Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

переносом на отрезок АВ, следовательно, имеют одина­ ковые объемы. При описанном преобразовании параллеле­ пипеда сохраняется площадь его основания и высота. Со­ храняются также плоскости двух боковых граней, а две другие становятся перпендикулярными основанию. При­ меняя еще раз такое преобразование, получим параллеле­ пипед с боковыми гранями, перпендикулярными основа­ нию, т. е. прямой параллелепипед. Полученный прямой параллелепипед подвергнем аналогичному преобразованию в прямоугольный параллелепипед, дополняя его сначала призмой 1, а затем отрезая призму 2 (рис. 209, справа). Это преобразование также сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произ­ ведению его линейных размеров. Произведение двух линей­ ных размеров есть площадь основания параллелепипеда, а третий размер — его высота. Таким образом, у прямоуголь­ ного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту. Так как в описанном выше пре-, образовании данного параллелепипеда в прямоугольный

произведению площади основания на высоту.

Итак, у любого параллелепипеда объем равен произведе­ нию площади основания на высоту.

Объем призмы. Найдем объем призмы. Рассмотрим сна­ чала треугольную призму (рис. 210). Дополним ее до парал­ лелепипеда, как указано на ри­ сунке. Точка О является центром симметрии параллелепипеда. По­ этому достроенная призма симмет­ рична исходной относительно точки О, следовательно, имеет объем, равный объему исходной призмы.

Таким образом, объем построенного параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы.

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основа­ ния на’ высоту. Площадь его основания равна удвоенной

площади треугольника АВС, а высота равна высоте исходной призмы. Отсюда заключаем, что объем исходной призмы равен произведению площади ее основания на вы­ соту.

178

Рассмотрим теперь произвольную призму (рис. 211). Разобьем ее основание на треугольники. Пусть Д — один из этих треугольников. Проведем через произвольную точку X треугольника Д прямую, параллель­

ную боковым ребрам. Пусть ах — от­ резок этой прямой, принадлежащей призме. Когда точка X описывает треугольник Д, отрезки ах заполняют треугольную призму. Построив такую призму для каждого треугольника Д, мы получим разбиение данной призмы на треугольные. Все эти призмы име­ ют одну и ту же высоту, равную высоте исходной призмы.

Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных призм ее составляющих. По доказанно­

му, объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Отсюда следует, что объем данной

разбито основание призмы. Сумма площадей треугольников Д равна площади S основания данной призмы. Поэтому

V = SH.

Итак, объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Объем пирамиды. Для того чтобы найти объем треуголь­ ной пирамиды, естественно было бы попытаться дополнить ее равными пирамидами до па­ раллелепипеда и, таким образом, зная объем параллелепипеда, найти объем пирамиды. К со­ жалению, это в общем случае сделать нельзя. Поэтому мы при­

меним другой способ.

Разобьем высоту пирамиды на п равных частей и через точки деления проведем плос­ кости, параллельные основанию пирамиды (рис. 212). При этом пирамида разобьется на слои.

Для каждого такого слоя построим две призмы: призму, содержащую слой, и призму, содержащуюся в слое, как показано на рисунке.

Многогранник Р ь составленный из стопки призм, содер­ жащих соответствующие слои, содержит и саму пирамиду, а поэтому имеет объем, больший объема пирамиды. Много­ гранник Р о, составленный из стопки призм, содержащихся в соответствующих слоях, содержится и в самой пирамиде и

Vt < V < V v

Найдем объемы многогранников Р 2 и Р 2. Сечения пира­ миды плоскостями, параллельными плоскости основания, подобны основанию. Поэтому площадь основания m-й приз­

многогранника Р ь равный сумме объемов составляющих его призм, будет

V‘ - | г ( т + ? + т ) - SH (т + Я + ®?) •

•V *.-^(т-т+т)-«*(-г4+я0-

Таким образом,

s » ( i - 2^ + i ) < 1' < s « ( T + 24: + i ) -

180

Отсюда

5H(-s+i)<1,- f <OT(s;+»)-

Из этого неравенства видно, что числа V и SH/3 отличаются не более чем на SH/п. Так как п — произвольно, а значит, может быть взято сколь угодно большим, то К и SH/3 отли­ чаются сколь угодно мало. Но это может быть только в том случае, если V = SH/3. Итак, объем любой треугольной пи­ рамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

V ^ S H .

Пусть теперь имеем любую, не треугольную пирамиду. Разобьем ее основание на треугольники Дь Д2..........Д„. Пирамиды, у которых основаниями служат эти треуголь­ ники, а вершиной — вершина данной пирамиды, составля­ ют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид. Так как все они имеют одну и ту же высоту Н, что и данная пирамида, то объем

ведения площади ее основания на высоту.

Объемы подобных тел. Пусть Т и V — два подобных тела. Это значит, что существует преобразование подобия, при котором тело Т переходит в тело V . Обозначим через к коэффициент подобия.

Разобьем тело Т на треугольные пирамиды Р и Р 2, . . .

. . . . Р„. Объем тела Т равен сумме объемов этих пирамид. Преобразование подобия, которое переводит тело Т в тело Т',

объем тела Т’ равен сумме объемов пирамид Р /, Р 2' , . . . , Р п’. Так как пирамиды Р\ и Р,- подобны и коэффициент по­ добия равен k, то отношение их высот равно к, а отношение площадей их оснований равно №. Следовательно, отноше­ ние объемов пирамид равно №. Так как тело Т составлено

расстояний любых двух соответствующих пар точек при преобразовании подобия. Следовательно, это число равно

181

отношению любых двух соответствующих линейных разме­ ров тел V и Т. Таким образом, мы приходим к следующему выводу.

Объемы двух подобных тел относятся как кубы соответ­ ствующих их линейных размеров.

Воспользуемся этим свойством для определения объема усеченной пирамиды. Именно, докажем следующую форму­ лу для объема усеченной пирамиды:

где Si и S 2— площади оснований пирамиды, а Я — высота пирамиды.

Дополним данную усеченную пирамиду до полной и обо­ значим Я х ее высоту. Пусть S x— площадь ее основания. Высоту дополняющей пирамиды обозначим Я а, а площадь основания S 2. Так как пирамиды подобны, то площади их оснований относятся как квадраты высот, а объемы — как

“М'-ж) [■+!+(£)'>

;V- ( > - £ ) 0 + / ! + ! ) - •

tfiSVi , ( Я ,- Я .) (S. + V S .S , S 2).

Так как Hi— H2=H , a V* = у Я ^ , то

V = -g- Я (Si + У SiS2+ S2).

I

Формула для объема усеченной пирамиды доказана. Корректность определения объема простых тел. Объем

простого тела мы находим, суммируя объемы треугольных пирамид, из которых оно составлено. Но простое тело можно по-разному разбивать на треугольные пирамиды, а вы­ числяя объем пирамиды, можно по-разному выбирать ее основание. В связи с этим возникают два вопроса:

1.Не зависит ли объем треугольной пирамиды от выбора

ееоснования?

2.Не зависит ли объем простого тела от способа разбие­ ния его на треугольные пирамиды?

182

Если на оба эти вопроса ответ положительный, то наше определение объема как говорят, корректно.

Докажем сначала, что объем пирамиды не зависит от того, какая из ее граней принята за основание. Пусть DABC — данная треугольная пирамида (рис. 213). Обоз­ начим через а, |3, у плоские углы трехгранного угла пира­ миды при вершине D. Именно,

угол BDC обозначим через а,угол

S = ~ D B - DC -sin а.

Высота пирамиды Н = АО = АЕ s\nc = DA sin|5 sine. Таким образом, объем пирамиды

V — D A -D B -D C -sm asin$.sinc.

Таким же способом, приняв грань ADB за основание пи­ рамиды, получим для объема пирамиды другое выражение:

V = ^ D A -D B ‘DC' sinocsinysinfe.

Полученные два выражения для объема пирамиды от­ личаются множителями sin |3 sin с и sin у sin Ъ. Эти мно­ жители равны. Действительно, по теореме синусов для

трехгранного угла с вершиной D =='Д!1о' Отсюда

sinP sin с= sin у sin 6.

Итак, объем треугольной пирамиды не зависит от того, какая грань пирамиды принята за ее основание.

Перейдем ко второму вопросу. Возьмем треугольную пирамиду и разобьем ее на более мелкие треугольные пира­ миды. Докажем, что объем пирамиды, определяемый по

формуле V = -gSH, равен сумме объемов составляющих ее

183