Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Пусть имеем некоторое движение, т. е. взаимно одноз­ начное отображение плоскости на себя, сохраняющее рас­ стояния. Пусть F — произвольная фигура в этой плоскости. Когда точка X описывает фигуру F, соответствующая ей точка X i описывает некоторую фигуру F,. Относительно фигуры Л мы будем говорить, что она получена движением из фигуры F. Мы будем говорить также, что при движении фигура F переходит в Ft. Фигура Fu получаемая движением из фигуры F, называется равной F.

. Из теоремы 10.1 следует, что при движении прямые пере­ ходят в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в от­ резки.

Пусть АВ и АС — две полупрямые, исходящие из общей точки А, не лежащие на одной прямой. При движении эти полупрямые перейдут в некоторые полупрямые А ХВ Х и

углов ВАС и В ХА ХСХ. Следовательно, при движении сохра­ няются углы между полупрямыми.

носительно прямой а. Отображение плоскости на себя, при котором точке X сопоставляется точка Х х, симмет­ ричная относительно прямой а, называется преобразова­ нием симметрии или зеркальным отражением относи­ тельно прямой а.

Т е о р е м а 1 0 .2 . Зеркальное отражение относительно прямой есть движение.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть X и Y — две произ­ вольные точки и Xj, Y x— соответствующие им симметрич­ ные относительно прямой а точкиУтверждение теоремы

мой, перпендикулярной а, устанавливается то же равенство X xYx= X Y . Читателю предлагается доказать это в качестве упражнения. Теорема доказана.

Если при зеркальном отражении относительно прямой а фигура ^'переходит в себя, то эта фигура называется сим­ метричной, а прямая а называется осью симметрии фигуры.

Биссектриса угла при вершине равнобедренного треуголь­ ника является его осью симметрии. Диагонали ромба яв­ ляются его осями симметрии. Прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллель­ но его сторонам, являются осями симметрии. Диагонали квадрата и прямые, проходящие через точку пересечения

66

X не совпадает с О, то точка X, принадлежит полупрямой, дополнительной к полупрямой ОХ, причем расстояние ОХ 1 равно ОХ. Построенная так точка Xi называется сим­ метричной относительно точки О. Преобразование пло­ скости в себя, при котором каждой точке X по указанному

точки при симметрии относительно точки О. Теоремой ут­

переходит сама в себя, то она называется центрально-сим­ метричной. Точка О называется центром симметрии. Па­ раллелограмм является центрально-симметричной фигу­ рой. Центром симметрии является точка пересечения диа­ гоналей.

Параллельный перенос. Параллельным переносом назы­ вается такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние.

Т е о р е м а 10.4. Каковы бы ни были точки А х и А г, существует и притом единственный параллельный перенос, при котором точка А х переходит в Л 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 73). Отметим точку А, не лежащую на прямой А гА г, и обозначим Ох и 0 %середины

отрезков А ХА и А 2А. Пусть X — произвольная точка пло­ скости. Построим симметричную ей точку Хх относительно точки Ог и затем точку Х 2, симметричную точке Х г отно­ сительно точки 0 2. Преобразование плоскости, при котором точке X сопоставляется точка Х 2, есть движение, так как симметрия относительно точки Ог и симметрия относительно

А ХА 2. Точки Xj и Х 2 различаются тем, что они находятся по

довательно, точка В должна остаться неподвижной. Но это невозможно, она должна сместиться на расстояние, равное А хА 2. Таким образом, точке X при рассматривае­ мом параллельном переносе может соответствовать только точка Х х. Однозначность в построении точки Хь соответ­ ствующей точке X, и обозначает, единственность параллель­ ного переноса. Теорема доказана.

68

Поворот. Поворотом на угол ф относительно точки О называется такое движение, при котором точка О остается неподвижной, а каждый луч, исходящий из точки О, по­ ворачивается на угол ф, т. е. образует угол ф с соответ­ ствующим ему лучом.

вижная точка. Проведем из нее лучи ai и V При движении они перейдут в лучи а2 и Ь2. Углы

прямая пересечет лучи а2 и Ь2 в точках А 2 и В 2. В случае первого варианта при симметрии относительно прямой s точка А у переходит в Л2, а точка В г и В2. Так как точка О переходитпри этом в себя, тоОЛ ^ О Л г, ОВг=ОВ2. Поэтому для первого варианта точки А х и А 2, B t и В 2 являются соот­ ветствующими при движении, о котором идет речь в теореме.

Так как всякое движение сохраняет расстояния между точками и порядок расположения точек на прямой, то в случае первого варианта любая точка X прямой A tBi и при данном движении и при симметрии относительно прямой s переходит в одну и ту же точку. В частности, точка D неподвижна. Но это невозможно, так как при данном дви­ жении неподвижна только точка О. Следовательно, первый вариант невозможен.

69