Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 0
§ 4.6] СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ 89
таким, что c ^ R , |
т. е. |
|
|
|
||
|
|
|
c-\-ico |
|
|
|
# » ( ф. 0 = |
2 ^ |
J |
ePtP~Srn (P )dP - * ° |
|||
при п —*оо. |
|
С — |
t 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство |
теоремы |
совершенно |
аналогично дока |
|||
зательству |
теоремы |
7. |
|
|
|
|
Следует |
заметить, |
что |
в |
условиях |
теоремы 8 квадра |
|
турный процесс (4.1.6) будет сходиться не только для равноотстоящих узлов, но и для любых других узлов, расположенных на действительной полуоси [1, сю).
Г Л А В А 5
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ, ИМЕЮЩИХ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ
|
|
§ 5.1. Теория квадратурных формул |
||
Для |
вычисления интеграла Меллина |
|
||
|
|
|
c-{-ica |
|
|
|
П‘) =ш \ ‘крМ ‘ |
( 5 . 1 . 1 ) |
|
|
|
|
|
|
в гл. 4 |
были построены интерполяционные |
квадратурные |
||
формулы, |
точные для |
многочленов степени |
п — 1 от аргу |
|
ментов у |
или р_ |
gof ■Такая степень точности при задан |
||
ных узлах интерполирования в полуплоскости Re р > а до стигалась за счет выбора квадратурных коэффициентов Ak.
При построении квадратурных формул естественно выбирать не только коэффициенты, но и узлы. Можно надеяться, что их выбором степень точности формулы можно увеличить. В этой главе будет построена квадра турная формула наивысшей степени точности в классе рациональных функций частного вида.
Но прежде чем строить такую формулу, преобразуем интеграл (5.1.1), чтобы параметры квадратурной формулы не зависели от а и t. Для этого сделаем замену перемен ной р = р'Ц-\-а. После этой замены интеграл (5.1.1)
преобразуется к виду
8-J-icO
П‘)~т=г*т- \
6 > 0 , F* (p') = F ( - f - f a
|
ТЕОРИЯ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ |
91 |
|||
Так как |
функция F (р) была |
регулярна в полуплоскости |
|||
Re р > ос, функция |
F* (р') будет |
регулярной справа |
от |
||
мнимой |
оси Re р ' > |
0, а е |
может |
быть любым положи |
|
тельным числом. Таким образом, вычисление интеграла Меллина сводится к вычислению интеграла
е-Ноо
J = -%a $ e”F*(p)dp, |
(5.1.2) |
е — (со |
|
где переменная интегрирования снова обозначена через р. Функция F* (р), как функция-изображение, кроме регулярности в правой полуплоскости, обладает еще тем свойством, что она стремится к нулю при удалении р на бесконечность так, что Re р->- оо. Допустим, кроме этого, что F* (р) стремится к нулю, как некоторая сте пень 1/р, т. е. предположим, что F* (р) представима в виде
|
|
F* (Р) = |
ф (Р). |
(5.1.3) |
где s > 0 , |
а |
функция ср (р) |
регулярна в |
полуплоскости |
R e p > 0 |
и |
имеет конечное |
предельное |
значение при |
р -> оо: |
|
|
|
|
Пт ф (р) = ф (оо).
р- + СО
Подставим выражение (5.1.3) в интеграл (5.1.2):
|
8+ /0О |
|
|
= |
5 |
epp~sq>(p)dp. |
(5.1.4) |
|
8 — i |
СО |
|
Для вычисления этого |
интеграла будем |
строить ква |
|
дратурную формулу следующего вида: |
|
||
|
|
П |
|
J { s ) ^ Y i Ak^(pk)- |
(5.1.5) |
||
|
k = \ |
|
|
В формуле (5.1.5) произвольными величинами являются коэффициенты Ak и узлы рк. Выбором их можно распо рядиться. Будем пытаться выбирать их так, чтобы фор мула (5.1.5) была точной для любого многочлена степени 2п— 1 от переменной 1/р. Необходимое и достаточное условие для этого дает следующая
92 |
|
ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ |
(ГЛ. 5 |
||||
|
Т е о р е м а |
1. Для того чтобы квадратурная формула |
|||||
(5.1.5) |
была точной для всех |
многочленов |
степени |
2 л — 1 |
|||
о т |
переменной |
х = 1 /р, |
необходимо и достаточно выполне |
||||
ние |
двух условий: |
|
|
|
|
||
|
1. |
Формула |
(5.1.5) |
должна |
бы ть интерполяционной, |
||
т . |
е. ее коэффициенты Ak должны иметь |
значения |
|
||||
|
|
|
е + /со |
|
|
|
|
|
|
■ 4. = - S T |
) |
|
|
( 5 - 1 . 6 ) |
|
где |
|
|
|
8 — loo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=! |
|
,Рк |
Pt |
|
|
|
|
|
/=! |
|
|
|
|
|
|
|
|
i фь |
|
|
|
2. Для всякого многочлена |
степени не выше п — 1 |
|||||
должно выполняться равенство |
|
|
|
||||
|
|
^ |
|
|
{ ~ ) d p = 0, |
( 5 . 1 . 7 ) |
|
|
|
|
8 — /СО |
|
|
|
|
где
п
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы проводится совершенно аналогично доказательству соответствующей теоремы о
квадратурах |
наивысшей |
алгебраической |
степени точности |
|||
(см. |
[6], стр. |
117). |
Если формула |
(5.1.5) верна для |
||
|
Н е о б х о д и м о с т ь . |
|||||
многочленов |
степени 2 л — 1 от |
переменной х = \ / р , |
то |
|||
она |
верна и |
для многочленов |
степени |
л — 1 от 1/р, |
и |
|
поэтому она должна быть интерполяционной. Необходи мость первого условия доказана.
Пусть теперь Q ^ j — любой многочлен степени не выше
п — 1. Произведение i p ^ j = c o „ ^ - ^ Q есть многочлен
тепени не выше 2л — 1, и для него формула (5.1.5)
§ 5 .Ц |
ТЕОРИЯ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ |
93 |
|
|
должна |
быть точной: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ш |
$ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
е — /с о |
8 + i00 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
" W |
S |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
e — г oo |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к = 1 |
|
|
Последняя |
сумма |
равна |
нулю, |
так как |
со„(— ) = 0. Это |
||||||
|
|
|
„ |
|
|
|
|
|
|
\ P k ! |
|
доказывает необходимость условия (5.1.7). |
|
||||||||||
|
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
|
Пусть ф ^ |
J — произвольный мно |
|||||||
гочлен степени 2 л — 1. |
Разделив |
его на |
с о „ » получим |
||||||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Q и |
р — многочлены |
от |
l/р |
степени |
не выше |
л — 1. |
||||
Так |
как |
юп |
— |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ Ш =р(^) |
(* =1’2.... л>- |
(5Л-8) |
||||||
Интеграл |
от функции ф |
J представим в виде суммы двух |
|||||||||
следующих |
интегралов: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
е-{-/о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
epP- s i p ( f ) dp- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 — 1 СО |
|
8 + /оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
5 |
epp-sG>n p j Q [ j ) |
dp + |
|
||||
|
|
|
2ni |
|
|||||||
|
|
|
е — / со |
|
|
8 -{- /со |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
+ Ш |
$ |
е^ р ( у ) ф . |
(5.1.9) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
8 — |
/ СО |
|
|
|
Первый интеграл в правой части равен нулю по усло вию ортогональности. Так как степень P ^ 'j не выше л — 1, а формула (5.1.5) интерполяционная, то должно
94 |
ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ, 5 |
быть точным равенство
1
Г $ e*p-s9 { j ) d p = | > Р 2ni
k= i
Учитывая (5.1.8) и (5.1.9), получаем
г-\-1оо |
п |
"2яГ S |
£= 1 |
е — i со |
и формула (5.1.5) действительно будет точной для произ вольных многочленов степени 2п — 1 от 1/р. Теорема
доказана.
Таким образом, вопрос о возможности построения квадратурной формулы (5.1.5), точной для произвольных многочленов степени 2п— 1, связан с существованием
многочлена co„ J степени п, обладающего свойством
ортогональности (5.1.7).
Покажем, что этот многочлен существует и условие (5.1.7) определяет его единственным образом. Будем
искать многочлен a n(x) = con^ - j в виде разложения по
степеням х:
ап (х) = хп + аре"-1+
Условие ортогональности (5.1.7) равносильно выполне нию системы равенств
8 + Iсо |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
epa>ll(x)xs+rn dp = 0, m = |
0, l , . . . , n — 1. |
(5.1.10) |
||||
8 — i со |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
+ / |
СО |
1 |
|
|
|
Так |
I f |
* |
&рх“ dp = |
то |
система |
(5.1.10) |
|
как |
V |
, |
|||||
|
8 |
— / СО |
|
|
|
|
|
преобразуется в систему |
|
|
|
|
|||
____ 1______ I |
|
L |
4_ |
ая |
=0, |
||
Г(з + п + т ) ' Г (s-j-n + m — 1) |
|
' Г (s+ m) |
|||||
|
|
||||||
т = 0 |
, 1. |
(5.1.11) |