Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

84

 

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА

[ГЛ. 4

точки \p\~5zR, то по теореме 5а интерполяционный про­

цесс будет сходиться равномерно в полуплоскости

Re р ^

ISzc^ s R

по любым узлам, лежащим на действительной

полуоси

[1, о о ], в частности,

он будет сходиться равно­

мерно

и

для равноотстоящих

узлов pk= k-\-\

(&= 0, 1,

2, ....

п\ п= 1, 2, ...),

рассмотренных б § 4.2.

квадратур­

При

доказательстве

теоремы о сходимости

ного процесса для равноотстоящих узлов нам, как и выше, потребуется равномерная сходимость интерполирования не

только в полуплоскости Re р

с,

но также и в некоторой

окрестности \ p \ ^ R i бесконечно

удаленной

точки.

Для

достижения этого предположим,

как в § 4.2,

что функция

Ф (р) регулярна в полуплоскости

Re р > 0.

Кроме

того,

допустим, что она регулярна

в

области \ p \ ^ R .

Тогда

равномерная сходимость интерполирования как для равно­

отстоящих узлов, так

и для любых других узлов, лежащих

на полуоси [1, оо ],

будет иметь место не только в полу­

плоскости R e p ^ c ,

но также в более широкой области.

Чтобы показать

это,

перейдем к переменной л: = 1/р; тогда

функция Ф (х)

будет

регулярна в полуплоскости R e x > 0

и в области | х | sg 1/R. Узлы интерполирования хк= — =

1Pk

=(k = 0, 1.......... п) будут лежать на отрезке [0, 1].

Справедлива

Если

функция Ф(х)

регулярна в полу­

Т е о р е м а 6.

плоскости Re х >

0 и

в окрестности

х : ==с 1/R нулевой

точки, то интерполяционный процесс (4.5.3), построен­ ный по узлам xk= —Lp (k = 0, 1, ... , п) или по любым

другим узлам, лежащим на отрезке [0, 1], будет схо­ диться равномерно в области В, являющейся пересечением-

двух кругов

| х | <

1/Д и | х — 1 1< V 1 + 1IR2. Область В

будет наибольшей областью, для которой

имеет место

равномерная

сходимость

интерполирования

при

любой

системе узлов из

[0, 1].

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Эта теорема сразу же

следует

из теоремы В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева (см. сноску на стр. 77). В ней установлено, что если F и G —два замкнутых множества точек плоскости г и F czG, а К\ — наибольший замкнутый круг, содержащийся в Gи имеющий центр в точке \ е F, то множество В = fl К% является

§ 4.6] СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ 85

наибольшим множеством, для которого выполняется усло­

вие {F, В, G} (см. стр. 77).

G —правая полуплоскость

В

нашем случае

множество

и область |х|<;1/7?,

множество F — отрезок [0, 1]. Чтобы

найти

множество В,

построим два наибольших замкнутых

круга,

содержащихся

в G и с центрами в точках х =

0 и

х — 1. Этими кругами будут] х\

1/7? и ] х — 1 | < ;]/' 1 +

1/7?2.

Искомым множеством В будет

пересечение этих кругов.

Теорема доказана.

Таким образом, равномерная сходимость интерполиро­ вания будет иметь место не только на контуре интегриро­

 

 

х

2с

1

 

 

 

вания

2с и внутри его, если с^=7?,

но также

в более широкой области, в частности в круге ] х\

^ l/7?i <С

<

1/7?,

где

 

 

V rz+ 1-R

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Ri

 

 

R

 

 

Если

же перейти к

переменной р, то можно сказать,

что

равномерная сходимость имеет место не только в полу­

плоскости

Re р Ss с, но

и в области ; р | ;>= 7?ь где

 

 

 

 

Ri =

R

> 7?.

 

 

 

 

 

/ Р Ч Ч - Р

 

 

 

 

 

 

 

§ 4.6. Теоремы о сходимости интерполяционных методов обращения

Результаты о сходимости интерполирования, получен­ ные выше, позволяют высказать некоторые теоремы о схо­ димости квадратурных процессов (4.3.7) и (4.1.6) при

п —>оо.

На основании

теоремы 4а можно доказать следующую

теорему.

 

Пусть функция <р (р) регулярна в полу­

Т е о р е м а 7.

плоскости

Re р >

О, а также в окрестности бесконечно

удаленной

точки | р | 7? и в окрестности нулевой точки

| р | < 1/ 7? .

Тогда интерполяционный квадратурный процесс (4.3.7),

построенный

по

узлам ри = тJ—“ > г<зе Узлы хи имеют на

отрезке

[— 1,

1]

распределение Чебышева, будет сходить­

ся при

п —>со к

j (t) при всех значениях t, при этом

8 6 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЁЛЛИНА [ГЛ. 4

равномерно относительно

t на любом конечном

отрезке

O s ^ t^ T < 00, т. е.

 

 

с -| - i оо

 

 

$

еР*{р-а)~8гп (р)(1р- * 0

(4.6.1)

С — t ОО

 

при п —►оо равномерно относительно t для O ^ t ^ T <С со для всяких Т.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим сначала случай s > 1. Представление (4.6.1) остаточного члена Rn(ф, t) имеет особенность, облегчающую исследование сходимости: интег­ рал, стоящий справа, в значительной мере не зависит от

выбора с ввиду

регулярности интегрируемой функции

в полуплоскости

R e p > 0 и ограниченности гп(р) в окре­

стности бесконечно удаленной точки. В частности, число с

может быть взято сколь угодно большим.

Выберем c ^ R

и оставим за собой право увеличить 'с,

если это потре­

буется. На основании теоремы 4а можно сказать, что остаток интерполирования гп (р) будет сходиться равно­

мерно к нулю на линии интегрирования при

я — оо и для

любого е > 0

найдется такой номер N, независящий отр,

что для n ^ N

будет |

гп (р) | ^ е.

 

Преобразуем интеграл, выражающий остаточный член

Rn(ф, t), положив p = c-\-ia:

 

 

 

СО

 

 

Rn (ф, 0 =

§

еш ( с - а + io)~s гп(с +

ia) do.

 

 

— СО

 

Теперь оценим его:

 

 

I Rn (ф. 01 = 2п

^ еш {с —а~\~ to) s rn (с-f ia) do

 

 

— СО

 

 

еЫ

\еш (c-a-{-io)~s rn(c-\-io) d o \^

2л ^

 

— CO

 

 

 

 

cT °°

 

 

 

8

2jt

[(с—а)2+ а2]5/2

(4.6.2)

Последний несобственный интеграл будет сходящимся, так как s > l . Таким образом, из (4.6.2) вытекает, что Rn((р, t) будет стремиться к нулю при я — оо.

§ 4.6] СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ 87

Остается

 

рассмотреть

случай

0 <

s ^ 1.

Остаточный

член Rn(ср, /)

преобразуем следующим образом:

 

 

 

 

 

C- \ - i СО

 

 

 

 

 

 

 

#я(ф. 0 =

55

 

jj

ept (Р —a)~s гп (р) dp =

 

 

 

 

 

 

 

 

с — / со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c - f i со

 

 

 

 

 

 

 

=

i

 

 

 

 

['»(°o) +

/’„ ( p ) - r II(oo)]dp =

 

 

С — I

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с - { - / с о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

jj

еР( (р -

a)~sdp +

 

 

 

 

 

 

 

£ - } - £ с О

с — / с о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2^7

$

е ^ ( р - а Г 5 [г „(р )-/-„(о о )]ф .

(4.6.3)

 

 

 

 

С—I00

 

 

ga^s-l

 

 

 

Интеграл

в

первом слагаемом равен

■,

а

погреш­

г ^

ность

интерполирования

гп (оо)

стремится

к

нулю при

гс — оо, следовательно, первое слагаемое стремится к нулю при гс — оо.

Второе слагаемое перепишем следующим образом:

с

i с о

 

JL

jj

ep4 p - 4 ~ * P ~ 4 P [M p )-M ° o )]} rfp - (4.6.4)

с — t o o

 

Покажем,

что функция р [г„ (р) — гп(оо)] будет равномерно

сходиться

к

нулю при гс —* со на линии интегрирования

Rep = c.

 

 

По условию теоремы функция ф (р) регулярна в окрест­ ности бесконечно удаленной точки \р \ ^ R, следовательно,

ипогрешность интерполирования гп (р) и функция гп (р) —

—гп(оо) будут регулярны в этой окрестности. Кроме того, функция гп (р) — гп(оо) в этой окрестности будет стремиться к нулю, как 1/р, а значит, и р[гп(р) — /"„(оо)]

будет регулярной функцией в области | р 1

R. Из замечания

к теореме 4а известно, что гп (р)

сходится

равномерно к

нулю

при

гс — оо

в области | р | Эг R-l при

некотором

/? ! > # .

Рассмотрим

значение

функции р [гп(р) — гп (оо)]

на

границе

этой

области

при

гс — оо.

Погрешность

гп(р)

равномерно

относительно

р

стремится

к

нулю,

и, кроме того, гп(оо) — 0, а

модуль

р

остается

равным

Rx.

Следовательно,

вся функция

равномерно

сходится

88

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА

[ГЛ. 4

к нулю на границе области

\ p ) ^ R 1. А так как эта функ­

ция

является регулярной

в замкнутой области

| р | 3s Ri,

то из принципа максимума модуля сразу же следует равномерная сходимость и внутри области.

 

Если

с выбрано так,

что

C ^ R X,

то доказано,

что

функция

р[гп(р) — гп(оо)]

равномерно

сходится

к нулю

на

Re р = с.

 

 

 

 

что функция р [гп (р) — гп(оо)]

 

Таким образом, доказано,

равномерно сходится к нулю при п — оо на линии

интег­

рирования

Re р = с,

т.

е.

для

любого е >

0

найдется

такое N,

не зависящее от р, что

при

n ^ N

верно

нера­

венство | р [гп (р) — гп(оо)]

| ==£ в.

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценим интеграл

(4.6.4):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с+г'со

еР*(р - a)-sp-'p [гп (р) -

гп(оо)]

dp

 

 

 

 

2^

jj

 

 

 

 

 

с — /со

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~~-е 2я J

 

[(с—а)2+ а 2]4/2 (са + а2)1/2

-

 

 

Последний

несобственный

интеграл сходится

при

s >

О,

значит,

и

второе

слагаемое

в

(4.6.3)

будет

стремиться

к нулю при п — со для

любого s > 0.

Теорема доказана.

 

З а м е ч а н и е .

В

теореме

7

сходимость

квадратуры

доказана

 

для узлов

рк,

 

у которых хк=

имеют пре-

дельную функцию распределения узлов р, (х), совпадающую с функцией Чебышева. Аналогичная теорема может быть доказана и для узлов р*, имеющих предельную функцию распределения узлов xk общего вида. Отличие будет со­ стоять лишь в том, что область регулярности функции ср (р) должна быть другой, а именно, ср (р) должна быть регу­ лярной в области D, в которую переходит область р при

преобразовании

 

x =

 

 

 

 

Для квадратурного

процесса

(4.1.6)

на основании

теоремы 6 может быть доказана

 

регулярна в полу­

Т е о р е м а

8.

Если функция

ср(р)

плоскости

Re р >

0, а также в окрестности бесконечно

удаленной

точки

\p\^s R, то интерполяционный квадра­

турный

процесс

(4.1.6),

построенный

по

узлам pk =

= k+ I (k = 0,

1,

..., п),

будет сходиться,

если с выбрать

Смотрите также файлы