Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

чаем уравнение для кривой / критических состояний

± Л р у ^ ( « . - 4 | Р | 4 Р ) - ^ б

min

i/[f+w (4n ! -'

смсен~*

/ /

 

2

А 2

- | - 16 !Ш_«2,-4Ш4.

(II 1.96)

У /"

/• /•

1•.• " /

»

/ *

i -

/I -

 

 

/

 

 

/

 

I

 

 

l/J

//о

 

 

/

/

 

 

//

//

 

 

/ 1

.»./

 

 

у

1 —г

 

 

a

 

so

S

а.сенг'

 

 

 

Рис. 116. Кривые критических состояний несимметричной системы при вязком трении:

а — л = 0,05 сек

б — л = 0,2 сек

/ — п р ямоуголь ное в о з б у ж д е н и е ; 2 —

тр е у г о л ь н о е в о з б у ж д е н и е .

Для построения кривой / / критических состояний можно вос­

пользоваться выражением, аналогичным (11.105), т. e.j

^ | ± X a - / - 3 f p T + 6 ' U =

* I

- ±

У

] - 7 =

(IH.97)

 

u=i

 

V («* — ш 2 ' 2

) 2 + 6Л»/шо (У а* — ico)3

где Л, определяется

по формуле

(11.106).

Ограничиваясь в равенствах (III.96) и (III.97) первым членом

полиномов (т =

1)

и принимая

во внимание выражение (III.77),

для частных случаев возбуждений (III.33) и (III.37) получаем при­ ближенно такие уравнения критических состояний:

191

для кривой 7 при возбуждении (III.33)

р =

J L i _ S _ . V 2 a . H P M i

2

X

*

 

К a

 

 

 

X

+ соМ4

л 2 —1

 

 

min

а

.

f

а. сея

 

Рис. 117. Кривые критических состояний несимметричной системы при тур­ булентном сопротивлении:

а — п

= 0,05

е

л -

б — п =

0,2 с

и -

/ — п р я м о у г о л ь н о е возбуждение ; г —.

треугольное

возбуждение .

 

 

 

 

 

 

 

при

возбуждении

(II 1.37)

 

 

 

 

 

 

^ 0

=

8

 

 

V

а

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

со'

4 . - " Р

л 2

— 1

1

+ 1 6 ^-л2

со*

 

 

 

 

~

\ *

п«

"

- yj

 

я*

min

для кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/7 независимо от формы возбуждения

 

 

 

^0

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X V(a\ — со2)2 + бЛ.лсо(Va* — со)8

min'

Построенные по этим формулам кривые критических состояний для системы с теми же параметрами, что и на рис. 115, изображены на рис. 117 при возбуждении (III.33) (сплошные линии) и (III.37) (штрих-пунктирные линии). Здесь же представлены результаты решения на АВМ МН-7. Как видим, соответствие машинных и ана­ литических результатов можно признать удовлетворительным.

Г Л А В А I V

ИМПУЛЬСНОЕ

ВОЗБУЖДЕНИЕ

Задачу о воздействии на нелинейный осциллятор перио­ дически повторяющихся ударов, которые допустимо идеализировать мгновенными импульсами, можно решить в соответствии с методикой, изложенной в предыдущей главе. Однако, поскольку ряд Фурье, в который разлагаются периодически повторяющиеся мгновенные импульсы, плохо сходится, то предпочтительнее замкнутое решение [49, 50], которое и рассматривается в настоящей главе *, посвящен­ ной изучению только кососимметричных колебаний.

§ 1. Колебания без трения

Рассмотрим задачу о стационарных колебаниях нели­ нейного осциллятора, когда прикладываемые через промежуток времени 772 мгновенные импульсы 5 симметричны, т. е. имеют противоположные направления (рис. 118, а). Период повторения

импульсов обозначен через

Т.

 

Дифференциальное уравнение движения имеет вид

*(*) + /?(*) = - | - 6

^ '

0 < * < - ^ ,

где т — масса осциллятора;

R

(х) — симметричная характеристи­

ка; 6 (/) — функция, равная нулю для всех t, кроме моментов прило­ жения импульсов, когда 5(£) = ± 1 сек-1.

Рассмотрим один из полупериодов колебаний, приняв за начало отсчета момент исчезновения первого импульса. После действия этого импульса будут иметь место свободные колебания, которые, ву соответствии с методом переменного масштаба [13], описываются амплитудной функцией

/(*) = / W cos ф (0 + v0 sin Ф (0,

(IV. 1)

определяемой по формулам (1.21) или (1.22). Здесь ф (f) —фазовая функция, которая для систем с умеренно большой нелинейностью

1 Данные, приведенные в этой главе, получены совместно с Н. М. Поповичем.

193

допускает линеаризацию (1.13); х0

и v0 — начальные значения пере­

мещения и скорости.

 

 

Дифференцируя решение (IV. 1) по времени t и учитывая соотно­

шение (1.9), находим выражение

для скорости:

 

х = v = — / (х0) sin

ф (t) + v0 cos ф (t).

(IV. 2)

Подставляя в формулы (IV. 1) и (IV.2) t = 772, определяем ампли­ тудную функцию и скорость в конце полупериода, непосредственно перед действием очередного им­

пульса:

Рис. 118. К задаче возбуждения ко­ лебаний одиночными импульсами:

а—эпюра импульсов; б — перемещения; в — скорости.

/ ( * - i ) = f(*o)cosq>(-x) +

+ u0 sin ф ( -

(IV.3)

=— /(*o)s i n <p(-ir) +

+v0 cos

Здесь

и дальше

индексами —1

обозначены

значения

f (х)

и

v

до действия

очередного

импульса,

индексами

+ 1 — значения

/

(х)

и v

после

действия

очередного

импульса.

 

 

 

 

 

После действия

очередного

 

им­

пульса перемещение (рис. 118, б)

сохранит

свое значение

(х + 1 =

= x_i), а

скорость

(рис. 118, в)

мгновенно

изменится

на

величину

Sim и будет

o+i = ~ f (хо) si" Ф (4г) + vo c°s Ф (-j-) —

•

(IV.4)

Амплитудные функции для симметричных характеристик, как это видно из формулы (1.32), являются нечетными, т. е. / (—х) = = —/ (х). Из этого условия, а также из рис. 118 видно, что усло­ вия осуществления стационарного режима следующие:

/ (*Э = - / ( * + , ) ;

vо = - v+,.

(I V.5)

Подставляя в условие (IV.5) формулы (IV.3) и (IV.4), получаем

f(*o) = — f (*о) cos Ф

+ о 0 я п ф ( у )

;

— / (*0) sin Ф

+ щ cos ф

— А

194

Решая эту систему, находим

 

 

 

 

 

 

5

 

5 1 П Ф ( 4 " )

 

 

.

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + COS ф

 

 

 

 

 

 

Подставляя эти выражения в решение

(IV. 1), получаем закон дви­

жения на первом полупериоде:

 

Г

.

 

/ /т . \ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ Л \

 

 

 

(IV.6)

 

f W = 4 г s

e c 4" ч» (-г)S IП

[ <Р W -

4" ч> ( 4 )

Движение на втором полупериоде будет

кососимметричным с

центром симметрии в момент / =

772.

 

 

 

 

 

Как видно из рис. 118, максимальные значения перемещений,

равные амплитуде

колебаний

(хтах

=

А), будут

иметь место в мо-

менты времени, когда скорость v =

S

 

I

/

Т \

( 0 — g - x

 

 

sec -g- <p (-у- Icos Ф

X

,

определенная по формуле

(IV.2),

 

обращается в нуль,

т. е

когда

cos

Ф (0

 

^ ^ ( т )

=

0>и> следовательно, sin

Ф ( 0 -

— 2 ~ ^ ("^"У][

~

^-

^'

Подставляя это выражение в решение (IV.6) и

принимая х =

А,

получаем уравнение амплитудно-частотной

харак­

теристики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ И ) = ± 4 г 5 е с 4 - ф Ш -

 

 

 

( I V - 7 )

Использовав

приближенное

равенство (1.13)

 

и обозначая

через

со =

2я/Г

частоту

повторения

импульсов,

запишем

выражение

(IV.7) в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ )

= i r s

e

c

4 -

 

е

 

( I V - 8 )

Это выражение стремится к бесконечности при cos-^- =

0. Отсюда

получаем условие ударного резонанса

 

9/со = 2/ — 1, i =

1,2, 3, ....

Для частного случая кубической характеристики (1.31)

в соот­

ветствии с формулой (1.32) уравнение амплитудно-частотной

харак­

теристики

(IV.8) принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А /

а +

- у Р Л 2

=

±

 

sec - g - .

 

(IV.9)

Входящую сюда частоту свободных колебаний можно определить по одной из известных приближенных формул, например (1.33).

§ 2. Учет вязкого трения

Уравнение движения с учетом вязкого трения имеет

вид х (t) + 2пх (t) - f R (х) = — б(/), 0 - < / < - 5 - , где я — малый

коэффициент затухания. Рассмотрим, как и выше, движение на

V4 *

195

полупериоде. После приложения первого импульса движение опи­ сывается следующим приближенным решением [13]:

/ (х) = е~п' [f (х0) cos Ф (0 + v0 sin Ф (/)].

(IV. 10)

Дифференцируя это выражение по времени t и пренебрегая малым членом, содержащим множитель п ^ 1, с учетом соотношения (1.9) приближенно получаем

х = v = е - " ' [— / (jc0).sin Ф (0 + v0 cos Ф (/)].

(IV. 11)

Используя условие (IV.5) стационарности, аналогично изложен­ ному выше находим

 

 

•

 

(т

 

 

 

епТ +

 

т_

 

 

1 +

2е" 2

cos

 

 

2

| е " 2

+ cos

ф (-^-j

 

 

S

 

 

 

 

 

 

vn =

 

 

 

 

 

 

l+e n r - f - 2 e

2

coscpHj-j

 

 

Подставляя эти выражения в решение

 

(IV. 10),

получаем закон

движения на первом полупериоде:

 

 

 

 

 

/ " l

' " ;

" n

^ - r t

,

( i v . i 2 )

] / 1+

епТ +

2 е П

2

созф( - ^ - )

 

где

Р = arctg

sin Ф (-^-)

f

.

4/ т \

е+ cos ф I -g-1

На

втором полупериоде перемещения будут кососимметричны от­

носительно момента времени

t = 772.

Полагая в решении

(IV. 12)

п = 0,

получаем выражение (IV.6). Подставляя формулы для / (д:0)

и «о в равенство (IV.11) и приравнивая

его

нулю, получаем

значе­

ние моментов

времени осуществления

максимальных перемещений

 

 

 

т

т

 

 

т

 

 

 

б е

2

+ с о з ф ( —

I

+

nsinq>(—-)

 

 

<; =

- J - a r c t g - b - z

Ш±

 

 

Ш — .

(IV. 13)

 

 

п | е

2

+ cosq>^-j

—

8 s i r ^ — j

 

Заметим, что для получения наибольшей амплитуды А следует принимать во внимание минимальное значение определяемое по формуле (IV. 13).

196

Смотрите также файлы