Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

пирамид, определяемых по той же формуле. Сначала рассмотрим специальное разбиение пирамиды, при котором пирамиды, составляющие данную, имеют с ней общую вер­ шину, а их основания разбивают основание данной пира­ миды. Если площади оснований пирамид S lt S 2, . . .. Sn, то сумма их объемов

V = ^ + ? g - + . . . + ^ = j ( S l + S2+ ... + Sn) H = ± S H

действительно равна объему данной пирамиды. Рассмотрим теперь произвольное разбиение данной тре­

угольной пирамиды ABCD на мелкие треугольные пирамиды PQRS. Пусть любые две пирамиды этого разбиения либо не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо общее ребро, либо общую грань.

' Объем пирамиды PQRS можно представить в виде ал­ гебраической суммы объемов четырех пирамид A QRS, PARS, PQAS, PQRA. Эти пирамиды получаются из пира­ миды PQRS заменой одной из ее вершин на вершину А исходной пирамиды. Знак, с которым надо брать слагаемые указанной алгебраической суммы, определяется по следую­ щему правилу. Если вершина, которая заменяется на вер­ шину А, лежит по одну сторону от плоскости противолежа­ щей грани с точкой А, то слагаемое берется со знаком «+», если по разные стороны, то со знаком «—». Если при замене вершиной А четыре точки оказываются расположенными

водной плоскости, то слагаемое опускается, объем счита­ ется равным нулю.

Представив объем каждой пирамиды нашего разбиения

ввиде алгебраической суммы объемов пирамид с вершиной А, сложим объемы всех пирамид разбиения. Мы получим алгебраическую сумму объемов пирамид вида AXYZ, где XYZ — грань пирамиды нашего разбиения. Если грань XYZ лежит внутри исходной пирамиды, то объем пирамиды

A X YZ в нашу сумму входит дважды, потому что грань XYZ принадлежит точно двум пирамидам разбиения. Так как пирамиды расположены по разные стороны их общей грани XYZ, то один раз объем пирамиды AXYZ входит со знаком «+», а второй раз со знаком «—». В результате та­ кие слагаемые сокращаются.

Если грань X YZ принадлежит грани BCD исходной пи­ рамиды, то объем пирамиды A X YZ входит в нашу сумму только один раз, причем со знаком «-)-». Если же грань

184

XYZ принадлежит любой из трех остальных граней, исход­

в грани BCD исходной пирамиды. Но уже было доказано, что эта сумма равна объему исходной пирамиды.

Пусть теперь простое тело разбито в одном случае на

Пирамиды первого и второго разбиения, взятые вместе, производят разбиение нашего тела на выпуклые много­ гранники. Каждый такой многогранник представляет собой общую часть одной из пирамид первого разбиения и одной из пирамид второго разбиения. Эти выпуклые многогран­ ники мы разобьем на мелкие пирамиды Р /" , Р 2" ', Р3'" , • • •. причем, сделаем это так, чтобы любые две пирамиды либо не имели общих точек, либо имели общую вершину, либо общее ребро, либо общую грань. Такое разбиение всегда воз­ можно.

По доказанному объем каждой пирамиды первого раз­ биения равен сумме объемов пирамид P h" ', которые в нее входят. Точно так же объем каждой пирамиды второго раз­ биения равен сумме пирамид P h " ■Поэтому сумма объемов пирамид как первого, так и второго разбиений равна сумме

положные ребра скользят по двум скрещивающимся прямым.

183

4. Плоскость а перпендикулярна боковым ребрам призмы и не пере­ секает оснований. Доказать, что объем призмы равен произведению пло­ щади сечения призмы плоскостью а на длину боковых ребер.

5. Найти объем параллелепипеда, зная его ребра а, Ь, с, исходящие из одной вершины, и углы а , Р , у, образуемые этими ребрами.

когда точка X пробегает окружность круга k. При этом сами отрезки ах называются образующими цилиндра.

Круги k и k! называются основаниями цилиндра.

Круговой цилиндр называется прямым, если его обра­ зующие перпендикулярны основаниям. Мы будем рассма­ тривать только прямые круговые цилиндры. Поэтому слова «прямой» и «круговой» в дальнейшем опускаются.

Прямая, проходящая через центр основания цилиндра параллельно его образующим, называется осью цилиндра. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось ци­ линдра, называется осевым сечением. Плоскость, проходя­ щая через образующую цилиндра перпендикулярно осе­ вому сечению, проведенному через эту образующую, назы­

ра, либо не пересекает боковой поверхности цилиндра либо пересекает по двум образующим, либо касается цилиндра.

Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

1-86

цилиндра. Эта плоскость параллельна основаниям. Па­ раллельный перенос в направлении оси цилиндра, совме­ щающий плоскость Р с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью р с окружностью основания цилиндра. Теорема доказана.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая приз­ ма, у которой плоскости оснований совпадают с плоскостями оснований цилиндра, а боковые ребра являются образую­ щими цилиндра (рис. 216, слева). Призма называется опи­ санной около цилиндра, если плоскости ее оснований яв­ ляются плоскостями оснований цилиндра, а грани каса­ ются боковой поверхности (рис. 216, справа).

187.

зывается осью конуса. Мы будем рассматривать только пря­ мой круговой конус. Поэтому для краткости слова «прямой» и «круговой» будут опускаться.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось,

ности с центром на оси конуса.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — плоскость, про­ ходящая через вершину конуса, и а — прямая, по которой

188