Файл: Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пример І.І. Девять образцов известняка из карьера испытывались на растяжение методом раскалывания ци­ линдров (бразильский метод). Результаты испытаний представлены в табл. 5.

Т а б л и ц а 5

Д и а м е тр

ци ­

Длина

цилинд­ Площадь плоскос­

Разрушающая

к / р а с т , нгісм--

линдра d,

мм

ра

м

ти раскола S, см'

нагрузка Р , кГ

 

30

10

3,0

130

43,3

30

10

3,0

140

46,7

30

9,7

2,0

140

48,1

30

10,1

3,0

146

48,2

30

10,2

3,1

148

48,4

20,1

9,9

2,1

ПО

52,9

20,1

20,2

2,1

115

53,7

20,1

10,3

2,2.

120

55,3

20,1

10,1

2,1

120

56,6

 

 

 

 

453,2

Здесь число вариантов нечетное, т. е. 2т+1 =9; 2/л = 8; m = 4. Тогда Ме = д.'4+і = х 5 = 48,4.

Пример 1.2. В табл. 6 приведены результаты испыта­ ний 10 образцов породы габбро на растяжение методом

раскалывания

цилиндров (бразильский

метод).

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 6

 

 

 

Д и а м е т р

Площадь

Р а з р у ш а ю щ а я

 

Длина

образца

 

плоскости

 

 

образца

нагрузка

^ р а с т ' к Г І с м "

1,

мм

 

раскола

Id,

 

d, мм

Р ,

кГ

 

 

 

 

см-

 

 

68,7

 

49,5

34,0

 

5

700

168

30,0

 

22

6,6

 

1

160

176

37,0

 

42,5

15,7

 

2

810

179

33,0

 

69,0

22,8

 

3

920

172

60,0

 

71,0

42,6

 

8

300

195

129,1

 

71,0

91,6

 

18

300

200

65,1

 

71,0

46,2

 

9

250

200

34,5

 

69,0

23.8

 

4

980

205

40,0

,

42,5

17,0

 

•3

880

228

30,0

 

42,5

12.8

 

3

020

236

 

 

 

 

— 21 —

 

 

 

 

Поскольку здесь число вариантов четное, то 2т = 10,

т = 5 и M e - ^ 1 І

6 = 197,5.

2

 

Если вариационный ряд представлен в интервальном виде, то при определении медианы вначале находят ин­ тервал, содержащий медиану, используя для этого накоп­ ленные частоты или накопленные частости. Медианным интервалом является интервал, для которого накоплен­ ная частота превышает половину всего объема совокуп­ ности.

При постоянстве плотности внутри интервалов (клас­ сов) значение медианы определяют по формуле

 

У, m

 

 

 

—

-Mmed-l

 

Me = xmed(mta) + h

 

,

( 1.2)

где xmed(min) — нижняя граница

медианного ряда;

h — ин­

тервальная разность; M — накопленная частота

интерва­

ла, предшествующего медианному; //im c d — частота меди­ анного интервала.

Пример 1.3. Вычислим значение медианы по данным, приведенным в табл. 4, в которой сумма частот равна 40:

2/л

40

-ïmed(min) = 52,1 ; h — 2; —

= — = 20;

•Mmed-l = 15; /»med = 13.

Отсюда

 

20—15

 

Me = 52,1 + 2

: 52,9.

13

 

Графическое определение медианы. При графическом

определении медианы последнюю

ординату кумуляты,

пропорциональную сумме всех частот или частостей, де­ лят пополам. Из полученной точки (точка А на рис. 3, а) проводят перпендикуляр до пересечения с кумулятой в точке В. Абсцисса точки В (на рис. 3, а равна 52,8) и будет медианой.

Мода. Модой называют вариант, наиболее часто встречающийся в данном вариационном ряду. В дискрет­ ном вариационном ряду моде соответствует вариант с наибольшей частотой.

В интервальном ряду интервал, содержащий моду (модальный интервал), определяют по наибольшей час-

— 22 —

тоте (когда интервалы равны) или по наибольшей плот­ ности (когда интервалы не равны). Вычисляют моду по формуле

Mo = -V'mod(mln) +

 

/"mod — '"mod—i

(1.3)

+ А- ('"mod — tfîmod-l) + ('"mod — >Птой+і)

где ,Vmod(mm) — нижняя граница модального

интервала;

/"mod — частота модального интервала.

 

Плотность интервала — отношения частоты

интервала

к его величине.

 

m

 

Рис 4

Пример 1.4. В табл. 4 наибольшая частота, равная 13, соответствует интервалу 52,1—54. Этот интервал и будет модальным:

•%iod(mm) = 52,1; h = 2; /"mod — 13; m m 0 d - i = 9; /"niod+1 = 7.

Подставляя эти значения в формулу (1.10), получим

1 3 - 9

Mo = 52,1 + 2- (13 —9) + (13 —7) = 52,9.

Симметричными вариационными рядами называют та­ кие, в которых частоты вариантов, равноотстоящих от средней линии, равны между собой (рис. 4).

Особенностью симметричных вариационных рядов яв­ ляется равенство трех характеристик:

X = Me = Mo.

Если частоты в вариационном ряду по обе стороны от средней изменяются по-разному, то такие ряды назы­ вают асимметричными, пли скошенными.

Различают правостороннюю и левостороннюю асим­ метрию. Показателем отклонения вариационного ряда от симметрии служит коэффициент асимметрии

kA =

.

(1.4)

а

При /г.л>0 вариационный ряд имеет левостороннюю асим­ метрию, при & а < 0 — правостороннюю асимметрию. Сим­ метричный вариационный ряд характеризуется значени­ ем &д = 0.

§ 4. МЕРЫ ВАРИАЦИИ (КОЛЕБЛЕМОСТИ) ПРИЗНАКА

Степень вариации признака характеризуют несколь­ кими способами. Для приблизительной оценки степени вариации признака пользуются вариационным размахом R, который равен разности между крайними (экстремаль­ ными) значениями признака.

Простое среднее отклонение представляет собой сред­ нюю арифметическую абсолютных значений отклоне­ ний вариантов от средней и вычисляется по одной из сле­ дующих формул:

А

-

ХІ

— Х

(1.5)

 

 

 

 

ХІ

 

m

А = •

Em

(1.6)

 

 

 

В формулах (1.5)

и (1.6)

в прямых скобках заключе­

ны разности между вариантами .и средней. Здесь непо­ средственное суммирование и суммирование после взве­ шивания производится без учета знаков.

Дисперсия о2 (средний квадрат отклонения) является наиболее распространенной характеристикой степени ко­ леблемости признака.

— 84 -

Определяют дисперсию по следующим формулам:

п

1

(1.8)

 

 

2 m

Формула (1.7) пригодна для несгруппированных данных, а формула (1.8)—для данных, сгруппированных в ин­ тервальные ряды.

Корень квадратный из дисперсии а называют среднеквадратическим отклонением, или стандартом. Значения А и а представляют собой абсолютные величины, выра­ женные в тех же единицах измерения, что и варианты. При достаточно большом объеме совокупности и распре­ делении признака в вариационном ряду, близком к нор­ мальному, между а и А имеет место следующая взаимо­ связь:

сг=1,25Д.

Для характеристики степени вариации признака ча­ ще используют относительные показатели — коэффициен­ ты вариации, вычисляемые по формулам:

1 / д = 4 - 1 0 0 '

( L 9 )

А.

 

Основные свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

ас = 0.

2)Если все значения вариантов признака уменьшить

—25 —

На постоянную величину, то дисперсия не изменится:

Z

2

Ох-С

==• Ох •

3) Если все значения вариантов (х,-) уменьшить в к раз, то дисперсия уменьшится в /г2 раз:

22

ОѴ/і = Oxlh • Ii2-

§5. МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Моментом k-ro порядка называют среднее из k-x сте­ пеней отклонений вариантов от некоторой постоянной, величины С:

ah = fa — С)

Если при вычислении средней в качестве весов исполь­ зуют частоты или частости, то моменты называют эмпи­ рическими; при использовании вероятностей — теоретиче­ скими.

Эмпирический момент /г-ro порядка вычисляют по формуле

2 (ХІ

— С) >чп

 

* -

 

ът

•

(1-П>

Различают следующие моменты:

 

 

1) Начальные моменты

(С = 0):

 

 

а л =

—

.

 

(1.12)

Начальный момент нулевого порядка (А = 0):

ао =

Sx;

• Oh

1,

—

=

 

1,/ПІ

(k—l):

начальный момент первого порядка

ai =

ЪХІ-ГПІ

_

— г

=

X

и т. д.

2) Условные моменты (С — произвольная величина). В целях упрощения вычислений в выражении (1.11) зна­ чение С берут близким к предполагаемому среднему арифметическому. В этом случае значение С называют ложным нулем.

— 26 —

Условные моменты относительно ложного нуля нахо­ дят из выражения

 

 

 

 

2(*j —

C)h-im

 

 

 

 

п

= л ± ъ £ — • •

•

(,-,з>.

3)

Центральные

 

моменты

(С — Х).

Между

централь­

ными

и условными

моментами существует следующая

связь;

 

 

 

 

 

 

 

 

cte° =

 

ft*te'-(ai')a],

 

 

 

 

а3 ° =

/і3 [а3 ' -

За/ • а2 ' +

2 ( а / ) 3 ] ,

 

(1.14)

 

а4° =

hk[a[

— 4а/аз + ба2 ' (al)2—

3(аі ) 4 ] .

Обозначим в выражении (1.11) х—С = |, тогда фор­ мула для вычисления условного момента А-го порядка примет вид

а к = - ^ г -

( 1 Л 5 )

Условный момент первого порядка (А=1)

ai

2 £ - m

2 m "

 

Условный момент второго порядка (А = 2)

,2g2 -m

a2 == —

2 m

и т. д.

Пример 1.5. Вычислим условные и центральные мо­ менты для вариационного ряда, приведенного в табл. 3. Все вычисления расположим в табл. 7.

Подставляя соответствующие значения, полученные из табл. 7, в выражение (1.15), находим значения условных моментов:

ai = — 1,1;

02 = 2,8;

а3

=

— 5,9;

= 16,6.

Определяем значение

X

:

 

 

 

X = haï

+ С = 2(—

1,1) + 55 =

52,8,

где h — шаг интервала

(класса)

в табл. 7,

а С —значе­

ние ложного нуля

(в примере С =

55).

 

Смотрите также файлы