Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Умножим

равенства

(5.1.11)

на Г (s + n + /n— 1) и запи­

шем полученную систему в виде

s-\-n— 1 + Gi + (s + ^ — 2 )a 2- f . . .

...

(s

n — 2) (s

n — 3)... san=

0,

s_j_rt + ai + (s + n ~ 1) a2+ • • •

(5.1.12)

... +

(s + n — 1) (s -j- n — 2 )... (s +

1) an= 0,

's+ 2n- 2

+

G1 + (s +

2n — 3) a2 + ...

... + (s + 2n — 3) (s +

2n — 4).. ,(s + « — 1) an = 0.

Определитель этой

системы есть

1

s + n —2

... [(s+ n —2)(s + n —3)

...

s]

А = 1

s +

n — 1

... [(s + n — 1) (s + n — 2)

...

(s+1)]

1

s +

2n —3

... [(s + 2n —3) (s+ 2n —4)

... (s + n — 1)]

Достаточно

убедиться в том,

что А ф 0,

так как

тогда

система

(5.1.12) будет иметь решение alt

а2, ....

ап и

только

одно.

Рассмотрим систему

п функций

xs+n~2,

У

У'

... y<n)

2

(xs+n~2y

(д-5+Л-2)(Ш

Х^+п-1

(x s + n - iy

(x s+ n~iyn)

j^J+2/1-З

(^ s+ a n - з у

(^s+2ra-3)frt

Если разложить определитель

по элементам первой строки

и разделить обе части уравнения на

то последнее

уравнение можно записать так:

п) + с?дг"-У

+ . . . ■+ спу =

0,

(5.1.13)

где с? —const.

(x s+n~2)'

( x s+n~ 2 )"

. . .

(x S+n-2yn>

(^■S+n-1 ) '

^ S + 4 - l j '(

_

(x s + n - i y m

( Xs + 2 h - 3 y

(x S + 2 a - 3 y '

. . .

(х З -г 2 П -З у т

... ,

xs~2. Затем из элементов строк оставшегося определи­

теля

вынесем

множители

1, х, ... ,

х ^ 1. R итоге полу­

чим определитель xn(n+s~3) D,

где D

равно

s + n — 2

(s +

n —2)M

..

[(s +

n —2)

...

( s - i ) ]

S - j - t l — 1

(s +

л — l) M

..

[(s + n — 1 )

...

s]

= С Л

s+ 2 n —3

(s + 2 n - 3 )M ...

[(s+ 2n —3)

. ..

(s + n —2)]

ческие дополнения

элементов у1, у".........у(п) равны соот­

ветственно

С П ^ д /л (5 + л -3 )+ 1 )

с п

3)+2

£ П х п ( з * п - % ) ^ п

Этим доказывается разложение (5.1.13).

Эйлера и

Уравнение (5.1.13)

является

уравнением

имеет две

особые

точки: х = 0,

х =

оо.

Выпишем определитель Вронского для решений xi+n~2,

xs+n- \ ... ,

xs+2n~3 этого

уравнения:

Г (х 5+Я-2,

....

xs+2n~3) =

s + n - 2

(s +

n — 2) X s + n ~3

.

. [(s +

n —2)

. .. sxs-1]

■

S+n-1

(s +

n — l)x s+n_2

.

. [(s +

n - 1 )

. ••(s + l)* 4

-s+ая-й

(s +

2n — 3) X s t 2« - i.

. [(s + 2n —3). . ( s + n — l)xs4n"2]

(5.1.14)

Так

как

решения

х*4”-2,

х5+я“1.........

х542"-3

уравнения

(5.1.13)

линейно

независимы, то определитель (5.1.14)

может

равняться

нулю только в особых точках

уравне­

ния, т. е. в точках

х = 0 и х =

оо. В остальных

точках

он отличен от нуля,

в частности,

и в точке х = 1.

Но при

Pn- ffl-1 i №

- "

- s+V p =

г — гео

dpn

е +

г*оо

= (— 1)'у г- т -1

^

№

П-*+1)

8 — г*со

dp-

е 4* г оо

■(— \)п (п — т — 1)

^

г ,п - т - 2 .

^

( е Рр-П-ЗД)Ф .

dp-

Легко показать, что первый

член

полученного

выра­

жения равен нулю, так

как

каждое его слагаемое,

полу­

будет

иметь вид epp~k (k ^ s )

и ввиду того, что функция

ер остается

ограниченной

на линии интегрирования, будет

стремиться

к

нулю

при

удалении точки р в бесконечность

вдоль

прямой

интегрирования.

по частям п — т — 1

Выполнив

интегрирование

раз,

для интеграла (5.2.2) получим

следующее выражение:

8 + гео

± { п — т — 1)!

^

^ i ( e pp~n's+1)dp==

8 — /С О

т - 1)! ^dm (epp-"-s+1) 84“ /со

=

±

(п -

8

— /С О

А так

как

s > О, п ^

1,

то полученное выражение

тоже

будет

равно

нулю.

Таким образом, многочлен Рns)(

^

многочлен Р(/-1

будет отличаться от (oj,s)

только