Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Пусть теперь прямая а пересекает плоскость а, но не перпендикулярна этой плоскости. Проведем через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости а (рис. 175). Эта плоскость пересечет плоскость а по некоторой прямой

аи а равен нулю. А угол между прямой а и перпендикуляром

кплоскости а равен 90°. Утверждение теоремы очевидно. Если прямая а перпендикулярна плоскости а, то перпен­ дикуляр к плоскости а либо совпадает с а либо ей паралле­

а угол между прямой а и перпендикуляром к плоскости а равен нулю. Утверждение теоремыочевидно.

Рассмотрим общий случай. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А (рис. 176). Проведем через точку А прямую п, перпендикулярную к плоскости а. Три прямые,

а, й и п, лежат в одной плоскости— плоскости, проектиру­ ющей прямую а на плоскость а. Так как угол между п и d равен прямому, то главные значения углов между прямыми

аи п, 5 и а дополняют друг друга до 90°. Теорема доказана.

Те о р е м а 21.3. Пусть а и b — параллельные прямые,

аи Р — параллельные плоскости. Тогда угол между прямой

аи плоскостью а равен углу между прямой b и плоскостью р.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а' и Ь'— прямые, пер­ пендикулярные плоскостям а и р соответственно. Прямые а' и Ь' либо параллельны либо совпадают. По теореме 21.1 углы между прямыми а и а , b и Ь' равны. Следовательно, дополняющие их до 90° углы тоже равны. По теореме 21.2

149

отсюда заключаем о равенстве углов между прямой а и плоскостью а, прямой b и плоскостью р. Теорема доказана.

Угол между плоскостями. Определим понятие угла между двумя плоскостями. Если плоскости а и Р параллельны или совпадают, мы полагаем угол между ними равным нулю.

Пусть плоскости а и Р не совпадают и не параллельны. Тогда они пересе­ каются по некоторой прямой с (рис. 177). Проведем плоскость у, перпендикулярную прямой с. Она пересечет плоскости а и р по пря­ мым а и Ь. За угол между плоскос­ тями а и р мы принимаем угол, равный углу между прямыми а и Ь. Определяемый таким образом

угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости у.

Действительно, пусть у '— другая плоскость, перпендикулярная прямой с. Она пересекает плоскости а и Р по прямым а' и Ь', параллельным а и Ь. Следовательно, прямые а' и Ь' образуют тот же угол, что

ипрямые а, Ь.

Те о р е м а 21.4. Угол между плоскостями а и Р равен углу между перпендикулярами а и b к этим плоскостям.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего отметим сле­ дующее свойство. Пусть а и b — две перпендикулярные прямые, лежащие в одной плоскости. Пусть с — любая прямая в той же плоскости, прохо­ дящая через точку пересечения пря­ мых а и Ь. Тогда углы, которые обра­ зует прямая с с прямыми а и Ь, допол­ няют друг друга до 90° (рис. 178).

Теперь перейдем к доказательству теоремы.

Если плоскости а и Р параллельны или совпадают, то перпендикулярные

им прямые а и b тоже либо параллельны либо совпадают. В этом случае угол между плоскостями и угол между пря­ мыми равен нулю. Следовательно, угол между плоскостями равен углу между перпендикулярными им прямыми.

Пусть теперь плоскости а и Р не совпадают, не параллель­ ны и, следовательно, пересекаются по некоторой прямой с.

150

§22. ДВУГРАННЫЕ, ТРЕХГРАННЫЕ

ЙМНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Определение двугранного и трехгранного угла. Пусть а

и Р — две плоскости, пересекающиеся по прямой с. Прямая

сразбивает каждую из плоскостей а и р на две полупло­ скости. Отметим в каждой из плоскостей по одной полу­

не лежащие в одной плоскости (рис. 181). Полупрямые а, Ь, с образуют три угла: (ab), (Ьс), {ас). Фигура, составленная из

152