Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

проектировании описывает фигуру F' в плоскости (J. Фигура F' называется проекцией фигуры F.

Т е о р е м а 23.1. Площадь фигуры F и площадь ее ор­ тогональной проекции F' связаны соотношением

S' —S cos а,

где а — угол между плоскостями, в которых лежат фигура F и ее проекция F'.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы ограничимся случаем, когда фигура F допускает разбиение на треугольники.'4В этом случае, очевидно, достаточно доказать, что теорема верна для треугольника. Итак, пусть F есть треугольник. Обоз­ начим через а плоскость, в которой ле­

Ажит F, а через (3 — плоскость, на кото­

рую проектируется F. Если плоскость а параллельна р, утверждение теоремы очевидно, так как фигура F' равна F

иполучается из F параллельным пере­ носом в направлении, перпендикулярном плоскостям.

Пусть плоскость а не параллельна (5

ипересекает ее по некоторой прямой с. Не ограничивая общности, можно счи­ тать, что одна сторона треугольника F параллельна прямой с. Этого можно

всегда добиться разбиением треугольника F на два тре­ угольника. Более того, можно считать, что одна сторона треугольника просто лежит на прямой с. Этого можно до­ биться переходом от плоскости (3 к плоскости |3', параллель­ ной р.

Итак, теорему достаточно доказать для случая, когда фигура есть треугольник с основанием на прямой с, по ко­ торой пересекаются плоскости а и р (рис. 189). В этом слу­ чае оба треугольника F и F' имеют общее основание на прямой с, а их высоты АВ и А 'В связаны соотношением' А 'В = А В cos ф. Соответственно, для их площадей полу­ чается S'=Scos<p.

Теорема доказана.

Упражнения

1. Пусть А — точка, а — проходящая через нее прямая и а плоскость, проходящая через прямую а. Точка м разбивает прямую а на две полупрямые; обозначим через а' одну из них. Прямая а разбивает плоскость а на две полуплоскости; обозначим одну из них через а '.

162

Плоскость « разбивает пространство на два полупространства; обозна­

Доказать, что существует движение, при котором точка А переходит в точку В, полупрямая а' в полупрямую Ь', полуплоскость а' в полу­

плоскость Р ' и полупространство Еа в полупространство Е^.

2. Доказать, что два последовательных преобразования симметрии относительно точек 0 1 и Оа сводится к параллельному переносу в направ­ лении прямой 0 Х0 2 на отрезок, равный 2ОхОа.

3.Доказать, что два последовательных зеркальных отражения относительно параллельных плоскостей сводится к параллельному пере­ носу в направлении, перпендикулярном этим плоскостям на расстояние, равное удвоенному расстоянию между плоскостями.

4.Доказать равенство двух трехгранных углов, если плоские углы

одного угла равны плоским углам другого, или двугранные углы одного угла равны двугранным углам другого.

5. Доказать, что любой треугольник можно получить как ортого­ нальную проекцию правильного треугольника.

§ 24. МНОГОГРАННИКИ

Геометрическое тело. Пусть G — фигура на плоскости. Точка X фигуры G называется внутренней точкой, если все достаточно близкие к X точки плоскости принадлежат фигу­ ре G. Это значит, существует такое положительное число е, что все точки плоскости, расстояния которых от точки X меньше е, принадлежат фигуре G. Фигура G называется областью, если каждая ее точка является внутренней и лю­ бые две ее точки можно соединить ломаной, целиком при­ надлежащей фигуре G. Например, круг без ограничивающей его окружности есть область.

Пусть G — область на плоскости. Точка X плоскости называется граничной точкой для области G, если найдутся сколь угодно близкие к X точки, принадлежащие фигуре G, и точки, не принадлежащие ей. Это значит, каково бы ни было число е > 0 , найдутся точки на расстоянии, меньшем е ют точки X, принадлежащие фигуре G, и точки, не при­ надлежащие фигуре G. Граничные точки образуют границу области G. В приведенном выше примере окружность, огра­ ничивающая круг, состоит из граничных точек. Присоеди­ няя к области G ее граничные точки, мы получаем новую фигуру G. Она называется замкнутой областью.

Внутренние точки выпуклого многоугольника, как мы их определили в планиметрии, образуют область. Присоеди­ няя к этой области сам многоугольник, мы получим замкнутую область. Эту область мы назвали пополненным

163

многоугольником. В настоящем параграфе, так же как и в следующем, слово «многоугольник» будет употребляться в смысле пополненный многоугольник.

Дословно так же, как для плоских фигур, определяют­ ся понятия внутренней точки пространственной фигуры, по­ нятие пространственной области и ее границы. Мы не бу­ дем повторять этих определений. Замкнутая пространствен­ ная область называется телом. Тело, граница которого сос­ тоит из конечного числа многоугольников, называется многогранником. Многоугольники, ограничивающие мно­ гогранник, называются гранями многогранника. Многогран­ ник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждой его грани. В настоящем параг­ рафе мы рассмотрим простейшие многогранники — призмы и пирамиды.

Призма. Пусть а и а — две параллельные плоскости и h — прямая, пересекающая эти плоскости. Пусть Р — вы­

ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В против­ ном случае призма называется наклонной.

Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боко­ вой поверхности) называется сумма площадей боковых гра­ ней. Полная поверхность призмы состоит из боковой по­ верхности и площадей оснований.

Т е о р е м а 24.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. длину боковых ребер.

164

Д о к а з а т е л ь с т в о . Боковые грани прямой приз­ мы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основа­ нии призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S = aJ-\-aJ + . . . -\-anl —pi,

где р — периметр основания призмы, а I — длина боковых ребер. Теорема доказана.

Параллелепипед. Если основание призмы есть парал­ лелограмм, то она называется параллелепипедом (рис. 191). У параллелепипеда все грани— параллелограммы. Диаго­ налью параллелепипеда называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. У параллеле­ пипеда четыре диагонали А 1А 3', А2 А /, А3 А / и АИз'-

Т е о р е м а 24.2. Диагонали параллелепипеда пересе­ каются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

педа АИ з' й А П а' являются диагоналями этого параллело­ грамма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали АИ з' и АИ / , а также диагонали АИ з' и АзА/, пересе­ каются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пе­ ресекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теоре­ ма доказана.

165

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, на­

что грани параллелепипеда суть параллелограммы, следует,

квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его линейных размеров.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 193). Из прямоугольного треугольника А С С по теореме Пифагора получаем

АС'2 = АС2 + СС'2.

Из прямоугольного треугольника ЛСД по теореме Пифагора получаем АС2 = АВ 2-\-ВС2. Отсюда АС'2 = СС'2 + АВ2 + +ВС2.Ребра АВ, ВС и СС не параллельны, а следовательно, их длины являются линейными размерами параллелепипеда.

Пирамида. Пусть Р — выпуклый многоугольник в пло­ скости а и 5 — точка, не принадлежащая плоскости а. Соединим каждую точку X многоугольника Р с точкой S

166

отрезком XS. Отрезки XS заполняют некоторый многогран­

пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

секаются. По известной тео­ реме планиметрии отношения

X'S Y'S

хгГ И T s РавнЬ1> т* е* 0ТН0‘

X'S

шение ттгг= £ не зависит от Ао

взятой точки X. Отсюда следует, что отсекаемая плоско­ стью а ' пирамида получается преобразованием гомотетии относительно точки 5 с коэффициентом гомотетии k из дан­ ной пирамиды, а гомотетичные фигуры подобны.

Пирамида называется правильной, если ее основанием служит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Очевидно, у

167