Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Центральный угол, соответствующий той их этих дуг, ко­ торая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу. На рис. 80 центральный угол, соответствующий вписанному углу,

АОВ равнобедренный с боковыми сторонами ОА и ОВ. Его углы А и В равны. Внешний угол треугольника при вершине О равен сумме углов А к В. Отсюда следует, что угол ВАС равен половине соответствующего центрального угла.

Рис. 82.

* Пусть теперь ни одна из сторон вписанного угла не яв­ ляется диаметром. Проведем диаметр из вершины А впи­ санного угла. Будем различать два случая: 1) стороны угла А

соответствующий углу А, меньше полуокружности (рис. 82,

слева), то отсюда заключаем, что £ В А С = ~ / В О С . Сле­

довательно, угол ВАС равен половине соответствующего центрального угла.

74

Если центральный угол, соответствующий вписанному

равен половине соответствующего центрального угла. Второй случай, когда диаметр AD не разделяет стороны

угла А, рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Из теоремы 11.5 следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окруокности, а вер­ шины лежат на одной из дуг, определяемых прямой АВ, равны (рис. 83). В частности, углы, опирающиеся на диа­ метр, прямые.

Пусть АВ — хорда окружности (рис. 84). Проведем касательную к окружности в точке А. Точка А разбивает касательную на две полупрямые, полукасательные. Угол между полукасательной и хордой и центральный угол,

отвечающий той из дуг АВ, которая лежит в одной полупло­ скости с полукасательной относительно прямой АВ, на­ зываются соответствующими.

Те о р е м а 11.6. Угол между хордой и полукасательной

вее концевой точке измеряется половиной соответствующего центрального угла.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем сначала угол между полукасательной и хордой, соответствующий-меньшему цен­ тральному углу (рис. 84). В этом случае угол между полу­

касательной и хордой равен 90°—/ О А В , но угол ОАВ

равен у (180° — / А О В ) . Поэтому интересующий нас угол

равен у /_ АОВ, т. е. половине соответствующего централь­ ного угла. Угол между другой полукасательной и хордой

75

будет смежным и поэтому равен 180° —\ Z- АОВ. А это как

раз половина дополнительного центрального угла. Теорема доказана.

Вписанная и описанная окружности. Мы будем говорить, что точка X лежит внутри треугольника АВС (рис. 85), если она лежит по одну сторону с точкой А относительно прямой ВС, по одну сторону с точкой В относи­ тельно прямой АС и по одну сторону с точкой С относительно прямой АВ.

Окружность с центром внутри треу­ гольника, касающуюся его сторон, будем называть вписанной в треуголь­ ник.

Докажем, что центр окружности, вписанной в треуголь­ ник, лежит на пересечении его биссектрис (рис. 8 6 ).

Пусть О — центр вписанной окружности. Так как точ- 'ка О лежит внутри треугольника, то полупрямая АО лежит в одной полуплоскости с полупрямой АВ относительно пря­ мой АС и в одной полуплос­ кости с полупрямой АС от­ носительно прямой АВ. Сле­ довательно, полупрямая АО проходит между полупрямы­ ми А В и АС.

Пусть Сц и В г— точки ка­ сания сторон треугольника АС и АВ с окружностью. Прямоугольные треугольники

АОС, и АОВ, равны. У них гипотенуза АО общая, а катеты OCi и ОВг равны как радиусы. Отсюда следует равенство уг­ лов ОАС] и ОАВу. А это значит, что центр окружности лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Аналогично доказываем, что центр окружности лежит на двух других биссектрисах треугольника.

Докажем теперь, что в любой треугольник можно вписать окружность.

Проведем две биссектрисы треугольника (рис. 87). Они пересекаются в некоторой точке О. (То, что биссектри­ сы пересекаются, доказывается дословно так же, как то, что пересекаются медианы.) Опустим из точки О перпен­ дикуляры OAlt 05] и ОС] на прямые АВ, АС, и ВС. Пря­ моугольные треугольники А 0 В х и А0СЛ равны. У них

76

гипотенуза АО общая, а углы OABt и OACt равны, потому что АО — биссектриса. Следовательно, OBx—OCi. Анало­ гично доказывается, что ОС^—ОАг.

Окружность с центром О и радиусом ОА 1 касается сторон треугольника в точках Aj, £х и Си т. е. явля­ ется вписанной окружностью.

Окружностью, описанной около треугольника, называется окруж­ ность, которая проходит через каждую из вершин треугольника.

Докажем, что около любого тре­ угольника можно описать окруж­ ность.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть АВС—данный треуголь­ ник. (рис. 8 8 ) Проведем через середины сторон АВ и АС треу­

Из равенства прямоугольных треугольников AOBt и СОВг сле­ Рис. 88. дует, что ОА=ОС. Из равенства прямоугольных треугольников

АОСх и ВОСх следует, что ОА=ОВ. Поэтому окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все три вершины треугольника АВС и, следовательно, является описанной окружностью.

З а д а ч а . Построить каса­ тельные к данной окружности с центром О, проходящие через дан­ ную точку А, лежащую вне круга.

Р е ш е н и е (рис. 89). Строим окружность на отрезке ОА, как на диаметре. Пусть В и С — точ­

ки пересечения этой окружности с данной. Прямые АВ и АС являются касательными данной окружности, так как углы ОВА и ОСА прямые (теорема 11.5).

77

Вопросы для повторения

1. Что такое окружность, центр окружности, радиус, хорда, диаметр?

2.Докажите, что диаметр является осью симметрии окружности,

ацентр является центром симметрии.

3.Докажите, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду пополам.

4.Докажите, что всякая хорда не больше диаметра и равна

диаметру только тогда, когда сама является диаметром.

5.Объясните, что такое дуга окружности? Какая дуга называется дугой, меньшей полуокружности? Какая дуга называется дугой, боль­ шей полуокружности?

6.Что такое центральный угол, отвечающий данной дуге окруж­

ности?

7. Как определяется градусная мера центрального угла?

8.Что такое угол, вписанный в окружность? Какой центральный угол называется соответствующим данному вписанному углу?

9.Докажите теорему: угол, вписанный в окружность, равен по­ ловине соответствующего центрального угла.

10.Докажите, что угол между хордой и полукасательной в ее кон­ цевой точке измеряется половиной соответствующего центрального угла.

11.Объясните, что значит: точка лежит внутри треугольника? Какая окружность называется вписанной в треугольник?

12.Докажите, что в любой треугольник можно вписать окруж­ ность. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.

13.Какая окружность называется описанной около треугольника? Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность

ипритом только одну.

Упражнения

14.Докажите, что если прямая имеет с окружностью общую точку и не касается окружности в этой точке, то она имеет еще одну об­ щую точку с окружностью.

15.Докажите, что прямая не может пересекать окружность в трех

точках.

16.Провести окружность данного радиуса, касающуюся сторон данного угла.

17.Найти окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей. Какое наибольшее число решений может иметь задача?

18.Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опу­ щенных из данной точки А на прямые, проходящие через данную точку В.

19.Найти геометрическое место вершин треугольников с данным основанием АВ и заданным углом при вершине С.

20.Построить треугольник АВС по стороне АВ, углу С и высоте

коснованию АВ.

21.Найти геометрическое место середин хорд, проходящих через данную точку.

22.АВС — треугольник. Построить окружности, касающиеся трех прямых АВ, АС и ВС. Сколько существует таких окружностей?

23.Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена произвольная прямая, пересекающая окружности в точках X

иY. Доказать, что угол XAY не зависит от взятой прямой.

,78

ружности, если его стороны касаются окружности. Докажите, что у опи­ санного четырехугольника суммы противолежащих сторон одинаковы.

§ 12. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Основной признак подобия треугольников. Треугольни­ ки АВС и AiBiCi называются подобными, если у них

Короче говоря, треугольники подобны, если у них соот­ ветствующие углы равны, а соответствующие стороны про­ порциональны. Подобие треугольников обозначается знач­ ком ~ . В данном случае ДАВС ~ АА^ВтС^.

угольника равна двум прямым, то из равенства углов А и А г, В и Вг следует равенство углов С и Ci. Докажем пропор­ циональность сторон треугольников АВС и ЛАС*.

Отложим на полупрямой АВ отрезок ЛБ2, равный Л А (рис. 90, слева). Для определенности будем считать, что

79