Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

сохраняется порядок точек на прямой. Это значит, что если три точки А, В, С лежат на прямой и точка В расположена между Л и С, то соответствующие им точки А ', В ', С также лежат на прямой, причем точка В' лежит между А' и С . Доказательство этого свойства для движения в простран­ стве ничем не отличается от соответствующего доказатель­ ства для движения на плоскости. Поэтому мы его приводить не будем.

При движении в пространстве плоскости переходят в плоскости. Докажем это свойство. Пусть а — плоскость и А, В, С — три ее точки, не лежащие на одной прямой. При движении эти точки перейдут в точки А ', В', С', также не лежащие на одной прямой. Пусть а! — плоскость, про­ ходящая через точки Л ', В', С'. Покажем, что плоскостью при рассматриваемом движении переходит в плоскость а .

Пусть X — произвольная точка плоскости а. Проведем через точку X прямую в плоскости а, пересекающую тре­ угольник АВС в двух точках Р и Q. Точки Р' и Q', соот­ ветствующие Р и Q, принадлежат треугольнику А ' В ' С , а следовательно, и плоскости а '. Так кай прямая PQ перехо­ дит в прямую P'Q', а точка X лежит на прямой PQ, то соответствующая ей точка X' лежит на прямой P'Q', а значит, и на плоскости а. Итак, каждая точка X плоско­ сти а переходит при движении в некоторую точку X' Пло­ скости а '.

Покажем теперь, что каждая точка X' плоскости а' является образом некоторой точки X плоскости а. Для этого

прямой Р Q, а значит, и плоскости а. Утверждение доказано. Аналогично тому как в планиметрии, с помощью дви­ жения определяется равенство пространственных фигур. Именно, две фигуры F и F' называются равными, если они совмещаются движением, т. е. существует движение-, при

котором фигура F переходит в фигуру F'.

Симметрия относительно плоскости и точки. Подобно тому как на плоскости вводится понятие симметрии отно­ сительно прямой, в пространстве вводится понятие сим­ метрии относительно плоскости. Именно, пусть а — произ­ вольная плоскость и X — произвольная точка простран­ ства. Проведем через точку X прямую а, перпендикуляр­

158

нуго плоскости а. Она пересечет плоскость а в некоторой точке А. Построим теперь точку X ' по следующему пра­ вилу. Если точка X лежит на плоскости а, то X ' совпадает

сX. Если же точка X не лежит на плоскости а, то X ' лежит

вдругом полупространстве относи­

тельно плоскости а, причем рас­ стояния А Х и А Х ' равны (рис. 187). Точка X ' называется симметричной точке X относительно плоскости а. Отображение пространства на себя, при котором точке X сопоставляет­ ся точка X ', симметричная от­ носительно плоскости а, называ­ ется преобразованием симметрии или зеркальным отражением от­ носительно плоскости а.

Подобно тому как зеркальное отражение относительно прямой на плоскости, зеркальное отражение относительно плоскости в прост­

ранстве есть движение. Для доказательства этого утверж­ дения достаточно заметить, что зеркальное отражение в пространстве относительно плоскости а для каждой плос­ кости р, перпендикулярной а, сводится к зеркальному от­ ражению относительно прямой, по которой плоскость а пересекает плоскость р. Поясним это.

Пусть Р и Q — две произвольные точки пространства. Проведем через прямую Р Q плоскость р, перпендикулярную плоскости а. Она пересечет плоскость а по некоторой пря­ мой Ь. Точки Р' и Q', симметричные точкам Р и Q относи­ тельно плоскости а, будут симметричны точкам Р и Q отно­ сительно прямой Ь. Действительно, прямые, перпендику­ лярные плоскости а и проходящие через точки Р и Q, лежат

вплоскости Р и перпендикулярны прямой Ь. Так как сим­ метрия в плоскости относительно прямой сохраняет рас­ стояния (PQ =P'Q '), то этим свойством обладает и сим­ метрия относительно плоскости в пространстве. Следова­ тельно, симметрия относительно плоскости есть движение.

Преобразование симметрии относительно данной точки

впространстве определяется дословно так же, как и на плоскости. Так же как и на плоскости, преобразование сим­ метрии относительно точки в пространстве есть движение.

Для доказательства достаточно заметить, что преобразова­ ние симметрии в пространстве относительно данной точки

169

О в каждой плоскости а, проходящей через точку О, сво­ дится к преобразованию симметрии в этой плоскости отно­ сительно той же точки О.

С помощью понятия симметрии относительно плоскости и относительно точки вводятся понятия плоскости симмет­ рии и центра симметрии для пространственных фигур, по­ добно тому как для плоских фигур определяются оси сим­ метрии и центр симметрии.

Параллельный перенос и поворот в пространстве. Па­ раллельный перенос в пространстве определяется также как параллельный перенос на плоскости. Именно, параллель­ ным переносом называется такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние.

Так же как и на плоскости, две симметрии относительно точек Оу и О,, выполненные последовательно, дают параллель­ ный перенос, при котором точки пространства смещаются по прямым, параллельным прямой на расстояние, равное удвоенной длине отрезка OiOa.

Так же как и на плоскости, параллельный перенос в про­ странстве полностью определяется заданием двух соответ­ ствующих точек.

Доказательство отмеченных свойств параллельного пе­ реноса в пространстве проводится дословно так же, как доказательство соответствующих свойств параллельного переноса на плоскости. Поэтому мы не будем приводить эти доказательства.

Поворотом около прямой а на угол а называется такое движение, при котором точки прямой а остаются непод­ вижными, а полуплоскости, ограниченные прямой а, по­ ворачиваются на угол а, т. е. каждая такая плоскость об­ разует с соответствующей плоскостью двугранный угол с ребром а, равный а. Прямая а называется осью поворота,

а угол а — углом поворота.

Два зеркальных отражения относительно пересекающих­ ся плоскостей а и |3, выполненные последовательно, дают по­ ворот около прямой с, по которой плоскости пересекаются.

Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что в плоскости у, перпендикулярной прямой с, преобразо­ вание сводится к двум зеркальным отражениям относитель­ но прямых, по которым плоскость у пересекает плоскости а и р. А такие два зеркальных отражения, как известно, дают поворот относительно точки пересечения плоскости у с прямой с.

160

Преобразование подобия и гомотетия в пространстве. Дословно так же, как на плоскости, определяются преобра­ зование подобия в пространстве, а также простейшее преоб­ разование подобия — гомотетия. Преобразование подо­ бия в пространстве переводит прямые в прямые, плоскости в плоскости, сохраняет углы между прямыми и плоскостями.

Фигура F ', в которую переходит фигура F при преобра­ зовании подобия, называется подобной F. Фигура, подобная треугольнику, есть подобный ему треугольник. Расстояния между соответствующими точками подобных фигур нахо­ дятся в одинаковом отношении, равном коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных фигур равно

любой фигуры, допускающей разбиение на треугольники. Проектирование плоскости на плоскость. До сих пор шла речь о различных преобразованиях пространства в себя. Сейчас мы рассмотрим одно важное преобразование одной плоскости в другую, называемой проектированием. Пусть а и р — две любые плоскости и h — прямая, пересекающая

точке X сопоставляется ука­

занным образом точка X ', называется параллельным проек­ тированием плоскости а на плоскость р. Параллельное про­ ектирование, очевидно, является одно-однозначным отобра­ жением. Если проектирующие прямые перпендикулярны плоскости р, то проектирование называется ортогональным.

При параллельном проектировании плоскости а на плос­ кость р прямые переходят в прямые и сохраняется порядок точек на прямой. Прямые параллельные переходят в пря­ мые параллельные, а прямые пересекающиеся в прямые пересекающиеся. Сохраняется отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых. Доказательство этих свойств достаточно просто и предоставляется читателю.

Пусть F—фигура в плоскости а. Когда точка X описыва­ ет фигуру F, соответствующая ей точка X ' при параллельном

161.