Файл: Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 107

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Впоследней колонке табл. 3 приведены частости ин­ тервалов (классов), которые получены делением частот интервалов на общую сумму статистической совокуп­ ности.

Всумме частости равны единице:

71

Sm/= 1.

Иногда частости выражают в процентах, тогда сумма всех частостей равна 100%.

В интервальном вариационном ряду в каждом интер­ вале (классе) различают нижнюю и верхнюю границы интервала. В каждый интервал включают варианты, чис­ ловые значения которых больше нижней границы интер­

вала и меньше верхней границы или равны ей.

 

 

 

 

 

Графическое

 

изображение

вариа­

•Ц№

ционного

ряда.

Ва­

ѣ •

риационный

ряд гра­

12 ••Cl 500

фически

изображают

в виде

гистограммы,

m •

полигона,

кумуляты

в • 0,200

и огивы.

 

 

 

6 •

Гистограмма

рас­

ч • •0,100

пределения

 

строится

г -

в прямоугольной

си-

43 50 52 s\ 56 53 60 W*,«r/cMz

 

 

 

Рис.

1

 

ож>

 

 

 

 

 

щ 3

 

 

 

 

 

 

16-um

 

 

 

 

 

 

74

 

 

 

 

 

 

12 •-ом

 

уА

 

 

 

 

Ю

 

 

 

 

 

 

8 -о,гоуі

!

\

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

и ••о,юо

!

i

!

 

 

і

i

i

i

Г

\

 

i

i

i

i

1

V

 

i

i

i

i

1

Т

-

«

51

5J

55

57

59

Мся,кГ/см?

 

 

 

Рис.

2

 

 

ст е м е координат. На

оси

аосцис

откла­

„„„

абсцисс

п т ѵ п а .

дывают отрезки, про­ порциональные ин­ тервалам вариаци­ онного ряда, и на каждом из них, как на основании, в при­ нятом масштабе строят прямоуголь-і ник, высота которо-7 го пропорциональна частоте или частости данного разряда.

На рис. 1 пред­ ставлено графиче­ ское изображение

вариационного ряда, приведенного в табл. 3 в виде гисто­ граммы, а на рис. 2 этот же ряд изображен в виде по­ лигона.

Полигон распределения строится в прямоугольной си­ стеме координат. По оси абсцисс отмечают точки, соот­ ветствующие значениям середин интервалов, и из них восстанавливают перпендикуляры, на которых отклады­ вают от оси абсцисс отрезки, пропорциональные частотам или частостям вариантов. Вершины ординат соединяют прямыми линиями. Полигоны применяют главным обра­ зом для изображения дискретных вариационных рядов,

но они могут быть применены и для изображения

интер­

вальных рядов

(рис. 2).

 

Накопленные

частоты. Накопленную частоту

опреде­

ленного варианта получают суммированием всех частот вариантов, предшествующих данному, с частотой этого варианта. Суммирование можно производить как в вос­ ходящем, так и в нисходящем порядке.

В табл. 4 приведены накопленные частоты вариацион­ ного ряда, приведенного в табл. 3.

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

4

Границы

интерпалов,

 

 

 

Накопленные

Накопленные

час­

кГ/см-

Значение с е ­

 

частоты, вы­

 

тоты, вычисленные

 

 

редины

интер­

Часто ­

численные

 

 

суммированием

 

 

пала

А'.,

та m-

суммированием

от

до

кГІсм-

 

в восходящем

в нисходящем

 

порядке

М'

порядке Al'

 

 

 

 

 

48

- 5 0

49

6

- 6

 

40

 

50,1

—52

51

9

15

 

34

 

52,1

- 5 4

53

13

28

 

25

 

54,1

—56

55

7

35

 

12

 

56,1

- 5 8

57

4

39

 

5

 

58,1

- 6 0

59

1

40

 

1

 

Кумулятивная

кривая

(кумулята)

— изображение

в

прямоугольной системе координат вариационного ряда с накопленными частотами. По оси абсцисс откладывают значение признака (варианты), а по оси ординат откла­ дывают отрезки, длины которых пропорциональны накоп­ ленным частотам или частостям тех или иных вариантов. Если провести через вершины ординат прямые линии, то получится ломаная кривая — кумулята.

У кумуляты .интервального вариационного ряда ниж-

.ней границе первого интервала будет соответствовать ча­ стота или частость, равная нулю, а верхней^границе —

17 -г- Г '"-G- *«y*^K4xs

паучка - т*хннч* - и Скблиотэка С С С

ЭКЗЕМПЛЯР

частота или частость ряда; верхней границе второго ин­ тервала соответствует накопленная частота первых двух интервалов и т. д. Верхней границе последнего интервала соответствует сумма всех частот. На рис. 3, а изобра­ жена кумулятивная кривая вариационного ряда, приве­ денного в табл. 4.

Если по оси ординат откладывать значения признака, а по оси абсцисс накопленные частоты или частости и сое-

6)

Рис. 3

динить вершины абсцисс прямыми линиями, то получим ломаную кривую — огиву. Если лист бумаги, на котором изображена огива, повернуть на 90° и посмотреть на не­ го с обратной стороны на свет, то увидим кумуляту. На рис. 3, б изображена огива вариационного ряда табл. 4.

— 18 —

§ 2. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

Общей характеристикой вариационного ряда служит средняя величина. Методы определения средней величи­ ны вариационных рядов различны. Природа исследуемо­ го признака определяет и метод вычисления его средней.

Распределение признака в вариационном ряде можно

выразить в общем виде функцией <p(x). Если

все ХІ за-

меиить их

средней

п

~^х\/п,

 

арифметической х—

т 0

 

 

 

 

должно сохраняться

равенство

 

 

 

 

ф ( л : ) = Ф ( Х ) .

(а)

 

Левая часть равенства (а) — кривая, аналитическое

выражение

которой

cp(jc),_a правая — горизонтальная

прямая* с отметкой, равной X .

 

 

Следовательно, чтобы найти среднее значение вариа­

ционного ряда, надо:

 

 

 

1) найти

вид функции cp(x) .или ее графическое изо­

бражение;

 

_

 

 

2) заменить все ХІ средней X , т. е. сгладить кривую до горизонтальной прямой с_ отметкой, равной X ;

3) определить отметку X .

Взвешенная средняя. В горных выработках произведе­ но большое число замеров мощности залежи. Данные за­ меров представлены следующим интервальным вариаци­ онным рядом:

мощность

залежи, м 0—1

1—2

2—3 3—4

4—5

число

замеров, пока­

 

 

 

завших

эту

мощность

 

 

 

(частоты)

120

200

360 400

200

Если складывать значения мощностей всех отдельных результатов замеров, то числа, находящиеся в интервале от 0 до 1 м, придется складывать 120 раз; числа, находя­ щиеся в интервале от 3 до 4 м — 400 раз и т. д. Вместо этого обычно умножают значение середины первого ин­ тервала на частоту интервала: 0,5• 120 = 60; к результату прибавляют произведение значения середины следующе­ го интервала на его частоту 1,5-200 = 300 и т. д. Тогда получим

0,5-120+ 1,5-200+-2,5-360+ 3,5-400+ 4,5-200

•"

Î28Ô

= 2 Д

— 19 —

Прием, который здесь использован для вычисления

среднего

значения мощности залежи по результатам

всех

замеров,

называется взвешиванием., а

частоты интерва­

лов — статистическими весами

признака.

 

Средняя, которая получается в результате примене­

ния взвешивания, называется

средней

взвешенной.

Ни­

какой принципиальной разницы между средней взвешен­ ной и средней арифметической нет. Нетрудно заметить, что взвешенная средняя не меняет своей величины, если все веса пропорционально увеличить пли уменьшить.

Среднее значение признака вариационного ряда мож­ но также получить как сумму произведений значений се­ редин интервалов па их частости. Например, для вариа­ ционного ряда, приведенного в табл. 3, среднее значение

признака

(среднее

значение

прочности

образцов

песча­

ника па сжатие в

кГ/см2)

 

 

 

 

w =

49-0,150 +

51 -0,225 +

53-0,325 +

55-0,175 +

 

+

57 • 0,100 + 59 • 0,025 =

52,9

кГ/см*.

 

 

 

§ 3. М Е Д И А Н А И М О Д А

 

 

Медиана.

Медиана — значение

признака, соответст­

вующего

середине

упорядоченного

вариационного

ряда.

Одной из характеристик вариационного ряда служит медиана Me, т. е. такое значение варьирующего призна­ ка, которое приходится на середину упорядоченного ва­ риационного ряда.

При нечетном числе

вариантов медиану определяют

по формуле

 

 

Me =

xm+i.

При четном числе вариантов медиану определяют по

формуле

 

 

, ,

х т -{-

ХТ+І

Me =

 

2

 

 

Если численность вариационного ряда 2 / и + І , то зна­ чение признака для случая /п+1 будет медианным. Если в ряду четное число (2т) случаев, то медиана равна средней арифметической из двух срединных значений признака.

— 20 —

Смотрите также файлы