Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

правильной пирамиды боковые ребра равны, следователь­ но, боковые грани суть равные равнобедренные треуголь­

а число сторон п, то боковая поверхность пирамиды будет

Y п = у ‘ = - |- 1 , где ‘ — апофема, ар — периметр основания.

По теореме 24.5 плоскость а , параллельная плоскости

ляютсобой подобные (более того, гомотетичные) многоуголь­ ники, боковые грани—трапеции. Усеченная пирамида, кото­ рая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пира­ миды суть равные равнобокие трапеции; их высоты назы­ ваются апофемами.

Т е о р е м а 24.7. Боковая поверхность правильной усе­ ченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Доказательство этой теоремы (использующее теорему 24.6) предоставляется читателю.

Правильные многогранники. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правиль­ ными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Грани правильного многогранника могут быть либо рав­ носторонними треугольниками, либо квадратами, либо

168

правильными пятиугольниками. Действительно, начиная с правильного шестиугольника, внутренние углы не меньше 1 2 0 °, а так как в каждой вершине многогранника сходится не меньше трех ребер, то в этом случае у многогранного угла при вершине правильного многогранника сумма плоских углов была бы не меньше 3 -120°=360°. Последнее невозмож­ но, так как мы знаем, что сумма плоских углов любого вы­ пуклого многогранного угла меньше 360°.

Икосаэдр

Если грани правильного многогранника являются пра­ вильными треугольниками, то число ребер при вершине многогранника должно быть не больше пяти. Действительно, при большем их числе сумма плоских углов при вершине многогранника будет не меньше 360°, что невозможно. Та­ ким образом, у правильного многогранника с треугольными гранями число ребер, сходящихся в вершине, может быть только три, четыре и пять. Эти три возможности действи­ тельно реализуются. Соответствующими многогранниками являются правильный тетраэдр, октаэдр и икосаэдр

(рис.' 197). У тетраэдра в каждой вершине сходятся три ребра, у октаэдра — четыре, а у икосаэдра — пять.

Если у правильного многогранника грани — квадраты, - то число ребер, сходящихся в каждой вершине многогран­ ника, не больше трех, следовательно, равно трем. Соот­ ветствующий многогранник — куб (см. рис. 197). .

. 169

Если у многогранника грани — правильные пятиуголь­ ники, то в каждой вершине также сходятся только три ребра. Соответствующий многогранник— додекаэдр (см. рис. 197).

У каждого правильного многогранника все двугранные углы равны. В случае, когда в вершине многогранника сходятся по три ребра, доказательство этого утверждения просто. Действительно, двугранные углы трехгранного угла од­ нозначно определяются плоскими углами. В случае, когда в вершине многогранника сходятся четыре или пять ребер, как у октаэдра и икосаэдра, доказать равенство двугран­ ных углов многогранника значительно труднее. Мы не будем приводить это доказательство.

Упражнения

1.Доказать, что центры граней куба являются вершинами пра­ вильного октаэдра, а центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра.

2.Доказать, что скрещивающиеся диагонали двух параллельных граней куба являются ребрами правильного тетраэдра.

3.Найти двугранные углы правильного додекаэдра.

4.Доказать, что боковая поверхность пирамиды с площадью осно­

вания S и двугранными углами при основании а равна S/cos а.

§ 25. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКЦИОННОГО ЧЕРЧЕНИЯ

Изображение точки на эпюре. Пространственная фигура изображается на плоскости путем проектирования ее па­ раллельными прямыми. Обычно проекция фигуры на одну плоскость не дает полного представления о фигуре. Поэтому пользуются двумя или даже тремя проекциями на две или соответственно на три плоскости. Мы рассмотрим

на плоскости Я и V. Проекция фигуры на горизонтальную плоскость называется горизонтальной проекцией, а проек­ ция на вертикальную плоскость называется вертикальной проекцией. Сами плоскости Я и V называются плоскостями проекций, а прямая х, по которой они пересекаются, называется осью проекций. Выполнив проектирование фигуры

170 -

ции окажутся в одной плоскости. Полученный так чертеж с изобра­ жением обеих проекций фигуры

25.1. Вертикальная и горизон­ тальная проекции точки на эпюре изображаются точками,

171

лежит на прямой, перпендикулярной оси проекций, про­

точка А своими проекциями на эпюре. Построить проекции

кальной плоскости, то его длина равна длине проекции на эту плоскость. О параллельности отрезка АВ вертикальной плоскости мы узнаем по его горизонтальной проекции, которая должна быть параллельна оси проекций.

Допустим, отрезок'АВ не параллелен ни одной из пло­ скостей проекций. Будем поворачивать отрезок А В около прямой, проектирующей его конец А на горизонтальную

положении обозначим через В у. Отрезок А УВ 1 есть гори­ зонтальная проекция отрезка, равного АВ, параллельного вертикальной плоскости. Нетрудно найти его вертикаль­

ную проекцию АгВг. Вертикальная проекция конца В по­ вернутого отрезка получается в пересечении прямой, про­

172