х соизмеримо с полу периодом Т/2, то приходится пользоваться способом припасовывания решений по участкам.
Проиллюстрируем эту методику на примере группы, состоящей только из двух импульсов (рис. 120, а). Рассмотрим один из полу периодов колебаний,"приняв за начало отсчета момент исчезновения импульса 52 . После приложения этого импульса будут иметь место свободные колебания, описываемые формулами (IV. 10) и (IV. 11).
Подставив в эти формулы t = Т/2 —г т, определим |
амплитудную |
Л. Вычисления на ЭЦВМ проводились-с участием Л. Н. Мокренко, (см. также |
|
§ 3 данной главы). |
|
198 |
w • |
функцию и скорость накануне приложения импульса 53 :
/ (х_3 ) = е~" ( т _ т ) / (*0) cos ф (Z- — т) + v0 sin cp |
— т ) |
(IV. 17)
и_з = е - " ( " т ) — / (х0) sin cp [Z- — т) + v0 cos Ф |
_ T ) • |
(IV. 18)
После приложения импульса S3 = St перемещение (рис. 120, б) сохранит свое значение (х-з = л:+з), а скорость (рис. 120, в) скачко образно изменится на величину SJm
и будет
|
|
|
1 т |
\ |
• / ( x 0 ) s i n ? |
|
|
— |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
—тj + |
у0 |
cos ф |
— т ) |
|
A L |
|
JC.CH |
|
|
|||||
|
|
|
1,6 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV. 19) |
0,6 |
|
|
|||
|
После приложения импульса S3 |
= |
О |
г |
t,CSH |
||||||||||
= |
Sj |
будут |
происходить |
свободные |
-ол |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
колебания |
с |
начальными |
условиями |
|
|
|
|||||||||
лц_3 и и+з. Они описываются выра- -1,б\ |
|
|
|||||||||||||
жениями |
(IV. 10) |
и (IV. 11) с исполь |
|
|
|
||||||||||
зованием |
равенств х0 = х+з |
и |
v0 |
= |
|
|
|
||||||||
= |
и+з. Полагая |
далее |
t |
= |
т, |
полу |
|
|
|
||||||
чаем |
значение |
амплитудной |
функции |
|
|
|
|||||||||
и скорости накануне приложения им |
|
|
|
||||||||||||
пульса 5 4 |
= |
5 2 |
(см. рис. |
120): |
|
|
|
|
|
||||||
/ (*_4) |
= |
e~nz |
[f (х+3) |
cos Ф (т) |
+ |
|
|
|
+ |
1)+ з5Шф(т)]; |
|
||
|
|
|
|
|
(IV.20) |
|
V-* |
= |
е _ л |
т [— / (х+3) |
sin ф (т) |
+ |
|
|
|
+ |
v+3 |
cos ф (т)]. |
|
|
П 0 С Л е |
ПрИЛОЖеНИЯ ИМПуЛЬСа |
St = |
||||
= S2 имеем |
|
|
|
|
||
Рис. 120. К задаче возбуждения колебаний групповыми импуль сами:
а —эпюра импульсов; б — п е р ё м е щ е - ния; в — с к о р о с т и .
f (х+ 4 ) = / (х_4 ); г>+ 4 = и_4 • |
(IV.21) |
•• Аналогично (IV.5)? условия стационарного режима колебаний можно записать так: v0 = — ы+ 4 ; / (x0) = — / (х+Д. Подставляя сюда формулы (IV.20) и (IV.21) •» используя выражения (IV. 17),
13* |
199 |
(IV. 18) и (IV. 19), получаем систему уравнений, решив находим
f(*o) = - |
^3 |
|
cos (а — у) + |
е " т cos у |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
1 + |
е~пТ |
+ 2е |
|
cos а |
|
1 + е |
|
|
|
|
т |
+ S 4 |
cos а |
|
|
sin а |
||
|
|
|
||||
1 + |
е~пТ + 2е * cos а |
J |
1 + е |
cos а |
||
|
|
е |
" т sin у |
|
|
|
|
|
1 + е |
cos а |
|
||
|
|
cos (а — у) + |
е п т |
cos у |
||
|
|
1 + е - " г |
+ 2е |
2 |
cos а |
|
|
|
1 + е |
|
|
|
|
'm
которую,
+
(IV.22)
1 + |
е-"7 - |
+ 2е |
cos а |
где а = ф {— т) + ф (т); |
у = |
ф (т). |
|
Подставляя выражения (IV.22) в формулу (IV. 10) и учитывая приближенное равенство (1.13), получаем закон движения на первом полупериоде:
|
|
|
X |
|
|
1 + е п Г |
+ 2е 2 |
cos- 0я |
|
X |
К /и» + 2 ^ - с о 5 0 т + |
- ^ 8 т ( Э / + р ) , |
(IV.23) |
|
где р = arctg |
/(*о) |
|
|
|
Подставив |
выражения (IV.22) |
в формулу (IV. 11) и |
приравняв |
|
к нулю скорость, определим значение момента времени осуществле ния .максимального перемещения: .
Л = - е - ( а г с ^ - Г - Р*), |
(IV.24) |
где
„ . р # = arctg х
200