Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 6.1]

ПОСТРОЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ

123

циями

корней Ak (k = \ , 2, ..... п) и функциями 5 г (г =

= 1, 2.........«). Они определяются

так называемыми со-

отношениями Ньютона

 

 

 

Sj -f- Лх = О,

 

 

 

S2Н- Лх5г+ 2Л2= О,

 

(6.1.7)

 

Лх52+ Л 25хф-ЗЛ3=

О,

~Ь Лх5„_х + A2<Sra_2+ . . . 4- пАп = 0.

Подставив в систему (6.1.7) значения S; из (6.1.6), полу­ чим следующую систему уравнений:

г ( s + 1) 4

 

1

,

г (S+ 2)

1

Г (s

1+ 3)

,,1

r(s1+ n) |

tiT (s) A l

=0,

1

Лх + пГ (s) л ! -о,

Г (s+ 1 )

1

Г (s+ 2 ) Лх +

1

Г (s + n -

1

\ .

пГ (s)

Л3— о,

(6 . 1.8)

r ( s + l )

2

3

1

1 _ r r ( s + n - 2 )с'Л2-Т- • •

. . . + Г(8+ 1)i^ " - 1 + n fr (i) y4,1 = 0.

Из этой системы последовательно могут быть найдены все Ak. Значение Ак можно выписать в явном виде в форме

определителя порядка k. Так как

 

определитель систе­

мы

(6. 1 .8) является треугольным

и

равен

 

т0

Л*

пк [Г (s)p-А, где

 

 

 

 

 

 

 

k\

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

Г(8+1)

 

пТ (s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

1

 

 

Г (s+ 1)

яГ (s)

 

 

 

 

Г (s +

2)

А =

 

1

 

 

 

 

1

 

Г(8 + 2)

Г (s+1)

яГ (s)

 

 

 

Г (5+ 3)

 

1

1

1

 

 

я — 1

1

 

 

Г (s + й— 2)

Г (s+ б —3)

T(s + k — 4)

•••

яГ (s)

r ( s + * - l )

 

1

1

I

'

 

l

l

 

 

Г (s+fe— 1)

T(s + b— 2)

T(s + k — 3)

' ”

Г (s+ 1) T(s +

fe)

для 2 ^ k ^ n , причем A1 = — n[s,

124

ФОРМУЛЫ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 6

Найдя все Ак, можно построить многочлен со„ (х). Определяя же его корни xk, найдем все узлы рк= \/хк квадратурной формулы (6.1.4).

 

§ 6.2. Замечание о расположении узлов

 

Для частного значения параметра s =

l формула (6.1.4)

была построена Г. Солзером.

Им

же

были

вычислены

для этого параметра s многочлены

со„(х) при

« = 1 (1)10

и

определены их корни хк и,

следовательно,

узлы рк =

=

1/хк квадратурной формулы.

Узлы рк приведены в таб­

лице с 8 верными знаками в книге [8].

 

По

смыслу задачи узлы рк формулы (6.1.4) должны

лежать

в области

определения и регулярности

функ­

ции ф (р), т. е. в правой полуплоскости.

п, две

Как

видно из

таблицы, начиная с некоторого

из точек рк переходят в левую полуплоскость. С воз­ растанием л, по-видимому, все больше точек рк будет переходить в левую полуплоскость, так как действитель­ ные части рк убывают с ростом «. Этот факт затрудняет применение формулы (6.1.4) к вычислениям.

Ч А С Т Ь В Т О Р А Я

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

К ОБРАЩЕНИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

ГЛАВА 7

ВВЕДЕНИЕ

Как известно и как будет показано ниже, задача вычи­ сления интеграла Меллина может'быть приведена к пре­ образованию Фурье. Последнее же является классическим аппаратом исследования широкого круга прикладных задач, и было предложено много способов для его числен­ ного осуществления. Каждый из таких способов можно, принципиально говоря, применить к решению проблемы обращения. Обзор главнейших из них будет дан в гл. 9,

10.

Сейчас же мы хотим еще раз обратить внимание на

то,

что все эти

методы имеют один принципиальный недо­

статок, а именно, они

не учитывают того, что под зна­

ком

интеграла

Меллина

стоит не произвольная функ­

ция

F (р) с

комплексными значениями, а функция-

изображение, которая заведомо обладает некоторыми зара­

нее известными свойствами, такими, например, как регу­

лярность

в

полуплоскости R e p >

a (a sg с), стремление

к нулю

при

удалении точки р в

бесконечность и др.

В этом отношении вычислительные методы обращения, которые рассматривались в первой части книги, являются более предпочтительными, так как в них в той или иной мере учитывались свойства изображения.

Несмотря на указанный недостаток, мы сохранили в книге вопрос о вычислении интеграла Меллина путем приведения его к интегралу Фурье на основании следую­ щих соображений. Во-первых, это есть один из возмож­ ных методов счета, когда узлы квадратурной формулы

берутся

на линии

интегрирования p = c-\-ix(— о о < т < ;

< о о ).

Во-вторых,

этот метод может быть полезным

в практике вычислений, хотя бы как параллельный и контрольный для других.

126 ВВЕДЕНИЕ [ Г Л . 7

§ 7.1. Преобразования Фурье

Ниже мы будем рассматривать двойной интеграл Фурье

СО

с о

 

^ ij du

^ / (t) cos и (х — t)dt,

(7.1.1)

О— с о

считая функцию / абсолютно интегрируемой на числовой оси

— о о < Д < о о . Внутренний интеграл по аргументу t будет абсолютно сходиться при всех действительных значениях х и и, и при том равномерно.

Что же касается сходимости двойного интеграла (7.1.1) и его численного значения, то достаточной является при­ водимая ниже теорема 1 (см., например, [ 10], стр. 22). Для лучшего понимания ее полезно сделать следующее

замечание.

 

 

[а, Ь\ задана функ­

З а м е ч а н и е . Пусть на

отрезке

ция f(x) с конечными значениями.

Разобьем [а, Ь) на

конечное

число частей точками

хй = а< .х1<... .< х п — Ь.

Составим

сумму

П—1

 

 

 

v (*о. *1. ••• . *«)=

I / (**+i) - f (jf*)|.

 

2 ]

 

 

k = о

 

 

Она имеет смысл суммы абсолютных

значений изменения

f на частичных отрезках [xk+l, хй] и зависит от точек

xk(k= 1,

2,

...,

п — 1).

Верхняя грань всевозможных сумм

V (х0, хх....... хп)

 

 

 

 

V (х0, Хх........хп)

 

 

 

Var

(/) =

sup

 

 

а ^.х

 

 

Xi, . . хп _ |

 

 

называется

полным

абсолютным изменением f на отрезке

[а, Ь]. Если

 

Var

(/)

имеет

конечное значение,

то гово-

 

 

а^.х ^ b

 

 

 

 

рят, что / является

функцией с ограниченным (конечным)

изменением на [а, Ь\.

 

абсолютно интегрируема на

Т е о р е м а

1.

Пусть f(t)

оси — о э < Д < с о .

Если f на некотором отрезке [а, 6],

содержащем внутри себя точку х,

имеет ограниченное

изменение, то верно равенство

 

 

| [ / ( * +

0) + . f ( x - 0 )] =

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

0 0

 

 

 

 

 

 

 

=

~ ^

d u ^

f ( t ) c o s и

{х — t)dt,

( 7 . 1 . 2 )

О— со

§ 7,1]

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ

127

Если же / имеет ограниченное изменение на [а, Ь] и непрерывна там, то

СО

со

 

f{x) = ~ ^ d u

^ f (t) cos и (х—t) dt,

(7.1.3)

О—оо

при этом двойной интеграл сходится к f(x) равномерно относительно х вовсякой замкнутой внутренней части [а, ti\.

Равенства (7.1.2) и (7.1.3) называются формулами Фурье. В дальнейшем всюду будем считать, что f(t) имеет ограниченное изменение в любом конечном интервале оси t. Тогда для всех конечных значений х будет выполняться равенство (7.1.2). Кроме того, для упрощения записи будем считать, что все разрывы f являются «правильны­ ми» и во всех точках х выполняется соотношение f(x) —

[ / (а:+ 0) -h / (л:— 0)]. Равенства (7.1.2) и (7.1.3) будут

при этом условии иметь одинаковый вид, и ниже мы будем пользоваться равенством (7.1.3).

Интегралу Фурье можно придать более симметричную форму, если воспользоваться комплексными величинами и заменить тригонометрическую функцию ее выражением через показательные функции:

с о оо

~ jj du ^ / (t) cos u(x — t)dt =

О—со

 

с о

со

= 4

$ du J f{t) [eiu <*-<> + *-*« <*-«] dt.

 

О

—со

Если выполнить почленное интегрирование и в первом из интегралов заменить переменную и на — и, можно привести формулу Фурье (7.1.3) к виду*)

 

 

 

 

 

оо

 

о о

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

^

erlxudu ^

f{t)eiuidt.

(7.1.4)

 

 

 

 

 

— со

— оо

 

 

 

 

и,

*) В

формуле

Фурье

(7.1.3)

под

интегралом

по

переменной

взятым

по

полуоси

0

и < оо,

понимается предел,

к которому

стремится

интеграл

по

отрезку 0 ^ и < Л ,

когда

А неограниченно

возрастает.

В

соответствии

с этим

в (7.1.4)

интеграл по оси — оо <

<

и < со

понимается в

смысле его

«главного значения» как предел,

к

которому стремится

интегралг взятый

по симметричному отрезку

— А ^ и ^ Л, когда А -н оо.

Смотрите также файлы