Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Подставляя выражение (1.32) в (1.101), получаем зависимость максимальной амплитуды от коэффициента затухания:

Как показывают вычисления, малое затухание практически не влияет на амплитудно-частотные характеристики везде, кроме малых участков вблизи максимумов. Поэтому практически для А <С Amax

омJ

из (1.35) путем добавления члена 2пх. Подставляя выражения (1.41) и (1.42) в формулу (1.99), получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики для больших колебаний, возникающих при условии (1.39):

37

На рис. 29 приведены амплитудные кривые, построенные по

.см

"max

/-г

рис. 30^ Здесь совпадение аналитических и машинных решений не­

Далее рассмотрим малые стационарные колебания системы с перескоком, происходящим при выполнении условия (1.38). Под­ ставляя выражения (1.40) и (1.45) в (1.99), получаем уравнение амп­ литудно-частотных характеристик для малых колебаний:

38

Построенные по этой формуле амплитудные кривые изображены на рис. 29 (п = 0,15 сек—1) и 30 (п = 0,16 сек-1). Эти кривые практи­ чески не отличаются от приведенных на рис. 7.

Подставляя выражение (1.50) в формулы (1.103) — (1.106), полу­ чаем амплитудно-частотные характеристики и зависимость Л т а х от

пдля фермы Мизеса (см. рис. 8) с малой подъемистостью (б <^ 1): большие колебания [А >> " j / " — j

An, У ^ ~ Л 2 - 8 { \ п 2 - а2 + 1,18п2.б (1±*. А2-2^~ +

+ 4 n w } ~ = ± 0,77/Ъ* 1/26 • ^ " W " А * ~ 2 '

Здесь использованы обозначения (1.55). Путем замен (1.86), анало­ гично (1.92), приходим к уравнению с постоянными коэффициентами

Стационарные колебания определяются частным решением урав­

39

Подставляя это решение в уравнение (1.108) и приравнивая нулю коэффициенты при тригонометрических функциях и свободный член, получаем значения С1 и С2 такие же, как для симметричных характе­ ристик, а С, = &JQ (при этом малым членом /г2/Э2 по сравнению с единицей пренебрегаем). Решение (1.109) можно представить в виде

z = QCOS -5-Е —р + - 7 Г

где использованы обозначения (1.96) и (1.97). Переходя к старым переменным в соответствии с формулами (1.15) и (1.86) и используя выражение (1.97), получаем решение для стационарных колебаний:

Полагая здесь у = A, cos (at— р) = 1, приходим к уравнению амплитудно-частотной характеристики

Заметим, что для частного случая 6# = 0 выражение (1.110) приводится к виду (1.99). Следовательно, в этом случае при > 0 можно пользоваться выражениями для симметричных характеристик (см. § 1), а для а* < 0 — формулами (1.103) и (1.105). Построив та­ ким образом амплитудно-частотные характеристики для у, путем смещения оси со на величину х0 получим характеристики для х.

Если продифференцировать уравнение (1.110) по со и положить dA/da> = 0, то снова получим равенство (1.100). Подставляя это равенство в (1.101), находим выражение для экстремальных значений амплитуды

Как показано выше, стационарные колебания с экстремаль­ ными значениями амплитуд отстают от возбуждения на Из из­ ложенного выше следует, что существенное влияние на вид амплитуд­ но-частотных характеристик оказывает знак а^. Поэтому рассмот­

рим два возможных случая.

1. Если а * > 0, Зсф > у2, то аналогично тому, как это сделано для симметричных характеристик, при определении амплитудной функции следует пользоваться формулой (1.32). Тогда (1.110) и (1.111) принимают вид

40