Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

точка В. Так как точки А и В лежат в разных полуплоскос­ тях относительно прямой, содержащей луч с, то и полупрямые а и 6 лежат в разных полуплоскостях. Тео­ рема доказана.

Вопросы для повторения

1.Что такое геометрическое доказательство?

2.Что такое теорема?

3.Приведите пример теоремы и ее доказательства.

4.Что такое аксиома?

б. Сформулируйте аксиомы принадлежности точек и прямых.

6.Сформулируйте аксиомы измерения отрезков и углов*

7.Сформулируйте аксиомы откладывания отрезков и углов.

8.Назовите основные геометрические понятия.

9. Приведите примеры производных геометрических понятий

идайте их определение через основные.

10.Какими свойствами геометрических фигур разрешается поль­ зоваться при доказательстве теоремы?

11.Как используется чертеж при доказательстве теоремы?

12.Из каких двух частей состоит формулировка теоремы? Как они называются?

13.Сформулируйте и докажите теорему о расположении углов, отложенных в одну полуплоскость (теорема 2.2).

Упражнения

16. На плоскости даны четыре точки Лх, *4», Д3, Л4 и прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что отрезки *4Л*43 и Л3Л4 пересекаются с прямой а, а отрезок ЛаЛ3 не пересекается с этой прямой. Пересекает ли прямую а отрезок Л^Л4? Объяснить ответ.

17.На плоскости даны четыре точки, А, В, С, D. Доказать, что если отрезки АВ и CD пересекаются, то точки В и D лежат в одной полу­ плоскости относительно прямой АС.

18.Докажите, что если луч с проходит между сторонами угла (ab), то он пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла (ab).

19.Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими, если отрезок Д В =10 см, А С = 7 см, ВС= 3 см? Объяснить ответ.

20.Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если от­ резок АВ=5 см, ВС=6 см, АС=1 см? Объяснить ответ.

21. Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Отрезок АВ равен 4 см, а отрезок ВС равен 3 см. Чему равен отрезок АС, если точка В лежит между Л и С? Чему равен отрезок АС, если точка А лежит между

Вк С. Объяснить ответ,

22.Четыре точки Д , В, С, D лежат на одной прямой. Точка В лежит

между Л и С, а точка С между В и D. Доказать, что точка С лежит между Л и D. ( У к а з а н и е . Полупрямые СА и CD — дополнительные.

Точка В лежит на полупрямой СА .)

28

§ 3. УГЛЫ

Смежные углы. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. На рис. 23 углы (аф) и (аф) смежные.

Пусть С — точка на прямой АВ, лежащая между точ­ ками А и В, a D — точка, не лежащая на прямой АВ (рис. 24). Тогда углы BCD и ACD — смежные. У них сто­ рона CD общая. Стороны СА и СВ являются дополнитель­ ными полупрямыми прямой АВ, так как точки А и В этих

смежные углы (рис. 23). Луч Ь проходит между сторонами

стороны одного угла' являются дополнительными полупря­ мыми сторон другого. На рис. 25 углы (афг) и (аф2) яв­ ляются вертикальными углами.

Т е о р е м а 3.2. Вертикальные углы равны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (аф^) и (аф2) — данные вертикальные углы (рис. 25). Угол (аф») является смежным углу (афх) и углу (аф2). Отсюда по теореме 3.1 заключаем,

29

Прямой угол. Перпендикулярные прямые. Угол, равный 90°, называется прямым углом. Из теоремы 3.1 следует, что

полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис. 27). От­ ложим от полупрямой ах угол (аф0, равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч Ьи будет перпендикулярна прямой

а.

Допустим, что, кроме постро­ енной прямой, существует дру­ гая прямая, тоже проходящая через точку А и перпендикуляр­ ная прямой а. Обозначим через

полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом Ьх.

Углы (афд и (aiCi), равные по 90° каждый, отложены в

одну полуплоскость от полупрямой Ci. Но по аксиоме IV2 от полупрямой ах в данную полуплоскость можно отло­ жить только один угол, равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендику­ лярной прямой а. Теорема доказана.

Вопросы для повторения

1. Какие углы называются смежными?

30

4. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

б. Какие углы называются вертикальными?

6.Докажите, что вертикальные углы равны.

7.Какой угол называется прямым?

к ней перпендикулярную прямую.

Упражнения

11.Угол (аб) равен 120°, а угол (ас) равен 150°. Чему равен угол (Ьс), если лучи б и с расположены в одной полуплоскости относительно пря­ мой, содержащей луч а? Чему равен угол (бс), если лучи б и с располо­ жены в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей луч а?

12.Чему равны смежные углы, если один из них в два раза больше

другого?

13.Чему равны смежные углы, если один из них на 30° больше

другого?

14.Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что углы АОС и BOD вертикальные.

15.Один из углов, которые получаются в пересечении двух прямых,

равен 60°. Найти остальные углы.

§ 4. РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Второй признак равенства треугольников. Первый приз­ нак равенства треугольников дает аксиома V. Второй приз­ нак равенства треугольников дает следующая теорема.

Т е о р е м а 4.1. Если у треугольников АВС и Л ^ С , A B ^A iB x, /,А —/_ А и /_ В = /_ В г, то треугольники равны. Именно, Л С = Л 1 С1, BC = B1Cl, ^ C = ^ C i (рис. 28).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если у треугольников ЛС= = А 1С1, то они равны по первому признаку равенства (ак­ сиома V). Допустим АСфА^Сг. Тогда либо АС>АхСг либо AC</4xCi. Пусть для определенности Л С > Л ХС1 . -

Отложим на полупрямой АС отрезок ЛСа, равный А 1 Ci. По теореме 1.5 точка Са лежит между Л и С. Треуголь-

31