Файл: Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов.pdf

то,

согласно (1.2),

будем

иметь следую щ ую

оценку

остатка

ряда:

(1 -

р)Rn

<

а„ <

р

( 1.6)

О -

Р) Rn

где

#m = SUp-

ак

-- ini ^

fe>m

k _m

Л*

Пр и ме р

1. Рассмотрим

ряд в^ида

оо

S ?(«)(* +

сп*т,

1

где

lim cp(п) =

b > 0,

а > 0,

? <

—1

и с — постоянное.

По-

Л*-Ѵсо

Тогда по

алгебраическому

признаку

ряд

схо­

ложим

р = а.

дится

при а <

1

и расходится

при а ^ І .

Пр и ме р 2.

Ряд

S

(О < a < 1)

сходится, так

как

р =

а < 1

и

lim

=

lim '■)/п =

1 > 0.

ІРРРі

а п

п-*с°

П/--

для

3

убывает. Поэтому,

Последовательность \\ п )

согласно (1.6),

имеем

а m

со

а m

(1 — а) у m

1 —а (m >

3).

оо

S /(«)

(1-7)

п —т

При э\о м имеет место

простая оценка

для

остатка

ряда:

оо

оо

оо

J f ( x ) d x <

£

f ( n) <

J

f(x)dx

(rn> 1).

(1.8)

TU—1

Докажем

неравенства

(1.8).

Справедливость

признака из

них следует

немедленно.

полагая

Воспользуемся

неравенствами (1.2),

п+ 1

Тогда

Ьп =

Пj

f(x)dx.

я+1

ѣ о

о

о

К

=

У

]

^

=

dx,j

Rn/=(■*)

f(x)dx <

1J

И

n=m

m

■)

oo

oo

Полагая

mf

f{K)dx<n*=m£ f(n

П

аналогично получаем

K = n—1iu)dx,J

/ (

dx. j

/(■*)

oo

oo

£

rn—« )l <

(1.9)

Из полученных неравенств следует оценка (1.8).

(1.8),

если

Будем

иметь

некоторое

улучшение

оценки

в неравенстве

(1.9) заменим

т

на т + 1

и к

обеим частям

неравенства прибавим

f (т).

Тогда

j f ( x ) d x < Y i f {ti )< ^

f(x)dx + f(ni).

(1.10)

т

п— т

rn

Пример .

Ряд

1

(а >

1)

Е-11In* п

и=2

сходится,

так

как сходится

интеграл

Д-198.—2

ГОП,

17

НАУЧУ'

__ і_

<

п !па п

п**т

< ------- -----;-----1------ -----

(а>1,

т>2).

(а — 1) 1па хт

т In" т

2.

Пусть

F (х) — положительная

интегрируемая фун

ция в

области

х > т.

Ряд (1.7) сходится, если сходится

интеграл

оо

(т > 1)

ß ,„ = J F{x)dx

Л

Доказательство. Определим

ряд (В), полагая

я + 1

bn=

J

F(x)dx.

Тогда

П

/ І + 1

оо

Rn = j j - f J F(x) dx,

B,n = j‘ F(x) dx

n

m

и справедливость признака

устанавливается с

помощью об­

щего признака

сходимости.

то, согласно (1.2), находим

Если ряд (1.7) сходится,

/(»)<

J F{x)dx,

( 1. 11)

л—т

т

где

л+1

я+1

Rm= sup

SFMdx’ 2-=£l7k i Fix)dx-

л>лг

п

п

и данный ряд сходится.

Согласно (1.11),

находим оценку остатка ряда

оо

(от > 1).

_1_ <

1

С

т +

1

т

У п* -1-

In п

У т* +

ln т

п=т

В

частности, при от — 5 имеем

0,20 < У!

- 1------< 0,24.

“

V п * +

In п

П=5

Выбирая в признаке и. 2 функцию

F (х)

различным обра­

зом,

получаем ряд признаков

сходимости.

В каждом случае

2*

19