Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Построенные по этим формулам кривые критических состояний для системы с теми же параметрами, что и на рис. 113, изображены на рис. 114 сплошными линиями.

В случае воздействия на систему возбуждения (III.37), в соответ­ ствии с формулами (III.39), (III.88) и (III.89), уравнения критиче­ ских состояний будут иметь такой вид:

для кривой /

У ж -

186

Учитывая приближенное равенство (III.77), для кривой /7 получаем выражение (III.90).

Построенные по формулам (III.90) и (III.91) кривые критических состояний изображены на рис. 114 штрих-пунктирными линиями. Здесь же представлены результаты решения на ABM МН-7 уравне­ ния (III.87) при возбуждении (Ш.ЗЗ) и (III.37).

Как видно из рис. 114, соответствие машинных и аналитических результатов можно признать хорошим.

Несимметричные колебания. Рассмотрим устойчивость стацио­ нарных колебаний систем без трения, описываемых уравнениями

(III.49) или (111.50).

Амплитудно-частотная характеристика для колебаний с уме­ ренно большими амплитудами определяется выражением (III.55). Заменяя в нем а* на d* и 0 на Э (1 + 2В), получаем характеристику для колебаний, близких к неустойчивости, при произвольном воз­ буждении:

еа(1 + 2 В ) 2 — ;2 ш2

Подставляя сюда (1.326), после простых преобразований получаем уравнение для кривой / критических состояний:

Из двух значений (1.328) критической амплитуды Акр в формулу (III.92) подставляется то, которое обусловливает минимальное значение левой части равенства (III.92).

Для кривой /7 критических состояний можно воспользоваться формулой, полученной аналогично случаю бигармонического воз­ буждения:

187

Рассмотрим частные случаи периодических возмущений (III.33)

и(II 1.37).

Всоответствии с формулами (111.35), (III.39), (111.92) и (III.93) уравнения критических состояний будут иметь вид:

при возбуждении (III.33) для кривой /

±Лру^4-(«.--4-|РК)-4-в.

min

со

± A ^ y r 4 - ( « . - - r i P M k ) — ^ - б -

Ограничиваясь здесь одним членом ряда и используя равенство (III.77), получаем такие приближенные уравнения критических со­ стояний:

для кривой / при возбуждении (III.33)

F = — ( ± ^ v 2 o . _ i P l 4 „ - ^ 6 . ) ( 4 - a . )

min

при возбуждении (111.37)

mtn

для кривой I I независимо от формы возбуждения

( ± х а У з т р Т + б - ) ( а - - С й 2 ) min

188

летворительным.

Выясним влияние вязкого трения на устойчивость стацио­ нарных колебаний, описываемых уравнением (III.56) или (III.57). Амплитудно-частотная характе­ ристика для умеренных ампли-

.части формулы (111.94) следует положить п = 0.

189

Для построения кривой / / критических состояний при умерен­ ных сопротивлениях можно пользоваться выражением

1 2 f

(Ш.95)

При больших значениях п лучшую сходимость с машинными результатами обеспечивает формула

Ограничиваясь в формулах (III.94) и (III.95) первым членом полиномов (т = 1) и принимая во внимание равенство (III.77), для частных случаев возбуждений (III.33) и (III.37) приближенно получаем следующие уравнения критических состояний:

для кривой / при возбуждении (111.33)

на рис. 116 при возбуждении (III.33) (сплошные линии) и (III.37)

(III.62) или (III.63). Амплитудно-частотная характеристика для умеренных амплитуд колебаний определяется выражением (III.65). Заменяя в нем 8 на G (1 + 2В) и используя формулу (1.326), полу-

190