Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Остается второй вариант. В этом варианте соответству­ ющими при симметрии относительно прямой s являются прямые Й! и ft2, bi и а 2. При этом углы (й1 й2) и (&i&2) явля­ ются соответствующими по симметрии, а следовательно, равны. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что два зеркальных отражения,

выполненные последовательно относительно двух пересе­ кающих прямых, дают поворот.

Действительно, движение, которое получается в ре­ зультате зеркальных отражений относительно двух пере­ секающихся прямых, оставляет неподвижной только одну точку — точку пересечения прямых. А по теореме 10.5 такое движение есть поворот.

Вопросы для повторения

1. Объясните, что такое движение? Какие фигуры называются равными?

2.Докажите теорему 10.1: если при движении три точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки Av Ви Clt то эти точки также лежат на прямой. Если точка В лежит между А и С, то точка В, лежит между А1 и С].

3.Докажите, что при движении прямые переходят в прямые, прямые пересекающиеся в прямые пересекающиеся, прямые параллель­ ные в прямые параллельные.

4.Объясните, что такое симметрия относительно прямой?

5.Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение. в. Докажите, что пунктирные линии фигур, изображенных на

рис. 70, являются осями симметрии этих фигур.

7.Объясните, что такое преобразование симметрии относительно

точки?

8.Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.

9.Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма есть центр симметрии.

10.Что такое вращение?

11.Что такое параллельный перенос?

Упражнения

12.Доказать, что если при движении две точки А и В неподвижны, то все точки прямой АВ неподвижны.

13.Доказать, что если три точки, не лежащие на одной прямой, неподвижны, то все точки неподвижны.

14.Доказать, что для совмещения любых двух равных отрезков достаточно не более чем двух зеркальных отражений.

15.Докажите, что для совмещения любых двух равных треуголь­ ников достаточно не более чем трех зеркальных отражений.

16. Докажите, что для получения любого движения достаточно не более чем трех зеркальных отражений.

.70

17.Докажите, что если а и b — оси симметрии фигуры, то прямая,

симметричная а относительно прямой Ь,.тоже является осью симметрии фигуры.

18.Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный.

19.Докажите, что у треугольника не может быть центра симметрии.

20.Докажите, что если А и В — центры симметрии фигуры, то точка Л(, симметричная А относительно В, тоже является центром симметрии. Поэтому у фигуры бесконечно много центров симметрии.

21.Докажите, что два зеркальных отражения, выполненные по­ следовательно относительно двух параллельных прямых, дают парал­ лельный переное.

22.Докажите, что два последовательных преобразования симмет­ рии, выполненные относительно точек А и В, дают параллельный перенос.

23.Дана прямая и две точки А и В, не лежащие на прямой. Найти на прямой точку С, сумма расстояний которой от точек А и В была бы наименьшей. Рассмотреть два случая: 1) точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно данной прямой, 2) точки А и В лежат в од­

ной полуплоскости относительно данной прямой.

§ 11. ОКРУЖНОСТЬ

Простейшие свойства окружности. Окружностью назы­ вается геометрическое место точек плоскости, равноуда­ ленных от некоторой данной точки. Эта точка называется центром окружности, а расстояние от центра до точек ок­ ружности называется радиусом окружности. Радиусом на­

окружности. Итак, при симметрии относительно диаметра

71

окружность переходит в себя, т. е. диаметр является осью симметрии окружности.

Построим теперь точку Х 2, симметричную точке X, относительно центра О окружности (см. рис. 76). По опре­

ОС — общая, а А С -С В , потому что С — середина отрезка АВ. Из равенства этих треугольников следует, что их углы

но провести только одну прямую, перпендикулярную пря­

72

точка В отстоит от центра окружности на расстоянии, боль­ шем радиуса. Следовательно, точка В не принадлежит ок­ ружности. Теорема доказана.

Центральные углы.Пусть А и В — две точки окружности (рис. 79). Проведем через них прямую. Она разбивает пло­ скость на две полуплоскости. Части окружности, лежащие в этих полуплоскостях, мы будем называть дугами -окруж­ ности. Если АВ —диаметр, то дуги окружности называются

полуокружностями.

Если хорда АВ не является диаметром, то мы различаем дуги окружности следующим образом. Одна из полупло­

дуги, большей полуокружности, не пересекают хорду АВ. Центральным углом, отвечающим данной дуге окруж­ ности, мы будем называть фигуру, которая состоит из лу­ чей, исходящих из центра окружности и пересекающих эту дугу. На рис. 79 показаны лучи центрального угла, большего полу­

окружности.

Для центральных углов опреде­ ляем градусную меру по следующе­ му правилу. Если соответствующая

дуга ЛВ меньше полуокружности, то за меру центрального угла при­ нимаем обычную меру угла, образо­ ванного полупрямыми ОА и ОБ.

Если дуга равна полуокружности, т. е. АВ диаметр, то угловую меру полагаем равной 180°. Наконец, если дуга больше полуокружности, за угловую меру принимаем 360°— а°, где а°— градусная мера дополнительного угла (меньшего полуокружности).

Вписанные углы Угол, вершина которого А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С, отличных от А, называется вписанным в окружность (рис. 80). Прямая ВС разбивает окружность на две дуги.

73